5.3.2: Modelos lineales

Lección

Vamos a modelar situaciones con funciones lineales.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Candlelight

Se quema una vela. Comienza con 12 pulgadas de largo. Después de 1 hora, mide 10 pulgadas de largo. Después de 3 horas, mide 5.5 pulgadas de largo.

1. ¿Cuándo crees que la vela se quemará por completo?
2. ¿La altura de la vela es una función del tiempo? En caso afirmativo, ¿es una función lineal? Explica tu pensamiento.

Esta herramienta está aquí para que la uses si así lo deseas. Para trazar un punto, escriba sus coordenadas. Por ejemplo, intenta escribir\((1,2)\). Para graficar una línea, escriba su ecuación. Intenta escribir\(y=2x-3\). Puedes eliminar cualquier cosa haciendo clic en la X que hay junto a ella.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Shadows

Cuando el Sol estaba directamente sobre la cabeza, el palo no tenía sombra. Después de 20 minutos, la sombra tenía 10.5 cm de largo. Después de 60 minutos, tenía 26 cm de largo.

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. Con base en esta información, estime cuánto tiempo será después de 95 minutos.
2. Después de 95 minutos, la sombra medía 38.5 cm. ¿Cómo se compara esto con tu estimación?
3. ¿La duración de la sombra es una función del tiempo? Si es así, ¿es lineal? Explica tu razonamiento.

Esta herramienta está aquí para que la uses si así lo deseas. Para trazar un punto, escriba sus coordenadas. Por ejemplo, intenta escribir\((3,5)\). Para graficar una línea, escriba su ecuación. Intenta escribir\(y=2x+7\). Puedes eliminar cualquier cosa haciendo clic en la X que hay junto a ella.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Recycling

En una lección anterior, vimos esta gráfica que muestra el porcentaje de toda la basura en Estados Unidos que se recicló entre 1991 y 2013.

Figura\(\PageIndex{2}\): Atribución: Por Shirley810. Dominio Público. Pixabay. Fuente.

Figura\(\PageIndex{3}\): Un diagrama de dispersión, horizontal, año, 1900 a 2015 por cincos, vertical, porcentaje reciclado, 15% a 27% por tres. A partir de 1991 coma 16%, los puntos tienen tendencia linealmente ascendente a 1996 coma 22%, luego linealmente al alza a una tasa menos pronunciada a 2011 coma 26%, luego dos puntos tendencia a la baja.

1. Esbozar una función lineal que modele el cambio en el porcentaje de basura que se recicló entre 1991 y 1995. ¿Para qué años el modelo es bueno para predecir el porcentaje de basura que se produce? ¿Para qué años no es tan bueno?
2. Elija otro período de tiempo para modelar con un boceto de una función lineal. ¿Para qué años el modelo es bueno para hacer predicciones? ¿Para qué años no es muy bueno?

Resumen

El agua tiene diferentes puntos de ebullición a diferentes elevaciones. A 0 m sobre el nivel del mar, el punto de ebullición es\(100^{\circ}\) C. A 2,500 m sobre el nivel del mar, el punto de ebullición es\(91.3^{\circ}\) C. Si asumimos que el punto de ebullición del agua es una función lineal de elevación, podemos usar estos dos puntos de datos para calcular la pendiente de la línea:\(m=\frac{91.3-100}{2,500-0}=\frac{-8.7}{2,500}\)

Esta pendiente significa que por cada incremento de 2,500 m, el punto de ebullición del agua disminuye en\(8.7^{\circ}\) C. A continuación, ya sabemos que la\(y\) -intercepción es\(100^{\circ}\) C desde el primer punto, por lo que una ecuación lineal que representa los datos es\(y=\frac{-8.7}{2,500}x+100\)

Esta ecuación es un ejemplo de un modelo matemático. Un modelo matemático es un objeto matemático como una ecuación, una función o una figura geométrica que usamos para representar una situación de la vida real. A veces una situación puede ser modelada por una función lineal. Tenemos que usar juicio sobre si esto es algo razonable para hacer basado en la información que se nos da. También debemos ser conscientes de que el modelo puede hacer predicciones imprecisas, o solo puede ser apropiado para ciertos rangos de valores.

Probando nuestro modelo para el punto de ebullición del agua, predice con precisión que a una elevación de 1,000 m sobre el nivel del mar (cuando\(x=1,000\)), el agua hervirá a\(96.6^{\circ}\) C desde entonces\(y=\frac{-8.7}{2,500}\cdot 1000+100=96.5\). Para elevaciones más altas, el modelo no es tan preciso, pero aún está cerca. A 5,000 m sobre el nivel del mar, predice\(82.6^{\circ}\) C, que es\(0.6^{\circ}\) C del valor real de\(83.2^{\circ}\) C. A 9.000 m sobre el nivel del mar, predice\(69.7^{\circ}\) C, que es aproximadamente\(3^{\circ}\) C menor que el valor real de\(71.5^{\circ}\) C. El modelo sigue siendo menos preciso a elevaciones aún más altas ya que la relación entre el punto de ebullición del agua y la elevación no es lineal, pero para las elevaciones en las que vive la mayoría de la gente, es bastante buena.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Figura\(\PageIndex{4}\)

El primer día después de la luna nueva, se ilumina 2% de la superficie de la Luna. Al segundo día, el 6% está iluminado.

1. Con base en esta información, prediga el día en el que la superficie de la Luna esté 50% iluminada y 100% iluminada.
2. La superficie de la Luna está 100% iluminada el día 14. ¿Esto concuerda con la predicción que hiciste?
3. ¿El porcentaje de iluminación de la superficie de la Luna es una función lineal del día?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

En la clase de ciencias, Jada utiliza un cilindro graduado con agua en él para medir el volumen de algunas canicas. Después de dejar caer 4 canicas para que estén todas bajo el agua, el agua en el cilindro se encuentra a una altura de 10 mililitros. Después de dejar caer 6 canicas para que estén todas bajo el agua, el agua en el cilindro se encuentra a una altura de 11 mililitros.

1. ¿Cuál es el volumen de 1 mármol?
2. ¿Cuánta agua había en el cilindro antes de que cayeran canicas?
3. ¿Cuál debería ser la altura del agua después de que se dejan caer 13 canicas?
4. ¿La relación entre el volumen de agua y el número de canicas es una relación lineal? Si es así, ¿qué significa la pendiente de una línea que representa esta relación? Si no, explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Resuelve cada una de estas ecuaciones. Explica o muestra tu razonamiento.

\[2(3x+2)=2x+28\qquad 5y+13=-43-3y\qquad 4(2a+2)=8(2-3a)\nonumber\]

(De la Unidad 4.2.4)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Para cierta ciudad, las altas temperaturas (en grados centígrados) se trazan contra el número de días posteriores al año nuevo.

Con base en esta información, ¿la alta temperatura en esta ciudad es una función lineal del número de días después del año nuevo?

Figura\(\PageIndex{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

La escuela diseñó su huerto para tener un perímetro de 32 pies con la longitud midiendo dos pies más del doble de ancho.

1. Utilizando\(l\) para representar la longitud del jardín y\(w\) para representar su ancho, escribir y resolver un sistema de ecuaciones que describa esta situación.
2. ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?

(De la Unidad 4.3.6)