3.4.1: Soluciones a Ecuaciones Lineales

Lección

Pensemos en lo que significa ser una solución a una ecuación lineal con dos variables en ella.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Estimate Area

¿Qué cifra tiene la región sombreada más grande?

Figura\(\PageIndex{1}\): 3 cuadrados etiquetados A, B, C. el cuadrado A tiene una mitad más un cuarto de sombreado. el cuadrado b tiene una mitad más un cuarto sombreado. el cuadrado c tiene la fracción 3 sobre 4 más la fracción 1 sobre 16 sombreada

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Apples and Oranges

En el mercado de productos de la esquina, las manzanas cuestan $1 cada una y las naranjas cuestan $2 cada una.

1. Encuentra el costo de:
   1. 6 manzanas y 3 naranjas
   2. 4 manzanas y 4 naranjas
   3. 5 manzanas y 4 naranjas
   4. 8 manzanas y 2 naranjas
2. Noah tiene $10 para gastar en el mercado de productos. ¿Puede comprar 7 manzanas y 2 naranjas? Explica o muestra tu razonamiento.
3. ¿Qué combinaciones de manzanas y naranjas puede comprar Noé si gasta todos sus $10?
4. Usa dos variables para escribir una ecuación que represente combinaciones de 10 dólares de manzanas y naranjas. Asegúrese de decir lo que significa cada variable.
5. ¿Cuáles son las 3 combinaciones de manzanas y naranjas que hacen que tu ecuación sea cierta? ¿Cuáles son las tres combinaciones de manzanas y naranjas que la hacen falsa?

¿Estás listo para más?

1. Grafica la ecuación que escribiste relacionando el número de manzanas y el número de naranjas.
2. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Cuál es el significado de la pendiente en términos del contexto?
3. Supongamos que Noé tiene $20 para gastar. Grafica la ecuación que describe esta situación. ¿Qué nota sobre la relación entre esta gráfica y la anterior?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Solutions and Everything Else

Tienes dos números. Si duplicas el primer número y lo agregas al segundo número, la suma es 10.

1. Dejar\(x\) representar el primer número y dejar\(y\) representar el segundo número. Escribe una ecuación que muestre la relación entre\(x\),\(y\), y 10.
2. Dibuje y etiquete un conjunto de\(x\) - y\(y\) -ejes. Trama al menos cinco puntos en este plano de coordenadas que hagan que la declaración y su ecuación sean verdaderas. ¿Qué nota de los puntos que ha trazado?
3. Enumere diez puntos que no hagan cierta la afirmación. Usando un color diferente, trazar cada punto en el mismo plano de coordenadas. ¿Qué notas de estos puntos en comparación con tu primer conjunto de puntos?

Resumen

Piensa en todos los rectángulos cuyos perímetros son 8 unidades. Si\(x\) representa el ancho y\(y\) representa la longitud, entonces\(2x+2y=8\) expresa la relación entre la anchura y la longitud para todos esos rectángulos.

Por ejemplo, el ancho y largo podrían ser 1 y 3, ya que\(2\cdot 1+2\cdot 3=8\) o el ancho y largo podrían ser de 2.75 y 1.25, ya que\(2\cdot (2.75)+2\cdot (1.25)=8\).

Podríamos encontrar muchos otros pares posibles de ancho y largo,\((x,y)\), que hacen que la ecuación sea cierta, es decir, pares\((x,y)\) que cuando se sustituyen en la ecuación hacen que el lado izquierdo y el lado derecho sean iguales.

Una solución a una ecuación con dos variables es cualquier par de valores\((x,y)\) que hagan verdadera la ecuación.

Podemos pensar en los pares de números que son soluciones de una ecuación como puntos en el plano de coordenadas. Aquí hay una línea creada por todos los puntos\((x,y)\) que son soluciones a\(2x+2y=8\). Cada punto de la línea representa un rectángulo cuyo perímetro es de 8 unidades. Todos los puntos que no están en la línea no son soluciones a\(2x+2y=8\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de una línea, origen O, con cuadrícula. Eje horizontal, escala 0 a 5, por 1's. Eje vertical, escala 0 a 5, por 1's. La línea comienza en el eje vertical sobre el origen, pasa por 1 coma 3 y 2 y 75 centésimas coma 1 y 25 centésimas.

Entradas en el glosario

Definición: Solución a una ecuación con dos variables

Una solución a una ecuación con dos variables es un par de valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera.

Por ejemplo, una posible solución a la ecuación\(4x+3y=24\) es\((6,0)\). Sustituir 6 por\(x\) y 0 por\(y\) hace que esta ecuación sea verdadera porque\(4(6)+3(0)=24\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Seleccione todos los pares ordenados\((x,y)\) que sean soluciones a la ecuación lineal\(2x+3y=6\).

1. \((0,2)\)
2. \((0,6)\)
3. \((2,3)\)
4. \((3,-2)\)
5. \((3,0)\)
6. \((6,-2)\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

La gráfica muestra una relación lineal entre\(x\) y\(y\).

\(x\)representa el número de cómics que Priya compra en la tienda, todos al mismo precio, y\(y\) representa la cantidad de dinero (en dólares) que Priya tiene después de comprar los cómics.

Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de una línea, origen O, con cuadrícula. Eje horizontal, cómics, escala 0 a 5, por 1's. Eje vertical, dólares, escala 0 a 20, por 5's. La línea comienza en 0 coma 20 y termina en 5 coma 0.

1. Encuentra e interpreta las\(x\) - y\(y\) -intercepciones de esta línea.
2. Encuentra e interpreta la pendiente de esta línea.
3. Encuentra una ecuación para esta línea.
4. Si Priya compra 3 cómics, ¿cuánto dinero le quedará?

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Haga coincidir cada ecuación con sus tres soluciones.

1. \(y=1.5x\)
2. \(2x+3y=7\)
3. \(x-y=4\)
4. \(3x=\frac{y}{2}\)
5. \(y=-x+1\)

1. \((14,21), (2,3), (8,12)\)
2. \((-3,-7), (0,-4), (-1, -5)\)
3. \((\frac{1}{8}, \frac{7}{8}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{4}, \frac{3}{4})\)
4. \((1, 1\frac{2}{3}), (-1, 3), (0, 2\frac{1}{3})\)
5. \((0.5, 3), (1, 6), (1.2, 7.2)\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Un contenedor de combustible dispensa combustible a razón de 5 galones por segundo. Si\(y\) representa la cantidad de combustible restante en el contenedor, y\(x\) representa el número de segundos que han pasado desde que el combustible comenzó a dispensar, entonces\(x\) y\(y\) satisfacer una relación lineal.

En el plano de coordenadas, ¿la pendiente de la línea que representa esa relación tendrá una pendiente positiva, negativa o cero? Explique cómo sabe.

(De la Unidad 3.3.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Una tienda de sándwiches cobra una tarifa de entrega para llevar el almuerzo a un edificio de oficinas. Una oficina paga $33 por 4 sándwiches de pavo. Otra oficina paga 61 dólares por 8 sándwiches de pavo. ¿Cuánto agrega cada sándwich de pavo al costo de la entrega? Explique cómo sabe.

(De la Unidad 3.2.1)