5.4.2: ¿Cuánto cabrá?

Lección

Vamos a razonar sobre el volumen de diferentes formas.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Two Containers

Tu profesor te enseñará algunos contenedores. El recipiente pequeño tiene capacidad para 200 frijoles. Estima cuántos frijoles contiene el frasco grande.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): What's Your Estimate?

Tu profesor te enseñará algunos contenedores.

1. Si la caja de pasta contiene 8 tazas de arroz, ¿cuánto arroz necesitarías para los otros prismas rectangulares?
2. Si la lata de calabaza contiene 15 onzas líquidas de arroz, ¿cuánto aguantan los otros cilindros?
3. Si el cono pequeño contiene 2 onzas líquidas de arroz, ¿cuánto aguanta el cono grande?
4. Si la pelota de golf estuviera hueca, contendría alrededor de 0.2 tazas de agua. Si el beisbol estuviera hueco, ¿cuánto aguantaría la esfera?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Do You Know These Figures?

• ¿Qué formas se muestran aquí las caras de cada tipo de objeto? Por ejemplo, las seis caras de un cubo son cuadrados

Figura\(\PageIndex{1}\)

1. ¿Qué caras podrían denominarse “base” del objeto?
2. Aquí hay un método para dibujar rápidamente un cilindro:

• Dibuja dos óvalos.
• Conecte los bordes.
• ¿Qué partes de tu dibujo estarían ocultas detrás del cilindro? Hacer estas partes líneas discontinuas.

Figura\(\PageIndex{2}\)

• Practica bosquejar algunos cilindros. Esboce algunos tamaños diferentes, incluyendo corto, alto, estrecho, ancho y lateral. Etiquete el radio\(r\) y la altura\(h\) en cada cilindro.

¿Estás listo para más?

Figura\(\PageIndex{3}\): Atribución: “fútbol/balón de fútbol”, de Tobbi. Dominio Público. OpenClipart. Fuente.

Un balón de fútbol es un poliedro con 12 caras pentagonales negras y 20 caras hexagonales blancas. ¿Cuántos bordes en total hay en este poliedro?

Resumen

El volumen de una figura tridimensional, como un frasco o una habitación, es la cantidad de espacio que encierra la forma. Podemos medir el volumen encontrando el número de unidades de volumen de igual tamaño que llenan la figura sin huecos ni superposiciones. Por ejemplo, podríamos decir que una habitación tiene un volumen de 1,000 pies cúbicos, o que una jarra puede llevar 5 galones de agua. Incluso podríamos medir el volumen de un frasco por el número de frijoles que podría contener, aunque un conteo de frijol no es realmente una medida del volumen de la misma manera que un centímetro cúbico es porque hay espacio entre los frijoles. (El número de frijoles que caben en el frasco sí depende del volumen de la jarra, por lo que es una estimación bien a la hora de juzgar los seis relativos de los contenedores).

En grados anteriores, estudiamos figuras tridimensionales con caras planas que son polígonos. Aprendimos a calcular los volúmenes de prismas rectangulares. Ahora estudiaremos figuras tridimensionales con caras circulares y superficies curvas: conos, cilindros y esferas.

Figura\(\PageIndex{4}\)

Para ayudarnos a ver mejor las formas, podemos usar líneas punteadas para representar partes que no podríamos ver si un objeto físico sólido estuviera frente a nosotros. Por ejemplo, si pensamos que el cilindro en esta imagen representa una lata, el arco punteado en la mitad inferior de ese cilindro representa la mitad posterior de la base circular de la lata. ¿Qué objetos podrían representar las otras figuras de la imagen?

Entradas en el glosario

Definición: Cono

Un cono es una figura tridimensional como una pirámide, pero la base es un círculo.

Definición: Cilindro

Un cilindro es una figura tridimensional como un prisma, pero con bases que son círculos.

Definición: Esfera

Una esfera es una figura tridimensional en la que todas las secciones transversales en todas las direcciones son círculos.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. Esboza un cubo y etiqueta su longitud lateral como 4 cm (este será el Cubo A).
2. Dibuja un cubo con lados que sean el doble de largos que el Cubo A y etiquete su longitud lateral (este será el Cubo B).
3. Encuentra los volúmenes del Cubo A y el Cubo B.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dos vasos de papel para bebidas tienen forma de conos. El cono pequeño puede contener 6 oz de agua. El cono grande es\(\frac{4}{3}\) la altura y\(\frac{4}{3}\) el diámetro del cono pequeño. ¿Cuál de estos podría ser la cantidad de agua que retiene el cono grande?

1. \(8\)cm
2. \(14\)oz
3. \(4.5\)oz
4. \(14\)cm

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

La gráfica representa el volumen de un cilindro con una altura igual a su radio.

1. Cuando el diámetro es de 2 cm, ¿cuál es el radio del cilindro?
2. Expresar el volumen de un cubo de longitud lateral\(s\) como una ecuación.
3. Hacer una mesa para el volumen del cubo a\(s=\) 0 cm,\(s=\) 1 cm,\(s=\) 2 cm y\(s=\) 3 cm.
4. ¿Qué volumen es mayor: el volumen del cubo cuando\(s=\) 3 cm, o el volumen del cilindro cuando su diámetro es de 3 cm?

Figura\(\PageIndex{5}\)

(De la Unidad 5.2.5)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Seleccione todos los puntos que están en una línea con pendiente 2 que también contiene el punto\((2,-1)\).

1. \((3,1)\)
2. \((1,1)\)
3. \((1,-3)\)
4. \((4,0)\)
5. \((6,7)\)

(De la Unidad 3.3.2)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Varios acuarios de vidrio de varios tamaños están a la venta en una tienda de mascotas. Todos tienen forma de prismas rectangulares. Un tanque de 15 galones mide 24 pulgadas de largo, 12 pulgadas de ancho y 12 pulgadas de alto. Haga coincidir las dimensiones de los otros tanques con el volumen de agua que puedan contener cada uno.

1. Tanque 1:36 pulgadas de largo, 18 pulgadas de ancho y 12 pulgadas de alto
2. Tanque 2:16 pulgadas de largo, 8 pulgadas de ancho y 10 pulgadas de alto
3. Tanque 3:30 pulgadas de largo, 12 pulgadas de ancho y 12 pulgadas de alto
4. Tanque 4:20 pulgadas de largo, 10 pulgadas de ancho y 12 pulgadas de alto

1. 5 galones
2. 10 galones
3. 20 galones
4. 30 galones

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Resolver:

\[\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-20}\\{y=x+4}\end{array}\right.\nonumber\]

(De la Unidad 4.3.5)