7.2.3: Poderes divisorios de 10

Lección

Exploremos patrones con exponentes cuando dividamos potencias de 10.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): A Surprising One

¿Cuál es el valor de la expresión?

\[\frac{2^{5}\cdot 3^{4}\cdot 3^{2}}{2\cdot 3^{6}\cdot 2^{4}}\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Dividing Powers of Ten

1. 1. Completa la tabla para explorar patrones en los exponentes al dividir potencias de 10. Utilice la columna “expandida” para mostrar por qué la expresión dada es igual a la potencia única de 10. Puedes saltarte una sola caja en la mesa, pero si lo haces, prepárate para explicar por qué la omitiste.

      Mesa\(\PageIndex{1}\)

      expresión	ampliado	solo poder
      \(10^{4}\div 10^{2}\)	\(\frac{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}{10\cdot 10} = \frac{10\cdot 10}{10\cdot 10}\cdot 10\cdot 10=1\cdot 10\cdot 10\)	\(10^{2}\)
      	\(\frac{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}{10\cdot 10}=\frac{10\cdot 10}{10\cdot 10}\cdot 10\cdot 10\cdot 10 = 1\cdot 10\cdot 10\cdot 10\)
      \(10^{6}\div 10^{3}\)
      \(10^{43}\div 10^{17}\)

   2. Si optó por saltarse una entrada en la tabla, ¿qué entrada omitió? ¿Por qué?
2. se los patrones que encontraste en la tabla para reescribir\(\frac{10^{n}}{10^{m}}\) como una expresión equivalente de la forma\(10^{x}\).
3. Se prevé que para 2050, habrá\(10^{10}\) personas viviendo en la Tierra. En ese momento, se predice que habrá aproximadamente\(10^{12}\) árboles. ¿Cuántos árboles habrá para cada persona?

¿Estás listo para más?

Mesa\(\PageIndex{2}\)

expresión	ampliado	solo poder
\(10^{4}\div 10^{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Zero Exponent

Hasta el momento hemos mirado potencias de 10 con exponentes mayores a 0. ¿Qué pasaría con nuestros patrones si incluimos 0 como posible exponente?

1. 1. Escribe\(10^{12}\cdot 10^{0}\) con una potencia de 10 con un solo exponente usando la regla de exponente apropiada. Explica o muestra tu razonamiento.
   2. ¿Por qué número podrías\(10^{12}\) multiplicar para obtener esta misma respuesta?
2. 1. Escribe\(\frac{10^{8}}{10^{0}}\) con una sola potencia de 10 usando la regla de exponente apropiada. Explica o muestra tu razonamiento.
   2. ¿Qué número podrías dividir\(10^{8}\) para obtener esta misma respuesta?
3. Si queremos que las reglas del exponente que encontramos funcionen incluso cuando el exponente es 0, entonces, ¿cuál tiene\(10^{0}\) que ser el valor de?
4. Noé dice: “Si trato de escribir\(10^{0}\) expandido, debería tener cero factores que son 10, por lo que debe ser igual a 0”. ¿Estás de acuerdo? Discuta con tu pareja.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\): Making Millions

Escribe tantas expresiones como puedas que tengan el mismo valor que\(10^{6}\). Enfócate en el uso de exponentes, multiplicación y división. ¿Qué patrones notas con los exponentes?

Resumen

En una lección anterior, aprendimos que al multiplicar potencias de 10, los exponentes se suman. Por ejemplo,\(10^{6}\cdot 10^{3}=10^{9}\) porque 6 factores que son 10 multiplicados por 3 factores que son 10 hace 9 factores que son 10 todos juntos. También podemos pensar en esta ecuación de multiplicación como división:\(10^{6}=\frac{10^{9}}{10^{3}}\) Entonces al dividir potencias de 10, el exponente en el denominador se resta del exponente en el numerador. Esto tiene sentido porque\(\frac{10^{9}}{10^{3}}=\frac{10^{3}\cdot 10^{6}}{10^{3}}=\frac{10^{3}}{10^{3}}\cdot 10^{6}=1\cdot 10^{6}=10^{6}\) Esta regla funciona también para otros poderes de 10. Por ejemplo,\(\frac{10^{56}}{10^{23}}=10^{33}\) porque 23 factores que son 10 en el numerador y en el denominador se utilizan para hacer 1, dejando 33 factores restantes.

Esto nos da una nueva regla de exponente:\(\frac{10^{n}}{10^{m}}=10^{n-m}\) Hasta el momento, esto sólo tiene sentido cuando\(n\) y\(m\) son exponentes positivos y\(n>m\), pero podemos extender esta regla para incluir una nueva potencia de 10,\(10^{0}\). Si nos fijamos\(\frac{10^{6}}{10^{0}}\), usando la regla del exponente da\(10^{6-0}\), que es igual a\(10^{6}\). Entonces dividir\(10^{6}\) por\(10^{0}\) no cambia su valor. Eso quiere decir que si queremos que la regla funcione cuando el exponente es 0, entonces debe ser eso\(10^{0}=1\).

Entradas en el glosario

Definición: Base (de un exponente)

En expresiones como\(5^{3}\) y\(8^{2}\), el 5 y el 8 se llaman bases. Te dicen qué factor multiplicar repetidamente. Por ejemplo,\(5^{3}=5\cdot 5\cdot 5\), y\(8^{2}=8\cdot 8\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Evaluar:

1. \(10^{0}\)
2. \(\frac{10^{3}}{10^{3}}\)
3. \(10^{2}+10^{1}+10^{0}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Escribe cada expresión como una sola potencia de 10.

1. \(\frac{10^{3}\cdot 10^{4}}{10^{5}}\)
2. \((10^{4})\cdot\frac{10^{12}}{10^{7}}\)
3. \(\left(\frac{10^{5}}{10^{3}}\right)^{4}\)
4. \(\frac{10^{4}\cdot 10^{5}\cdot 10^{6}}{10^{3}\cdot 10^{7}}\)
5. \(\frac{(10^{5})^{2}}{(10^{2})^{3}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

El Sol es más o menos\(10^{2}\) veces tan ancho como la Tierra. La estrella KW Sagittarii es aproximadamente\(10^{5}\) veces más ancha que la Tierra. ¿Acerca de cuántas veces más ancho como el Sol es KW Sagittarii? Explique cómo sabe.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Los plátanos cuestan $1.50 por libra y las guayabas cuestan $3.00 por libra. Kiran gasta 12 dólares en fruta para un desayuno que su familia está hospedando. \(b\)Sea el número de libras de plátanos que compra Kiran y\(g\) sea el número de libras de guayabas que compra.

1. Escribir una ecuación que relacione las dos variables.
2. Reorganizar la ecuación para que\(b\) sea la variable independiente.
3. Reorganizar la ecuación para que\(g\) sea la variable independiente.

(De la Unidad 5.2.1)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

La mamá de Lin va en bicicleta a una velocidad constante de 12 millas por hora. Lin camina a una velocidad constante\(\frac{1}{3}\) de la velocidad que bija su mamá. Esboce una gráfica de ambas relaciones.

Figura\(\PageIndex{1}\)

(De la Unidad 3.1.1)