7.2.2: Poderes de Poderes de 10

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Lección

Veamos poderes de poderes de 10.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Big Cube

¿Cuál es el volumen de un cubo gigante que mide 10,000 km a cada lado?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Raising Powers of 10 to Another Power

Completa la tabla para explorar patrones en los exponentes al elevar una potencia de 10 a una potencia. Puedes saltarte una sola caja en la mesa, pero si lo haces, prepárate para explicar por qué te la omitiste.

Mesa\(\PageIndex{1}\)
expresión	ampliado	potencia única de 10
\((10^{3})^{2}\)	\((10\cdot 10\cdot 10)(10\cdot 10\cdot 10)\)	\(10^{6}\)
\((10^{2})^{5}\)	\((10\cdot 10)(10\cdot 10)(10\cdot 10)(10\cdot 10)(10\cdot 10)\)
	\((10\cdot 10\cdot 10)(10\cdot 10\cdot 10)(10\cdot 10\cdot 10)(10\cdot 10\cdot 10)\)
\((10^{4})^{2}\)
\((10^{8})^{11}\)

Si optaste por saltarte una entrada en la tabla, ¿qué entrada omitiste? ¿Por qué?

Usa los patrones que encontraste en la tabla para reescribir\((10^{m})^{n}\) como una expresión equivalente con un solo exponente, como\(10^{x}\).
tomaste la cantidad de aceite consumido en 2 meses en 2013 a nivel mundial, podrías hacer un cubo de aceite que mida\(10^{3}\) metros en cada lado. ¿Cuántos metros cúbicos de petróleo es este? ¿Crees que esto sería suficiente para llenar un estanque, un lago o un océano?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): How Do the Rules Work?

Andre y Elena quieren escribir\(10^{2}\cdot 10^{2}\cdot 10^{2}\) con un solo exponente.

Andre dice: “Cuando multiplicas poderes con la misma base, solo significa que agregas los exponentes, entonces”\(10^{2}\cdot 10^{2}\cdot 10^{2}=10^{2+2+2}=10^{6}\).
Elena dice, “\(10^{2}\)se multiplica por sí misma 3 veces, entonces”\(10^{2}\cdot 10^{2}\cdot 10^{2}=(10^{2})^{3}=10^{2+3}=10^{5}\).

¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

\(2^{12}=4,096\). ¿Cuántos otros números enteros puedes subir a una potencia y obtener 4,096? Explica o muestra tu razonamiento.

Resumen

En esta lección, desarrollamos una regla para llevar una potencia de 10 a otra potencia: Tomar una potencia de 10 y elevarla a otra potencia es lo mismo que multiplicar a los exponentes. A ver qué pasa\(10^{4}\) al subir al poder de 3.

\[(10^{4})^{3}=10^{4}\cdot 10^{4}\cdot 10^{4}=10^{12}\nonumber\]

Esto funciona para cualquier poder de poderes de 10. Por ejemplo,\((10^{6})^{11}=10^{66}\). Esta es otra regla que hará que sea más fácil trabajar con y dar sentido a expresiones con exponentes.

Entradas en el glosario

Definición: Base (de un exponente)

En expresiones como\(5^{3}\) y\(8^{2}\), el 5 y el 8 se llaman bases. Te dicen qué factor multiplicar repetidamente. Por ejemplo,\(5^{3}=5\cdot 5\cdot 5\), y\(8^{2}=8\cdot 8\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Escribe cada expresión con un solo exponente:

\((10^{7})^{2}\)
\((10^{9})^{3}\)
\((10^{6})^{3}\)
\((10^{2})^{3}\)
\((10^{3})^{2}\)
\((10^{5})^{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Tienes 1,000,000 de cubos numéricos, cada uno mide una pulgada en un lado.

Si apilaras los cubos uno encima del otro para hacer una enorme torre, ¿a qué altura llegarían? Explica tu razonamiento.
Si arreglaste los cubos en el piso para hacer un cuadrado, ¿encajaría el cuadrado en tu salón de clases? ¿Cuáles serían sus dimensiones? Explica tu razonamiento.
Si ponías capas los cubos para hacer un cubo grande, ¿cuáles serían las dimensiones del cubo grande? Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Una ameba se divide para formar dos amebas después de una hora. Una hora después, cada una de las dos amebas se divide para formar dos más. Cada hora, cada ameba se divide para formar dos más.

¿Cuántas amebas hay después de 1 hora?
¿Cuántas amebas hay después de 2 horas?
Escribe una expresión para el número de amebas después de 6 horas.
Escribe una expresión para el número de amebas después de 24 horas.
¿Por qué podría ser preferible la notación exponencial para responder a estas preguntas?

(De la Unidad 7.1.1)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Elena se percató de que, hace nueve años, su prima Katie tenía el doble de edad que entonces Elena. Entonces Elena dijo: “¡En cuatro años, voy a ser tan viejo como Katie ahora!” Si Elena tiene actualmente\(e\) años y Katie tiene\(k\) años, ¿qué sistema de ecuaciones coincide con la historia?

\(\left\{\begin{array}{l}{k-9=2e}\\{e+4=k}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{2k=e-9}\\{e=k+4}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{k=2e-9}\\{e+4=k+4}\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{l}{k-9=2(e-9)}\\{e+4=k}\end{array}\right.\)

(De la Unidad 4.3.6)