3.3.1: Las pendientes no tienen que ser positivas

Lección

Averiguemos qué significa una pendiente negativa.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which One Doesn't Belong: Odd Line Out

¿Qué línea no pertenece?

Figura\(\PageIndex{1}\): 4 líneas trazadas en una cuadrícula, líneas etiquetadas s, t, u, v. línea s, pendiente posiitve, intersecta línea v línea v, pendiente negativa, intersecta líneas s, t, u. línea t, pendiente positiva, intersecta líneas v y u. línea u, pendiente positiva, intersecta líneas t y v.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Stand Clear of the Closing Doors, Please

Noah puso $40 en su tarjeta de tarifa. Cada vez que viaje en transporte público, se restan $2.50 de la cantidad disponible en su tarjeta.

1. Cuánto dinero, en dólares, está disponible en su tarjeta después de que toma
   1. ¿0 paseos?
   2. ¿1 paseo?
   3. ¿2 paseos?
   4. paseos?
2. Grafica la relación entre la cantidad de dinero en la tarjeta y el número de viajes.
3. ¿Cuántos viajes puede tomar Noah antes de que la tarjeta se quede sin dinero? ¿Dónde ves este número de viajes en tu gráfica?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Travel Habits in July

Aquí hay una gráfica que muestra la cantidad en la tarjeta de reto de Han para todos los días del pasado mes de julio.

1. Describa lo que sucedió con el monto en la tarjeta de tarifa de Han en julio.
2. Trazar y etiquetar 3 puntos diferentes en la línea.
3. Escribir una ecuación que represente el monto en la tarjeta en julio,\(y\), después de\(x\) días.
4. ¿Qué valor tiene sentido para la pendiente de la línea que representa los montos en la tarjeta de tarifa de Han en julio?

¿Estás listo para más?

Digamos que has sacado un préstamo y lo estás devolviendo. ¿Cuáles de las siguientes gráficas tienen pendiente positiva y cuáles tienen pendiente negativa?

1. Monto pagado en el eje vertical y tiempo desde que se iniciaron los pagos en el eje horizontal.
   Monto adeudado en el eje vertical y tiempo restante hasta que se pague el préstamo en el eje horizontal.
2. Monto pagado en el eje vertical y tiempo restante hasta que se pague el préstamo en el eje horizontal.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Payback Plan

Elena le pidió prestado algo de dinero a su hermano. Ella le devuelve el dinero dándole la misma cantidad cada semana. El gráfico muestra cuánto debe después de cada semana.

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de una línea en cuadrícula, eje horizontal O. origen, tiempo en semanas, escala 0 a 7, por 1's. eje vertical, escala 0 a 20, por 5's. la línea cruza el eje y en 0 coma 18 y cruza el eje x a 6 coma 0.

Responde y explica tu razonamiento para cada pregunta.

1. ¿Cuál es la pendiente de la línea?
2. Explica cómo sabes si la pendiente es positiva o negativa.
3. ¿Qué representa la pendiente en esta situación?
4. ¿Cuánto pidió prestado Elena?
5. ¿Cuánto tiempo le tomará a Elena devolverle todo el dinero que pidió prestado?

Resumen

Al final del invierno en Maine, la nieve en el suelo tenía 30 pulgadas de profundidad. Después hubo un día particularmente cálido y la nieve se derritió a razón de 1 pulgada por hora. El gráfico muestra la relación entre el tiempo desde que la nieve comenzó a derretirse y la profundidad de la nieve.

Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica sobre rejilla, origen O. eje horizontal, tiempo desde que la nieve comenzó a derretirse en horas, escala 0 a 11, por 1's. eje vertical, profundidad de la nieve en pulgadas, escala 0 a 30, por 5's. línea con pendiente negativa dibujada que pasa por puntos 2 coma 28, 3 coma 27. triange con abajo 1 derecha 1 dibujado abajo estos 2 puntos. línea también pasa por 5 coma 25 y 10 coma 20. triángulo con abajo 5 derecha 5 dibujado por debajo de estos 2 puntos.

La pendiente de la gráfica es -1 ya que la tasa de cambio es de -1 pulgada por hora. Es decir, la profundidad baja 1 pulgada por hora. El intercepto vertical es de 30 ya que la nieve tenía 30 pulgadas de profundidad cuando el calor comenzó a derretirla. Los dos triángulos de pendiente muestran cómo la tasa de cambio es constante. Simplemente también pasa a ser negativo en este caso ya que después de cada hora que pasa, hay 1 pulgada menos de nieve.

Las gráficas con pendiente negativa a menudo describen situaciones en las que cierta cantidad disminuye con el tiempo, como la profundidad de la nieve en días cálidos o la cantidad de dinero en una tarjeta de tarifa que se usa para tomar viajes en autobuses.

¡Las pendientes pueden ser positivas, negativas o incluso cero! Una pendiente de 0 significa que no hay cambio en el\(y\) valor -aunque el\(x\) valor -pueda estar cambiando. Por ejemplo, Elena ganó un concurso donde el premio era un pase especial que le da viajes gratis en autobús durante un año. Su tarjeta de tarifa tenía $5 cuando ganó el premio. Aquí hay una gráfica de la cantidad de dinero en su tarjeta de tarifa después de ganar el premio:

Figura\(\PageIndex{4}\): Gráfica en una cuadrícula, origen O. eje horizontal, tiempo desde que ganó concurso en días, escala 0 a 11, por 1's. eje vertical, saldo en tarjeta de tarifa en dólares, 0 a 6, por 1's. línea horizontal a través de 2 días coma 5 dólares y 5 días coma 5 dólares.

El intercepto vertical es 5, ya que la gráfica inicia cuando tiene $5 en su tarjeta de tarifa. La pendiente de la gráfica es\(0\) ya que no usa su tarjeta de tarifa para el próximo año, lo que significa que el monto en su tarjeta de tarifa no cambia en un año. De hecho, todas las gráficas de relaciones lineales con pendientes iguales a 0 son horizontales, una tasa de cambio de 0 significa que, de un punto a otro, los\(y\) valores -permanecen iguales.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Supongamos que durante su vuelo, la elevación\(e\) (en pies) de un determinado avión y su tiempo\(t\), en minutos desde el despegue, están relacionados por una ecuación lineal. Considera la gráfica de esta ecuación, con el tiempo representado en el eje horizontal y la elevación en el eje vertical. Para cada situación, decida si la pendiente es positiva, cero o negativa.

1. El avión está en crucero a una altitud de 37,000 pies sobre el nivel del mar.
2. El avión desciende a razón de 1000 pies por minuto.
3. El avión está ascendiendo a una velocidad de 2000 pies por minuto.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Un grupo de excursionistas estacionan su automóvil a la cabeza de un sendero y caminan hacia el bosque hasta llegar a un campamento. A la mañana siguiente, salen a una caminata desde su campamento caminando a un ritmo constante. El gráfico muestra su distancia en millas,\(d\), desde el automóvil después de\(h\) horas de caminata.

1. ¿A qué distancia está el camping de su auto? Explique cómo sabe.
2. Escribir una ecuación que describa la relación entre\(d\) y\(h\).
3. ¿Después de cuántas horas de caminata estarán a 16 millas de su auto? Explica o muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{5}\)

(De la Unidad 3.2.3)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

La tía de Elena le paga $1 por cada llamada que hace para que la gente sepa sobre el nuevo negocio de su tía.

En la tabla se muestra cuánto dinero recibe Diego por lavar ventanas para sus vecinos.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

número de ventanas	número de dólares
\(27\)	\(30\)
\(45\)	\(50\)
\(81\)	\(90\)

Seleccione todas las afirmaciones sobre la situación que sean ciertas.

1. Elena gana más dinero por hacer 10 llamadas que Diego hace por lavar 10 ventanas.
2. Diego gana más dinero por lavar cada ventana que Elena gana por hacer cada llamada.
3. Elena hace la misma cantidad de dinero por 20 llamadas que Diego hace para 18 ventanas.
4. Diego necesita lavar 35 ventanas para ganar tanto dinero como Elena gana para 40 llamadas.
5. La ecuación\(y=\frac{9}{10}x\), donde\(y\) es número de dólares y\(x\) es número de ventanas, representa la situación de Diego.
6. La ecuación\(y=x\), donde\(y\) está el número de dólares y\(x\) es el número de llamadas, representa la situación de Elena.

(De la Unidad 3.1.4)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Cada cuadrado en una cuadrícula representa 1 unidad en cada lado. Coincidir las gráficas con las pendientes de las líneas.

• \(-\frac{1}{4}\)
• \(\frac{1}{4}\)
• \(-4\)

Figura\(\PageIndex{6}\)