3.4.2: Más soluciones a ecuaciones lineales
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Lección
Busquemos soluciones a ecuaciones más lineales.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Coordinate Pairs
Para cada ecuación elija un valor para\(x\) y luego resuelva para encontrar el\(y\) valor correspondiente que haga que esa ecuación sea verdadera.
- \(6x=7y\)
- \(5x+3y=9\)
- \(y+5-\frac{1}{3}x=7\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): True or False: Solutions in the Coordinate Plane
Aquí hay gráficas que representan tres relaciones lineales. Estas relaciones también podrían representarse con ecuaciones.
Para cada enunciado a continuación, decida si es verdadera o falsa. Explica tu razonamiento.
- \((4,0)\)es una solución de la ecuación para línea\(m\).
- Las coordenadas del punto\(G\) hacen que tanto las ecuaciones para línea\(m\) como la ecuación para línea\(n\) sean verdaderas.
- \(x=0\)es una solución de la ecuación para línea\(n\).
- \((2,0)\)hace que tanto la ecuación para línea\(m\) como la ecuación para línea sean\(n\) verdaderas.
- No hay solución para la ecuación para línea\(l\) que tiene\(y=0\).
- Las coordenadas de punto\(H\) son soluciones a las ecuaciones para línea\(l\).
- Hay exactamente dos soluciones de la ecuación por línea\(l\).
- Hay un punto cuyas coordenadas hacen verdaderas las ecuaciones de las tres líneas.
Después de que termine de discutir las ocho declaraciones, busque otro grupo y verifique sus respuestas contra las suyas. Discutir cualquier desacuerdo.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): I'll Take an X, Please
Un compañero tiene 6 cartas etiquetadas de la A a la F y una pareja tiene 6 cartas etiquetadas de la a a la f. En cada par de cartas (por ejemplo, Cartas A y a), hay una ecuación en una carta y un par de coordenadas,\((x,y)\), que hace que la ecuación sea verdadera en la otra carta.
- El socio con la ecuación le pregunta al socio con una solución ya sea para el\(x\) -valor o el\(y\) -valor y explica por qué eligió el que hicieron.
- El socio con la ecuación utiliza este valor para encontrar el otro valor, explicando cada paso a medida que avanza.
- El compañero con el par de coordenadas le dice entonces al compañero con la ecuación si está bien o mal. Si se equivocan, ambos socios deben revisar los pasos para encontrar y corregir cualquier error. Si tienen razón, ambos socios pasan al siguiente juego de cartas.
- Sigue jugando hasta que hayas terminado las Cartas de la A a la F.
¿Estás listo para más?
Considera la ecuación\(ax+by=c\), dónde\(a, b\), y\(c\) son números positivos.
- Encuentra las coordenadas de las\(y\) intercepciones\(x\) - y -de la gráfica de la ecuación.
- Encuentra la pendiente de la gráfica.
Resumen
Pensemos en la ecuación lineal\(2x-4y=12\). Si sabemos que\((0,-3)\) es una solución a la ecuación, entonces también sabemos que\((0,-3)\) es un punto en la gráfica de la ecuación. Dado que este punto está en el\(y\) eje -también sabemos que es la intercepción vertical de la gráfica. Pero, ¿qué pasa con la coordenada de la intercepción horizontal, cuándo\(y=0\)? Bueno, podemos usar la ecuación para resolverlo.
\(\begin{aligned} 2x-4y&=12\\ 2x-4(0)&=12\\2x&=12\\x&=6\end{aligned}\nonumber\)
Desde\(x=6\) cuando\(y=0\), sabemos que el punto\((6,0)\) está en la gráfica de la línea. No importa la forma en que venga una ecuación lineal, siempre podemos encontrar soluciones a la ecuación comenzando con un valor y luego resolviendo para el otro valor.
Entradas en el glosario
Definición: Solución a una ecuación con dos variables
Una solución a una ecuación con dos variables es un par de valores de las variables que hacen que la ecuación sea verdadera.
Por ejemplo, una posible solución a la ecuación\(4x+3y=24\) es\((6,0)\). Sustituir 6 por\(x\) y 0 por\(y\) hace que esta ecuación sea verdadera porque\(4(6)+3(0)=24\).
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Para cada ecuación, encuentra\(y\) cuándo\(x=-3\). Entonces encuentra\(x\) cuando\(y=2\)
- \(y=6x+8\)
- \(y=\frac{2}{3}x\)
- \(y=-x+5\)
- \(y=\frac{3}{4}x-2\frac{1}{2}\)
- \(y=1.5x+11\)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Verdadero o falso: Los puntos\((6,13)\),\((21,33)\), y\((99,137)\) todos se encuentran en la misma línea. La ecuación de la línea es\(y=\frac{4}{3}x+5\). Explica o muestra tu razonamiento.
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Aquí hay una ecuación lineal:\(y=\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}\)
- ¿Son ((1,1.5)\) y\((12, 4)\) soluciones a la ecuación? Explica o muestra tu razonamiento.
- Encuentra la\(x\) -intercepción de la gráfica de la ecuación. Explica o muestra tu razonamiento.
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Encuentra las coordenadas de\(B\),\(C\), y\(D\) dado que\(AB=5\) y\(BC=10\).
(De la Unidad 2.3.2)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Hacer coincidir cada gráfica de una relación lineal con una situación que refleje más razonablemente su contexto.
- Gráfica A
- Gráfica B
- Gráfica C
- Gráfica D
- \(y\)es el peso de un gatito\(x\) días después del nacimiento.
- \(y\)es la distancia que queda para recorrer en un viaje en automóvil después de\(x\) horas de manejo a un ritmo constante hacia su destino.
- \(y\)es la temperatura, en grados C, de un gas que se calienta en un experimento de laboratorio.
- \(y\)es la cantidad de calorías consumidas comiendo\(x\) galletas saladas.
(De la Unidad 3.3.1)