5.3.1: Funciones lineales

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 118628

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Lección

Investiguemos las funciones lineales.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Bigger and Smaller

Diego dijo que estas gráficas están ordenadas de menor a mayor. Mai dijo que se ordenan de mayor a menor. Pero estas son gráficas, ¡no números! ¿Qué opinas que están pensando Diego y Mai?

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Proportional Relationships Define Linear Functions

1. Jada gana 7 dólares por hora cortando el césped de su vecina.

Nombra las dos cantidades en esta situación que están en una relación funcional. ¿Cuál elegiste para ser la variable independiente? ¿Cuál es la variable que depende de ello?
Aquí hay una gráfica de la función. Etiquetar los ejes. Etiquete al menos dos puntos con pares de entrada-salida.
Escribe una ecuación que represente la función.

2. Para convertir pies en yardas, multiplicas el número de pies por$\frac{1}{3}$.

Nombra las dos cantidades en esta situación que están en una relación funcional. ¿Cuál elegiste para ser la variable independiente? ¿Cuál es la variable que depende de ello?
Escribe una ecuación que represente la función.
Dibuja la gráfica de la función. Etiquete al menos dos puntos con pares de entrada-salida.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Is it Filling Up or Draining Out?

Hay cuatro tanques de agua.

La cantidad de agua en galones,$A$, en el Tanque A viene dada por la función$A=200+8t$, donde$t$ es en minutos.
La cantidad de agua en galones$B$, en el Tanque B comienza en 400 galones y está disminuyendo a 5 galones por minuto. Estas funciones funcionan cuando$t\geq 0$ y$t\leq 80$.

¿Qué tanque comenzó con más agua?
Escribir una ecuación que represente la relación entre$B$ y$t$.
Un tanque se está llenando. El otro se está drenando. ¿Cuál es cuál? ¿Cómo se puede decir?
La cantidad de agua en galones,$C$, en el Tanque C viene dada por la función$C=800-7t$. ¿Se está llenando o drenando? ¿Se puede decir con sólo mirar la ecuación?
Se muestra la gráfica de la función para la cantidad de agua en galones$D$,, en el Tanque D en$t$ el momento. ¿Se está llenando o drenando? ¿Cómo lo sabes?

¿Estás listo para más?

Escoge un tanque que estaba drenando. ¿Cuánto tiempo tardó en drenar ese tanque? ¿Qué porcentaje lleno estaba el tanque cuando había transcurrido el 30% de ese tiempo? ¿Cuándo había transcurrido el 70% del tiempo?
¿Qué punto en el avión es 30% del camino de$(0,15)$ a$(5,0)$? ¿70% del camino?
¿Qué punto en el avión es 30% del camino de$(3,5)$ a$(8,6)$? ¿70% del camino?

Ejercicio$\PageIndex{4}$: Which is Growing Faster?

Noah está depositando dinero en su cuenta todas las semanas para ahorrar dinero. El gráfico muestra la cantidad que ha ahorrado en función del tiempo desde que abrió su cuenta.

Elena abrió una cuenta el mismo día que Noé. La cantidad de dinero$E$ en su cuenta viene dada por la función$E=8w+60$, donde$w$ está el número de semanas desde que se abrió la cuenta.

¿Quién empezó con más dinero en su cuenta? Explique cómo sabe.
¿Quién está ahorrando dinero a un ritmo más rápido? Explique cómo sabe.
¿Cuánto ahorrará Noé en el transcurso de un año si no hace ningún retiro? ¿Cuánto tardará Elena en ahorrar tanto?

Resumen

Supongamos que un automóvil viaja a 30 millas por hora. La relación entre el tiempo en horas y la distancia en millas es una relación proporcional. Podemos representar esta relación con una ecuación de la forma$d=30t$, donde la distancia es una función del tiempo (ya que cada entrada de tiempo tiene exactamente una salida de distancia). O podríamos escribir la ecuación$t=\frac{1}{30}d$ en su lugar, donde el tiempo es una función de la distancia (ya que cada entrada de distancia tiene exactamente una salida de tiempo).

Más generalmente, si representamos una función lineal con una ecuación como$y=mx+b$, entonces$b$ es el valor inicial (que es 0 para las relaciones proporcionales), y$m$ es la tasa de cambio de la función. Si$m$ es positivo, la función va en aumento. Si$m$ es negativo, la función es decreciente. Si representamos una función lineal de una manera diferente, digamos con una gráfica, podemos usar lo que sabemos sobre gráficas de líneas para encontrar los$b$ valores$m$ y y, si es necesario, escribir una ecuación.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Dos autos circulan por la misma carretera en la misma dirección. Las gráficas muestran la distancia,$d$, de cada una en función del tiempo,$t$. ¿Qué auto conduce más rápido? Explique cómo sabe.

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Dos servicios de autos te ofrecen para recogerte y llevarte a tu destino. El Servicio A cobra 40 centavos por recogerte y 30 centavos por cada milla de tu viaje. El Servicio B cobra $1.10 para recogerte y cobra$c$ centavos por cada milla de tu viaje.

Coincidir los servicios con las Líneas$l$ y$m$.
Para el Servicio B, ¿el cargo adicional por milla es mayor o menor que 30 centavos por milla mayor o menor que 30 centavos por milla del viaje? Explica tu razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

A Kiran y Clare les gusta correr entre sí a casa desde la escuela. Corren a la misma velocidad, pero la casa de Kiran está un poco más cerca de la escuela que la casa de Clare. En una gráfica, su distancia de sus hogares en metros es función del tiempo desde que inician la carrera en segundos.

Al leer las gráficas de izquierda a derecha, ¿las líneas subirían o bajarían?
¿Qué hay de diferente en las líneas que representan la carrera de Kiran y la carrera de Clare?
¿Qué pasa con los gravámenes que representan la carrera de Kiran y la carrera de Clare?

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Escribe una ecuación para cada línea.

Figura$\PageIndex{8}$: Cinco líneas. Línea verde, horizontal a través (0 coma negativa 2). Línea roja a través (0 coma 5) y (1 coma 7). Línea amarilla a través (0 coma 5) y (1 coma 2). Línea negra a través (0 coma negativa 5) y (5 coma 4). Línea azul, vertical, pasante (5 coma 0).

(De la Unidad 3.3.3)