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5.4.3: El volumen de un cilindro

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    Lección

    Exploremos los cilindros y sus volúmenes.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\): A Circle's Dimensions

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    Aquí hay un círculo. Puntos\(A, B, C,\) y\(D\) se dibujan, así como Segmentos\(AD\) y\(BC\).

    1. ¿Cuál es el área del círculo, en unidades cuadradas? Seleccione todas las que correspondan.
      1. \(4\pi \)
      2. \(\pi 8\)
      3. \(16\pi \)
      4. \(\pi4^{2}\)
      5. aproximadamente\(25\)
      6. aproximadamente\(50\)
    2. Si el área de un círculo es unidades\(49\pi \) cuadradas, ¿cuál es su radio? Explica tu razonamiento.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Circular Volumes

    ¿Cuál es el volumen de cada figura, en unidades cúbicas? Incluso si no estás seguro, haz una conjetura razonable.

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    Figura\(\PageIndex{2}\)
    1. Figura A: Un prisma rectangular cuya base tiene un área de 16 unidades cuadradas y cuya altura es de 3 unidades.
    2. Figura B: Un cilindro cuya base tiene un área de 16 unidades\(\pi\) cuadradas y cuya altura es de 1 unidad.
    3. Figura C: Un cilindro cuya base tiene un área de 16 unidades\(\pi\) cuadradas y cuya altura es de 3 unidades.

    ¿Estás listo para más?

    prisma prisma prisma cilindro
    base: cuadrada base: hexágono base: octágono base: círculo
    Mesa\(\PageIndex{1}\)
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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Aquí hay sólidos que están relacionados por una medición común. En cada uno de estos sólidos, la distancia desde el centro de la base hasta el borde más alejado de la base es de 1 unidad, y la altura del sólido es de 5 unidades. Utilizar 3.14 como aproximación para\(\pi\) resolver estos problemas.

    1. Encuentra el área de la base cuadrada y la base circular.
    2. Utilice estas áreas para calcular los volúmenes del prisma rectangular y el cilindro. ¿Cómo se comparan?
    3. Sin hacer ningún cálculo, enumere las cifras de menor a mayor por volumen. Usa las imágenes y tu conocimiento de polígonos para explicar tu razonamiento.
    4. El área del hexágono es aproximadamente 2.6 unidades cuadradas, y el área del octágono es aproximadamente 2.83 unidades cuadradas. Utilice estas áreas para calcular los volúmenes de los prismas con las bases hexágono y octágono. ¿Cómo concuerda esto tu explicación con la pregunta anterior?

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\): A Cylinder's Dimensions

    1. Para los cilindros A—D, realice el boceto de un radio y una altura. Etiquete el radio con a\(r\) y la altura con un\(h\).

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Atribución: “Camión cisterna de agua Volvo en Irak”/foto silo, de Jum Gordon/N3Dling. Dominio Público. Wikimedia Commons/ Pixabay. Fuente.

    2. Antes aprendiste a bosquejar un cilindro. Boceto de cilindros para E y F y etiquete el radio y la altura de cada uno.

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\): A Cylinder's Volume

    1. Aquí hay un cilindro con altura 4 unidades y diámetro 10 unidades.

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    Figura\(\PageIndex{5}\)
    1. Sombra la base del cilindro.
    2. ¿Cuál es el área de la base del cilindro? Exprese su respuesta en términos de\(\pi\).
    3. ¿Cuál es el volumen de este cilindro? Exprese su respuesta en términos de\(\pi\).

    2. Un silo es un contenedor cilíndrico que se utiliza en granjas para contener grandes cantidades de bienes, como el grano. En una granja en particular, un silo tiene una altura de 18 pies y un diámetro de 6 pies. Haz un boceto de este silo y etiqueta su altura y radio. ¿Cuántos pies cúbicos de grano puede contener este silo? Utilice 3.14 como aproximación para\(\pi\).

    ¿Estás listo para más?

    Una forma de construir un cilindro es tomar un rectángulo (por ejemplo, un trozo de papel), rizar dos bordes opuestos juntos y pegarlos en su lugar.

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    Figura\(\PageIndex{6}\)

    Lo que le daría al cilindro con mayor volumen: ¿Pegando los dos bordes punteados juntos, o pegando los dos bordes sólidos juntos?

    Resumen

    Podemos encontrar el volumen de un cilindro con radio\(r\) y altura\(h\) usando dos ideas que hemos visto antes:

    • El volumen de un prisma rectangular es el resultado de multiplicar el área de su base por su altura.
    • La base del cilindro es un círculo con radio\(r\), por lo que el área base es\(\pi r^{2}\).

    Recuerda que\(\pi\) es el número que obtenemos cuando dividimos la circunferencia de cualquier círculo por su diámetro. El valor de\(\pi\) es aproximadamente 3.14.

    Al igual que un prisma rectangular, el volumen de un cilindro es el área de la base multiplicada por la altura. Por ejemplo, tomar un cilindro cuyo radio sea de 2 cm y cuya altura sea de 5 cm.

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    Figura\(\PageIndex{7}\)

    La base tiene un área de\(4\pi\) cm 2 (ya que\(\pi\cdot 2^{2}=4\pi\)), por lo que el volumen es\(20\pi\) cm 3 (ya que\(4\pi\cdot 5=20\pi\)). Usando 3.14 como aproximación para, podemos decir que el volumen del cilindro es aproximadamente 62.8 cm 3.

    En general, la base de un cilindro con unidades de radio tiene\(r\) unidades\(\pi r^{2}\) cuadradas de área. Si la altura es\(h\) unidades, entonces el volumen\(V\) en unidades cúbicas es\(V=\pi r^{2}h\)

    Entradas en el glosario

    Definición: Cono

    Un cono es una figura tridimensional como una pirámide, pero la base es un círculo.

    Definición: Cilindro

    Un cilindro es una figura tridimensional como un prisma, pero con bases que son círculos.

    Definición: Esfera

    Una esfera es una figura tridimensional en la que todas las secciones transversales en todas las direcciones son círculos.

    Practica

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    • Boceto de un cilindro.
    • Etiquete su radio 3 y su altura 10.
    • Sombra en una de sus bases.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    En una granja, los animales son alimentados con pacas de heno y cubos de grano. Cada fardo de heno tiene la forma de un prisma rectangular. La base tiene longitudes laterales de 2 pies y 3 pies, y la altura es de 5 pies. Cada cubo de grano es un cilindro con un diámetro de 3 pies. La altura del cubo es de 5 pies, la misma que la altura de la paca.

    1. ¿Cuál es más grande en área, la base rectangular de la paca o la base circular del cubo? Explique cómo sabe.
    2. ¿Cuál es mayor en volumen, la paca o la cubeta? Explique cómo sabe.

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Tres cilindros tienen una altura de 8 cm. El cilindro 1 tiene un radio de 1 cm. El cilindro 2 tiene un radio de 2 cm. El cilindro 3 tiene un radio de 3 cm. Encuentra el volumen de cada cilindro.

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Un recipiente de un cuarto de galón de sopa de tomate tiene forma de prisma rectangular. Un tazón de sopa con forma de hemisferio puede contener 8 oz de líquido. ¿Cuántos cuencos llenará el contenedor de sopa? Recordemos que 1 cuarto de galón equivale a 32 onzas líquidas (oz).

    (De la Unidad 5.4.2)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Haga coincidir cada conjunto de información sobre un círculo con el área de ese círculo.

    1. El círculo A tiene un radio de 4 unidades.
    2. El círculo B tiene un radio de 10 unidades.
    3. El círculo C tiene un radio de 16 unidades.
    4. El círculo D tiene un radio de\(4\pi\) unidades.
    1. \(4\pi\)unidades cuadradas
    2. aproximadamente 314 unidades cuadradas
    3. \(64\pi\)unidades cuadradas
    4. \(16\pi\)unidades cuadradas

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Dos estudiantes se unen a un club de resolución de acertijos y llegan más rápido al terminar los rompecabezas a medida que obtienen más práctica. El Estudiante A mejora sus tiempos más rápido que el Estudiante B.

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    Figura\(\PageIndex{8}\)
    1. Emparejar a los alumnos a las Líneas\(l\) y\(m\).
    2. ¿Qué estudiante fue más rápido resolviendo acertijos antes de practicar?

    (De la Unidad 5.3.1)

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