5.6.1: Volumen en función de...
- Page ID
- 118592
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Lección
Comparemos las alturas del agua en diferentes contenedores.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Missing Information
Un cilindro y una esfera tienen la misma altura.
- Si la esfera tiene un volumen de unidades\(36\pi\) cúbicas, ¿cuál es la altura del cilindro?
- ¿Cuál es un volumen posible para el cilindro? Esté preparado para explicar su razonamiento.
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Scaling Volume of a Sphere
- Rellene los volúmenes faltantes en términos de\(\pi\). Agrega dos pares de radio y volumen más de tu elección.
radio \(1\) \(2\) \(3\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{1}{3}\) \(100\) \(r\) volumen \(\frac{4}{3}\pi\) Mesa\(\PageIndex{1}\) - ¿Cómo se compara el volumen de una esfera con radio de 2 cm con el volumen de una esfera con radio de 1 cm?
- ¿Cómo se compara el volumen de una esfera con radio\(\frac{1}{2}\) cm con el volumen de una esfera con radio de 1 cm?
- Una esfera tiene un radio de longitud\(r\).
- ¿Qué pasa con el volumen de esta esfera si se duplica su radio?
- ¿Qué pasa con el volumen de esta esfera si su radio se reduce a la mitad?
- La Esfera Q tiene un volumen de 500 cm 3. La Esfera S tiene un radio\(\frac{1}{5}\) tan grande como la Esfera Q. ¿Cuál es el volumen de la Esfera S?
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): A Cylinder, a Cone, and a Sphere
Tres recipientes de la misma altura se llenaron con agua a la misma velocidad. Un contenedor es un cilindro, uno es un cono y el otro es una esfera. A medida que se llenaban, la relación entre el volumen de agua y la altura del agua se registró de diferentes maneras, que se muestran aquí:
- Cilindro:\(h=\frac{V}{4\pi}\)
- Cono:
- Esfera:
| volumen (pulg\(^{3}\)) | altura (pulg) |
|---|---|
| \ (^ {3}\)) ">0 | 0 |
| \ (^ {3}\)) ">8.38 | 1 |
| \ (^ {3}\)) ">29.32 | 2 |
| \ (^ {3}\)) ">56.55 | 3 |
| \ (^ {3}\)) ">83.76 | 4 |
| \ (^ {3}\)) ">104.72 | 5 |
| \ (^ {3}\)) ">113.04 | 6 |
| \ (^ {3}\)) ">120 | 6 |
| \ (^ {3}\)) ">200 | 6 |
- El volumen máximo de agua que puede contener el cilindro es\(24\pi\). ¿Cuál es el radio del cilindro?
- Grafique la relación entre el volumen de agua vertida en el cilindro y la altura del agua en el cilindro en los mismos ejes que el cono. ¿Qué representa la pendiente de esta línea?
- ¿Qué contenedor puede caber el mayor volumen de agua? ¿El más pequeño?
- ¿Sobre cuánta agua se necesita para que el cilindro y la esfera tengan la misma altura? ¿El cilindro y el cono? Explica cómo sabes.
- ¿Para qué rango aproximado de volúmenes es mayor la altura del agua en el cilindro que la altura del agua en el cono? Explica cómo sabes.
- ¿Para qué rango aproximado de volúmenes es menor la altura del agua en la esfera que la altura del agua en el cilindro? Explica cómo sabes.