5.4.6: Encontrar las dimensiones del cono
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Averiguemos las dimensiones de los conos.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Thirds
Para cada ecuación, decidir qué valor, en su caso, la haría cierta.
\(27=\frac{1}{3}h\)
\(27=\frac{1}{3}r^{2}\)
\(12\pi =\frac{1}{3}\pi a\)
\(12\pi =\frac{1}{3}\pi b^{2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): An Unknown Radius
El volumen\(V\) de un cono con radio\(r\) viene dado por la fórmula\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\).
El volumen de este cono con altura 3 unidades y radio\(r\) es de unidades\(V=64\pi\) cúbicas. Esta afirmación es cierta:
\(64\pi =\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot 3\)
¿Cuál tiene que ser el radio de este cono? Explique cómo sabe.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Cones with Unknown Dimensions
Cada fila de la tabla tiene alguna información sobre un cono en particular. Completa la mesa con las dimensiones faltantes.
| diámetro (unidades) | radio (unidades) | área de la base (unidades cuadradas) | altura (unidades) | volumen de cono (unidades cúbicas) |
|---|---|---|---|---|
| \(4\) | \(3\) | |||
| \(\frac{1}{3}\) | \(6\) | |||
| \(36\pi\) | \(\frac{1}{4}\) | |||
| \(20\) | \(200\pi\) | |||
| \(12\) | \(64\pi \) | |||
| \(3\) | \(3.14\) |
¿Estás listo para más?
Un frustum es el resultado de tomar un cono y cortar un cono más pequeño usando un corte paralelo a la base.
Encuentra una fórmula para el volumen de un frustum, incluyendo decidir qué cantidades vas a incluir en tu fórmula.
Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Popcorn Deals
Una sala de cine ofrece dos contenedores:
¿Qué contenedor es el mejor valor? Utilice 3.14 como aproximación para\(\pi\).
Resumen
Como vimos con los cilindros, el volumen\(V\) de un cono depende del radio\(r\) de la base y la altura\(h\):
\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h\)
Si conocemos el radio y la altura, podemos encontrar el volumen. Si conocemos el volumen y una de las dimensiones (ya sea radio o altura), podemos encontrar la otra dimensión.
Por ejemplo, imagina un cono con un volumen de\(64\pi\) cm 3, una altura de 3 cm, y un radio desconocido\(r\). Por la fórmula de volumen, sabemos que
\(64\pi =\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot 3\)
Mirando la estructura de la ecuación, podemos ver eso\(r^{2}=64\), por lo que el radio debe ser de 8 cm.
Ahora imagina un cono diferente con un volumen de\(18\pi \) cm 3, un radio de 3 cm, y una altura desconocida\(h\). Usando la fórmula para el volumen del cono, sabemos que
\(18\pi =\frac{1}{3}\pi 3^{2}h\)
por lo que la altura debe ser de 6 cm. ¿Puedes ver por qué?
Entradas en el glosario
Definición: Cono
Un cono es una figura tridimensional como una pirámide, pero la base es un círculo.
Definición: Cilindro
Un cilindro es una figura tridimensional como un prisma, pero con bases que son círculos.
Definición: Esfera
Una esfera es una figura tridimensional en la que todas las secciones transversales en todas las direcciones son círculos.
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
El volumen de este cilindro es de unidades\(175\pi\) cúbicas.
¿Cuál es el volumen de un cono que tiene la misma área base y la misma altura?
(De la Unidad 5.4.5)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Un cono tiene un volumen de pulgadas\(12\pi\) cúbicas. Su altura es de 4 pulgadas. ¿Cuál es su radio?
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Un cono tiene volumen\(3\pi\).
- Si el radio del cono es 1, ¿cuál es su altura?
- Si el radio del cono es 2, ¿cuál es su altura?
- Si el radio del cono es 5, ¿cuál es su altura?
- Si el radio del cono es\(\frac{1}{2}\), ¿cuál es su altura?
- Si el radio del cono entra\(r\), entonces ¿cuál es la altura?
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Tres personas están jugando cerca del agua. La persona A se para en el muelle. La persona B comienza en la parte superior de un poste y tirolesa hacia el agua, luego sale del agua. La persona C sale del agua y sube por el poste de tirolesa. Empareja a las personas con las gráficas donde el eje horizontal representa el tiempo en segundos y el eje vertical representa la altura por encima del nivel del agua en pies.
(De la Unidad 5.2.4)
Ejercicio\(\PageIndex{9}\)
Una habitación mide 15 pies de altura. Un arquitecto quiere incluir una ventana de 6 pies de altura. La distancia entre el piso y la parte inferior de la ventana es de\(b\) pies. La distancia entre el techo y la parte superior de la ventana es de\(a\) pies. Esta relación puede ser descrita por la ecuación\(a=15-(b+6)\)
- ¿Qué variable es independiente en función de la ecuación dada?
- Si el arquitecto\(b\) quiere ser 3, ¿qué significa esto? ¿Para qué valor\(a\) trabajaría con el valor dado\(b\)?
- El cliente quiere que la ventana tenga 5 pies de espacio encima de ella. ¿El cliente está describiendo\(a\) o\(b\)? ¿Cuál es el valor de la otra variable?
(De la Unidad 5.2.1)