5.4.5: El volumen de un cono

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Lección

Exploremos los conos y sus volúmenes.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Which Has a Larger Volume

El cono y el cilindro tienen la misma altura, y los radios de sus bases son iguales.

¿Qué cifra tiene un volumen mayor?
¿Crees que el volumen del menor es más o menor que$\frac{1}{2}$ el volumen del mayor? Explica tu razonamiento.
Dibuja dos conos de diferentes tamaños. ¡El óvalo no tiene que estar en el fondo! Para cada dibujo, etiquete el radio del cono con$r$ y la altura con$h$.

Aquí hay un método para dibujar rápidamente un cono:

Dibuja un óvalo.
Dibuja un punto centrado sobre el óvalo.
Conecte los bordes del óvalo a la punta.
¿Qué partes de tu dibujo estarían ocultas
detrás del objeto? Hacer estas partes líneas discontinuas.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: From Cylinders to Cones

Un cono y un cilindro tienen la misma altura y sus bases son círculos congruentes.

Si el volumen del cilindro es de 90 cm ³, ¿cuál es el volumen del cono?
Si el volumen del cono es de 120 cm ³, ¿cuál es el volumen del cilindro?
Si el volumen del cilindro es$v=\pi r^{2}h$, ¿cuál es el volumen del cono? O bien escribir una expresión para el cono o explicar la relación con palabras.

Ejercicio$\PageIndex{3}$: Calculate That Cone

1. Aquí hay un cilindro y cono que tienen la misma altura y la misma área base. ¿Cuál es el volumen de cada figura? Exprese sus respuestas en términos de$\pi$.

2. Aquí hay un cono.

¿Cuál es el área de la base? Exprese su respuesta en términos de$\pi$.
¿Cuál es el volumen del cono? Exprese su respuesta en términos de$\pi$.

3. Una copa de palomitas de maíz en forma de cono tiene un radio de 5 centímetros y una altura de 9 centímetros. ¿Cuántos centímetros cúbicos de palomitas de maíz puede contener la taza? Usar 3.14 como aproximación para$\pi$, y dar una respuesta numérica.

¿Estás listo para más?

Un silo de grano tiene un pico en forma de cono en la parte inferior para regular el flujo de grano fuera del silo. El diámetro del silo es de 8 pies. La altura de la parte cilíndrica del silo por encima del pico del cono es de 12 pies mientras que la altura de todo el silo es de 16 pies.

¿Cuántos pies cúbicos de grano se mantienen en el pico cónico del silo? ¿Cuántos pies cúbicos de grano puede contener todo el silo?

Resumen

Si un cono y un cilindro tienen la misma base y la misma altura, entonces el volumen del cono es$\frac{1}{3}$ del volumen del cilindro. Por ejemplo, el cilindro y el cono mostrados aquí tienen una base con radio de 3 pies y una altura de 7 pies.

El cilindro tiene un volumen de pies$63\pi$ cúbicos desde entonces$\pi\cdot 3^{2}\cdot 7=63\pi$. El cono tiene un volumen que es$\frac{1}{3}$ de eso, o pies$21\pi$ cúbicos.

Si el radio para ambos es$r$ y la altura para ambos es$h$, entonces el volumen del cilindro es$pi r^{2}h$. Eso significa que el volumen$V$,, del cono es$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Entradas en el glosario

Definición: Cono

Un cono es una figura tridimensional como una pirámide, pero la base es un círculo.

Definición: Cylinder

Un cilindro es una figura tridimensional como un prisma, pero con bases que son círculos.

Definición: Esfera

Una esfera es una figura tridimensional en la que todas las secciones transversales en todas las direcciones son círculos.

Practica

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Un cilindro y un cono tienen la misma altura y radio. La altura de cada uno es de 5 cm, y el radio es de 2 cm. Calcular el volumen del cilindro y el cono.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

El volumen de este cono es de unidades$36\pi$ cúbicas.

¿Cuál es el volumen de un cilindro que tiene la misma área base y la misma altura?

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Un cilindro tiene un diámetro de 6 cm y un volumen de$36\pi$ cm ³.

Esbozar el cilindro.
Encuentra su altura y radio en centímetros.
Etiquete su boceto con la altura y el radio del cilindro.

(De la Unidad 5.4.4)

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Lin quiere que se impriman unas playeras personalizadas para su equipo de basquetbol. Las camisas cuestan $10 cada una si pides 10 camisas o menos y $9 cada una si pides 11 o más playeras.

Haz una gráfica que muestre el costo total de comprar playeras, para 0 a 15 playeras.
Hay 10 personas en el equipo. ¿Ahorran dinero si compran una playera extra? Explica tu razonamiento.
¿Cuál es la pendiente de la gráfica entre 0 y 10? ¿Qué significa en la historia?
¿Cuál es la pendiente de la gráfica entre 11 y 15? ¿Qué significa en la historia?

(De la Unidad 5.3.3)

Ejercicio$\PageIndex{8}$

En las siguientes gráficas, el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical representa la distancia a la escuela. Escribe una posible historia para cada gráfica.

(De la Unidad 5.2.4)