5.6.1: Volumen en función de...

Lección

Comparemos las alturas del agua en diferentes contenedores.

Ejercicio$\PageIndex{1}$: Missing Information

Un cilindro y una esfera tienen la misma altura.

1. Si la esfera tiene un volumen de unidades$36\pi$ cúbicas, ¿cuál es la altura del cilindro?
2. ¿Cuál es un volumen posible para el cilindro? Esté preparado para explicar su razonamiento.

Ejercicio$\PageIndex{2}$: Scaling Volume of a Sphere

1. Rellene los volúmenes faltantes en términos de$\pi$. Agrega dos pares de radio y volumen más de tu elección.

   Mesa$\PageIndex{1}$

   radio	$1$	$2$	$3$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$100$			$r$
   volumen	$\frac{4}{3}\pi$

   1. ¿Cómo se compara el volumen de una esfera con radio de 2 cm con el volumen de una esfera con radio de 1 cm?
   2. ¿Cómo se compara el volumen de una esfera con radio$\frac{1}{2}$ cm con el volumen de una esfera con radio de 1 cm?
2. Una esfera tiene un radio de longitud$r$.
   1. ¿Qué pasa con el volumen de esta esfera si se duplica su radio?
   2. ¿Qué pasa con el volumen de esta esfera si su radio se reduce a la mitad?
3. La Esfera Q tiene un volumen de 500 cm ³. La Esfera S tiene un radio$\frac{1}{5}$ tan grande como la Esfera Q. ¿Cuál es el volumen de la Esfera S?

Ejercicio$\PageIndex{3}$: A Cylinder, a Cone, and a Sphere

Tres recipientes de la misma altura se llenaron con agua a la misma velocidad. Un contenedor es un cilindro, uno es un cono y el otro es una esfera. A medida que se llenaban, la relación entre el volumen de agua y la altura del agua se registró de diferentes maneras, que se muestran aquí:

• Cilindro:$h=\frac{V}{4\pi}$
• Cono:

Figura$\PageIndex{1}$: Plano coordinado, horizontal, volumen, pulgadas cúbicas, 0 a 120 por veinte, vertical, altura, pulgadas, 0 a 7 por unas. La curva comienza en el origen, aumenta pronunciadamente a través del volumen = 10, disminuye menos pronunciadamente al volumen = 125, luego permanece constante a la altura = 6 hasta el borde de la gráfica.

• Esfera:

Mesa$\PageIndex{2}$

volumen (pulg$^{3}$)	altura (pulg)
\ (^ {3}\)) ">0	0
\ (^ {3}\)) ">8.38	1
\ (^ {3}\)) ">29.32	2
\ (^ {3}\)) ">56.55	3
\ (^ {3}\)) ">83.76	4
\ (^ {3}\)) ">104.72	5
\ (^ {3}\)) ">113.04	6
\ (^ {3}\)) ">120	6
\ (^ {3}\)) ">200	6

1. El volumen máximo de agua que puede contener el cilindro es$24\pi$. ¿Cuál es el radio del cilindro?
2. Grafique la relación entre el volumen de agua vertida en el cilindro y la altura del agua en el cilindro en los mismos ejes que el cono. ¿Qué representa la pendiente de esta línea?
3. ¿Qué contenedor puede caber el mayor volumen de agua? ¿El más pequeño?
4. ¿Sobre cuánta agua se necesita para que el cilindro y la esfera tengan la misma altura? ¿El cilindro y el cono? Explica cómo sabes.
5. ¿Para qué rango aproximado de volúmenes es mayor la altura del agua en el cilindro que la altura del agua en el cono? Explica cómo sabes.
6. ¿Para qué rango aproximado de volúmenes es menor la altura del agua en la esfera que la altura del agua en el cilindro? Explica cómo sabes.