5.2.1: Ecuaciones para Funciones

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Lección

Busquemos las salidas de las ecuaciones.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: A Square's Area

Rellene la tabla de pares entrada-salida para la regla dada. Escribe una expresión algebraica para la regla en el cuadro del diagrama.

Mesa$\PageIndex{1}$
entrada	salida
$8$
$2.2$
$12\frac{1}{4}$
$s$

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Diagrams, Equations, and Descriptions

Registre sus respuestas a estas preguntas en la tabla proporcionada.

Haga coincidir cada una de estas descripciones con un diagrama:
1. la circunferencia,$C$, de un círculo con radio,$r$
2. la distancia en millas,$d$, que viajarías en$t$ horas si conduces a 60 millas por hora
3. la salida cuando triplicas la entrada y restas 4
4. el volumen de un cubo,$v$ dada su longitud de borde,$s$
Escribe una ecuación para cada descripción que exprese la salida como una función de la entrada.
Encuentra la salida cuando la entrada es 5 para cada ecuación.
Nombrar las variables independientes y dependientes de cada ecuación.

Figura$\PageIndex{2}$: Cuatro diagramas de reglas de entrada-salida. Diagrama A, s, flecha derecha, regla es, s cubo, flecha derecha, v. Diagrama B, t, regla es, 60 t, flecha derecha, d. diagrama C, x, flecha derecha, regla es, 3 x menos 4, flecha derecha, y. diagrama D, r, flecha derecha, 2 pi r, flecha derecha, 2 pi r, flecha derecha, C.

Mesa$\PageIndex{2}$
descripción	a	b	c	d
diagrama
ecuación
entrada = 5 salida =?
variable independiente
variable dependiente

¿Estás listo para más?

Elija un número de 3 dígitos como entrada.

Aplica la siguiente regla, paso a paso:

Multiplica tu número por 7.
Agrega uno al resultado.
Multiplica el resultado por 11.
Restar 5 del resultado.
Multiplica el resultado por 13
Restar 78 del resultado para obtener la salida.

¿Se puede describir una manera más sencilla de describir esta regla? ¿Por qué funciona esto?

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Dimes and Quarters

Jada tuvo algunas dimes y trimestres que tuvieron un valor total de 12.50 dólares. La relación entre el número de dimes$d$, y el número de trimestres,$q$, puede ser expresada por la ecuación$0.1d+0.25q=12.5$.

Si Jada tiene 4 cuartos, ¿cuántas dimes tiene?
Si Jada tiene 10 cuartos, ¿cuántas dimes tiene?
¿El número de dimes es una función del número de trimestres? En caso afirmativo, escribe una regla (que comience con$d=$...) que pueda usar para determinar la salida,$d$, a partir de una entrada dada,$q$. Si no, explique por qué no.
Si Jada tiene 25 dimes, ¿cuántos cuartos tiene?
Si Jada tiene 30 dimes, ¿cuántos cuartos tiene?
¿El número de trimestres es una función del número de dimes? En caso afirmativo, escribe una regla (que comience con$q=$...) que pueda usar para determinar la salida,$q$, a partir de una entrada dada,$d$. Si no, explique por qué no.

Resumen

A veces podemos representar funciones con ecuaciones. Por ejemplo, el área$A$,, de un círculo es una función del radio,$r$, y podemos expresarlo con una ecuación:$A=\pi r^{2}$

También podemos dibujar un diagrama para representar esta función:

En este caso, pensamos en el radio,$r$, como la entrada, y el área del círculo,$A$, como la salida. Por ejemplo, si la entrada es un radio de 10 cm, entonces la salida es un área de$100\pi$ cm ², o aproximadamente 314 cm cuadrados. Debido a que esta es una función, podemos encontrar el área,$A$, para cualquier radio dado,$r$.

Al ser la entrada, decimos que$r$ es la variable independiente y, como salida,$A$ es la variable dependiente.

A veces cuando tenemos una ecuación llegamos a elegir qué variable es la variable independiente. Por ejemplo, si sabemos que

$10A-4B=120$

entonces podemos pensar en$A$ como una función de$B$ y escribir

$A=0.4B+12$

o podemos pensar en$B$ como una función de$A$ y escribir

$B=2.5A-30$

Entradas en el glosario

Definición: Variable dependiente

Una variable dependiente representa la salida de una función.

Por ejemplo, supongamos que necesitamos comprar 20 piezas de fruta y decidir comprar manzanas y plátanos. Si seleccionamos primero el número de manzanas, la ecuación$b=20-a$ muestra el número de plátanos que podemos comprar. El número de plátanos es la variable dependiente porque depende del número de manzanas.

Definición: Variable independiente

Una variable independiente representa la entrada de una función.

Por ejemplo, supongamos que necesitamos comprar 20 piezas de fruta y decidir comprar algunas manzanas y plátanos. Si seleccionamos primero el número de manzanas, la ecuación$b=20-a$ muestra el número de plátanos que podemos comprar. El número de manzanas es la variable independiente porque podemos elegir cualquier número para ello.

Definición: Radio

Un radio es un segmento de línea que va desde el centro hasta el borde de un círculo. Un radio puede ir en cualquier dirección. Cada radio del círculo tiene la misma longitud. También usamos la palabra radio para significar la longitud de este segmento.

Por ejemplo,$r$ es el radio de este círculo con centro$O$.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Aquí hay una ecuación que representa una función:$72x+12y=60$.

Seleccione todas las diferentes ecuaciones que describen la misma función:

$120y+720x=600$
$y=5-6x$
$2y+12x=10$
$y=5+6x$
$x=\frac{5}{6}-\frac{y}{6}$
$7x+2y=6$
$x=\frac{5}{6}+\frac{y}{6}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Graficar un sistema de ecuaciones lineales sin soluciones.
Escribe una ecuación para cada línea que graficas.

(De la Unidad 4.3.4)

Ejercicio$\PageIndex{6}$

El arroz integral cuesta $2 por libra y los frijoles cuestan $1.60 por libra. Lin tiene $10 para gastar en estos artículos para hacer una gran comida de frijoles y arroz para una cena de comida. $b$Sea la cantidad de libras de frijoles que Lin compra y$r$ sea la cantidad de libras de arroz que compra cuando gasta todo su dinero en esta comida.

Escribir una ecuación que relacione las dos variables.
Reorganizar la ecuación para que$b$ sea la variable independiente.
Reorganizar la ecuación para que$r$ sea la variable independiente.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Resuelve cada ecuación y comprueba tu respuesta.

$2x+4(3-2x)=\frac{3(2x+2)}{6}+4\qquad 4x+5=-3x-8\qquad \frac{1}{2}-\frac{1}{8}q=\frac{q-1}{4}$

(De la Unidad 4.2.5)

entrada	salida
\(8\)
\(2.2\)
\(12\frac{1}{4}\)
\(s\)