3.3.2: Cálculo de pendiente

Lección

Calculemos la pendiente a partir de dos puntos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Integer Operations

Encuentra valores para\(a\) y\(b\) que hagan que cada lado tenga el mismo valor.

\(\frac{a}{b}=-2\)

\(\frac{a}{b}=2\)

\(a-b=-2\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Toward a More General Slope Formula

1. Traza los puntos\((1,11)\) y\((8,2)\), y usa una regla para dibujar la línea que los atraviesa.
2. Sin calcular, ¿esperas que la pendiente de la línea a través\((1,11)\) y\((8,2)\) sea positiva o negativa? ¿Cómo se puede decir?
3. Calcular la pendiente de esta línea.

Figura\(\PageIndex{1}\)

¿Estás listo para más?

Encuentra el valor de\(k\) para que la línea que pasa por cada prair de puntos tenga la pendiente dada.

1. \((k,2)\)y\((11,14)\), pendiente =2
2. \((1,k)\)y\((4,1)\), pendiente =-2
3. \((3,5)\)y\((k,9)\), pendiente =\(\frac{1}{2}\)
4. \((-1,4)\)y\((-3,k)\), pendiente =-\(\frac{1}{2}\)
5. \((-\frac{15}{2},\frac{3}{16})\)y\((-\frac{13}{22},k)\), pendiente =0

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Making Designs

Tu profesor te dará ya sea un diseño o una gráfica en blanco. No muestres tu tarjeta a tu pareja.

Si tu profesor te da el diseño:

1. Mira el diseño en silencio y piensa en cómo podrías comunicar lo que tu pareja debería dibujar. Piensa en formas en las que puedas describir cómo es una línea, como su pendiente o puntos por los que atraviesa.
2. Describe cada línea, una a la vez, y dale tiempo a tu pareja para dibujarlas.
3. Una vez que tu pareja piense que ha dibujado todas las líneas que describiste, solo entonces deberías mostrarle el diseño.

Si tu profesor te da la gráfica en blanco:

1. Escuche atentamente mientras su pareja describe cada línea, y dibuje cada línea en función de su descripción.
2. No se te permite pedir más información sobre una línea que la que te dice tu pareja.
3. No le muestres tu dibujo a tu pareja hasta que hayas terminado de dibujar todas las líneas que describen.

Cuando termine, coloca el dibujo junto a la tarjeta con el diseño para que tú y tu pareja puedan verlos ambos. ¿Cómo es el dibujo igual que el diseño? ¿En qué se diferencia? Discuta cualquier falta de comunicación que pudiera haber causado que el dibujo se viera diferente del diseño.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Cuando tu profesor te dé un nuevo juego de tarjetas, cambia de rol por el segundo problema.

Resumen

Aprendimos antes que una forma de encontrar la pendiente de una línea es dibujando un triángulo de pendiente. Por ejemplo, usando el triángulo de pendiente que se muestra aquí, la pendiente de la línea es\(-\frac{2}{4}\), o\(-\frac{1}{2}\) (sabemos que la pendiente es negativa porque la línea está disminuyendo de izquierda a derecha).

Figura\(\PageIndex{2}\)

Pero los triángulos de pendiente son sólo una forma de calcular la pendiente de una línea. Vamos a calcular la pendiente de esta línea de una manera diferente usando solo los puntos\(A=(1,5)\) y\(B=(5,3)\). Como sabemos que la pendiente es el cambio vertical dividido por el cambio horizontal, podemos calcular el cambio en los\(y\) -valores y luego el cambio en los\(x\) -valores. Entre puntos\(A\) y\(B\), el cambio\(y\) -valor es\(3-5=-2\) y el cambio\(x\) -valor es\(5-1=4\). Esto significa que la pendiente es\(-\frac{2}{4}\), o\(-\frac{1}{2}\), que es la misma que la que encontramos usando el triángulo de pendiente.

Observe que en cada uno de los cálculos, restamos el valor del punto\(A\) del valor al punto\(B\). Si lo hubiéramos hecho al revés, entonces el cambio\(y\) -valor habría sido\(5-3=2\) y el cambio\(x\) -valor habría sido\(1-5=-4\), lo que aún nos da una pendiente de\(-\frac{1}{2}\). Pero, ¿y si mezcláramos los pedidos? Si eso hubiera pasado, pensaríamos que la pendiente de la línea es positiva\(\frac{1}{2}\) ya que o bien hubiéramos calculado\(\frac{-2}{-4}\) o\(\frac{2}{4}\). Como ya tenemos una gráfica de la línea y podemos ver que tiene una pendiente negativa, esto es claramente incorrecto. Si no tenemos una gráfica para comprobar nuestro cálculo, podríamos pensar en cómo el punto de la izquierda,\((1,5)\), es más alto que el punto de la derecha,, es decir\((5,3)\), la pendiente de la línea debe ser negativa.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Para cada gráfica, calcule la pendiente de la línea.

Figura\(\PageIndex{3}\): 3 gráficas de líneas etiquetadas A, B, C. Gráfica A, línea a través de puntos 2 coma 6 y 8 coma 4. Gráfica B, línea a través de puntos -5 coma 7 y 1 coma 1. Gráfica C, línea a través de los puntos -6 coma -3 y -2 coma -8.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Coincidir cada par de puntos con la pendiente de la línea que los une.

1. \((9,10)\)y\((7,2)\)
2. \((-8,-11)\)y\((-1,-5)\)
3. \((5,-6)\)y\((2,3)\)
4. \((6,3)\)y\((5,-1)\)
5. \((4,7)\)y\((6,2)\)

1. \(4\)
2. \(-3\)
3. \(-\frac{5}{2}\)
4. \(\frac{6}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dibuja una línea con la pendiente dada a través del punto dado. ¿Qué otro punto se encuentra en esa línea?

Figura\(\PageIndex{4}\): Rejilla de coordenadas con puntos A, B, C, D, E, F trazados. A está en 2 coma 7. B está en 5 coma -2. C está en -4 coma 3. D está en 10 coma 5. E está en 2 coma 0. F está en 4 coma -3.

1. Punto A, pendiente =\(-3\)
2. Punto A, pendiente =\(-\frac{1}{4}\)
3. Punto C, pendiente =\(-\frac{1}{2}\)
4. Punto E, pendiente =\(-\frac{2}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Hacer un boceto de una relación lineal con una pendiente de 4 y una\(y\) intercepción negativa. Muestra cómo sabes que la pendiente es 4 y escribe una ecuación para la línea.

(De la Unidad 3.2.4)