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LibreTexts Español

5.2.5: Conexión de representaciones de funciones

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    Lección

    Conectemos tablas, ecuaciones, gráficas e historias de funciones.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Which are the Same? Which are Different?

    Aquí hay tres formas diferentes de representar funciones. ¿Cómo son iguales? ¿En qué se diferencian? \(y=2x\)

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    Figura\(\PageIndex{1}\)
    \(p\) -2 -1 0 1 2 3
    \(q\) 4 2 0 -2 -4 -6
    Mesa\(\PageIndex{1}\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Comparing Temperatures

    El gráfico muestra la temperatura entre el mediodía y la medianoche en Ciudad A en un día determinado.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica en plano coordenado, horizontal, tiempo en horas después del mediodía, 0 a 12 por unos, vertical, temperatura en grados Farenheit, 50 a 60 por unos. El gráfico comienza en 0 coma 50 y sube lentamente, más rápido a medida que se mueve hacia la derecha, pasando por 2 coma 52 y 4 coma 57 antes de alcanzar su punto máximo en 5 punto 8 coma 59. La gráfica luego disminuye de manera constante a medida que se mueve hacia la derecha hasta llegar al punto 12 coma 52 punto 5.

    En la tabla se muestra la temperatura\(T\), en grados Fahrenheit, para\(h\) horas después del mediodía, en la Ciudad B.

    \(h\) 1 2 3 4 5 6
    \(T\) 82 78 75 62 58 59
    Mesa\(\PageIndex{2}\)
    1. ¿Qué ciudad era más cálida a las 4:00 p.m.?
    2. ¿Qué ciudad tuvo un mayor cambio de temperatura entre la 1:00 p.m. y las 5:00 p.m.?
    3. ¿Cuánto mayor fue la temperatura más alta registrada en Ciudad B que la temperatura más alta registrada en Ciudad A durante este tiempo?
    4. Compara las salidas de las funciones cuando la entrada es 3.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Comparing Volumes

    El volumen,\(V\), de un cubo con longitud de borde\(s\) cm viene dado por la ecuación\(V=s^{3}\). El volumen de una esfera es función de su radio (en centímetros), y aquí se muestra la gráfica de esta relación.

    1. ¿El volumen de un cubo con longitud de borde es\(s=3\) mayor o menor que el volumen de una esfera con radio 3?
    2. Si una esfera tiene el mismo volumen que un cubo con una longitud de borde 5, estime el radio de la esfera.
    3. Compara las salidas de las dos funciones de volumen cuando las entradas son 2.

    Aquí hay un applet para usar si así lo desea.

    ¿Estás listo para más?

    Estime la longitud de borde de un cubo que tiene el mismo volumen que una esfera con radio 2.5.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\): It's Not a Race

    La familia de Elena conduce por la autopista a 55 millas por hora.

    La familia de Andre circula por la misma autopista, pero no a una velocidad constante. En la tabla se muestra hasta dónde ha viajado la familia de Andre\(d\),, en millas, cada minuto durante 10 minutos.

    \(t\) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    \(d\) 0.9 1.9 3.0 4.1 5.1 6.2 6.8 7.4 8 9.1
    Mesa\(\PageIndex{3}\)
    1. ¿Cuántas millas por minuto son 55 millas por hora?
    2. ¿Quién había viajado más lejos después de 5 minutos? ¿Después de 10 minutos?
    3. ¿Cuánto tardó la familia de Elena en viajar tan lejos como la familia de Andre había viajado después de 8 minutos?
    4. Para ambas familias, la distancia en millas es una función del tiempo en minutos. Compara las salidas de estas funciones cuando la entrada es 3.

    Resumen

    Las funciones se tratan de obtener salidas de entradas. Para cada forma de representar una función —ecuación, gráfica, tabla o descripción verbal— podemos determinar la salida para una entrada dada.

    Digamos que tenemos una función representada por la ecuación\(y=3x+2\) donde\(y\) está la variable dependiente y\(x\) es la variable independiente. Si quisiéramos encontrar la salida que va con 2, podemos ingresar 2 en la ecuación para\(x\) y encontrar el valor correspondiente de\(y\). En este caso, cuando\(x\) es 2,\(y\) es 8 ya que\(3\cdot 2+2=8\).

    Si en su lugar tuviéramos una gráfica de esta función, entonces las coordenadas de los puntos en la gráfica son los pares entrada-salida. Entonces leeríamos la\(y\) coordenada -del punto en la gráfica que corresponde a un valor de 2 para\(x\). Al mirar la gráfica de esta función aquí, podemos ver el punto\((2,8)\) en ella, por lo que la salida es 8 cuando la entrada es 2.

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    Figura\(\PageIndex{3}\): La gráfica de una línea en el plano de coordenadas con el origen etiquetado como “O”. El eje horizontal tiene indicados los números negativos del 1 al 2 y hay líneas de cuadrícula verticales entre cada entero. El eje vertical tiene los números negativos del 2 al 8, en incrementos de 2, indicados, y hay líneas de cuadrícula horizontales entre cada entero. La línea comienza a la derecha del eje y y por debajo del eje x. Se inclinó hacia arriba y hacia la derecha pasando por el punto con coordenadas negativas 1 coma negativa 1, cruza el eje y en 2, y pasa por el punto indicado etiquetado 2 coma 8.

    Una tabla que representa esta función muestra los pares entrada-salida directamente (aunque solo para entradas seleccionadas).

    \(x\) -1 0 1 2 3
    \(y\) -1 2 5 8 11
    Mesa\(\PageIndex{4}\)

    Nuevamente, la tabla muestra que si la entrada es 2, la salida es 8.

    Entradas en el glosario

    Definición: Variable dependiente

    Una variable dependiente representa la salida de una función.

    Por ejemplo, supongamos que necesitamos comprar 20 piezas de fruta y decidir comprar manzanas y plátanos. Si seleccionamos primero el número de manzanas, la ecuación\(b=20-a\) muestra el número de plátanos que podemos comprar. El número de plátanos es la variable dependiente porque depende del número de manzanas.

    Definición: Variable independiente

    Una variable independiente representa la entrada de una función.

    Por ejemplo, supongamos que necesitamos comprar 20 piezas de fruta y decidir comprar algunas manzanas y plátanos. Si seleccionamos primero el número de manzanas, la ecuación\(b=20-a\) muestra el número de plátanos que podemos comprar. El número de manzanas es la variable independiente porque podemos elegir cualquier número para ello.

    Definición: Radio

    Un radio es un segmento de línea que va desde el centro hasta el borde de un círculo. Un radio puede ir en cualquier dirección. Cada radio del círculo tiene la misma longitud. También usamos la palabra radio para significar la longitud de este segmento.

    Por ejemplo,\(r\) es el radio de este círculo con centro\(O\).

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    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Definición: Volumen

    Volumen es el número de unidades cúbicas que llenan una región tridimensional, sin huecos ni superposiciones.

    Por ejemplo, el volumen de este prisma rectangular es de 60 unidades 3, debido a que está compuesto por 3 capas que son cada una de 20 unidades 3.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    La ecuación y las tablas representan dos funciones diferentes. Usa la ecuación\(b=4a-5\) y la tabla para responder a las preguntas. Esta tabla representa\(c\) como una función de\(a\).

    \(a\) -3 0 2 5 10 12
    \(c\) -20 7 3 21 19 45
    Mesa\(\PageIndex{5}\)
    1. ¿Cuándo\(a\) es -3, es\(b\) o\(c\) mayor?
    2. Cuando\(c\) es 21, ¿cuál es el valor de\(a\)? ¿Cuál es el valor de\(b\) que va con este valor de\(a\)?
    3. ¿Cuándo\(a\) es 6, es\(b\) o\(c\) mayor?
    4. ¿Para qué valores de\(a\) sabemos que\(c\) es mayor que\(b\)?

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Elena y Lin están entrenando para una carrera. Elena corre su milla a una velocidad constante de 7.5 millas por hora.

    Las distancias totales de Lin se registran cada minuto:

    tiempo (minutos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    distancia (millas) 0.11 0.21 0.32 0.41 0.53 0.62 0.73 0.85 1
    Mesa\(\PageIndex{6}\)
    1. ¿Quién terminó primero su milla?
    2. Esta es una gráfica del progreso de Lin. Dibuja una gráfica para representar la milla de Elena en los mismos ejes.
    clipboard_e218fdc26d418ef176394feb3a4a9e2fe.png
    Figura\(\PageIndex{6}\)

    3. Para estos modelos, ¿la distancia es una función del tiempo? ¿El tiempo es una función de la distancia? Explique cómo sabe.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Haga coincidir cada regla de función con el valor que no podría ser una entrada posible para esa función.

    1. 3 dividido por la entrada
    2. Agrega 4 a la entrada, luego divide este valor en 3
    3. Restar 3 de la entrada, luego dividir este valor en 1
    1. 3
    2. 4
    3. -4
    4. 0
    5. 1

    (De la Unidad 5.1.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Encontrar un valor\(x\) que haga que la ecuación sea verdadera. Explica tu razonamiento, y comprueba que tu respuesta sea correcta.

    \(-(-2x+1)=9-14x\)

    (De la Unidad 4.2.3)

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