7.2.4: Exponentes negativos con potencias de 10
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Lección
Veamos qué pasa cuando los exponentes son negativos.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: What's That Exponent?
Resuelve cada ecuación mentalmente.
\(\frac{100}{1}=10^{x}\)
\(\frac{100}{x}=10^{1}\)
\(\frac{x}{100}=10^{0}\)
\(\frac{10}{1000}=10^{x}\)
Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Negative Exponent Table
Completa la tabla para explorar qué significan los exponentes negativos.
- A medida que te mueves hacia la izquierda, cada número se multiplica por 10. ¿Cuál es el multiplicador mientras te mueves a la derecha?
- ¿Cómo afecta un multiplicador de 10 a la colocación del decimal en el producto? ¿Cómo afecta el otro multiplicador a la colocación del decimal en el producto?
- Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir\(10^{-7}\) como fracción.
- Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir\(10^{-5}\) como decimal.
- Escribir\(\frac{1}{100,000,000}\) usando un solo exponente.
- Usa los patrones de la tabla para escribir\(10^{-n}\) como fracción.
Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Follow the Exponential Rules
-
- Haga coincidir cada expresión exponencial con una expresión de multiplicación equivalente:
\[\begin{array}{lcl}{(10^{2})^{3}}&{\qquad}&{\frac{1}{(10\cdot 10}\cdot \frac{1}{(10\cdot 10}\cdot \frac{1}{(10\cdot 10} }\\{(10^{2})^{-3}}&{\qquad }&{\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right) \left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right) \left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right) }\\{(10^{-2})^{3}}&{\qquad }&{\frac{1}{\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}}\cdot \frac{1}{\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}}\cdot \frac{1}{\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}} }\\{(10^{-2})^{-3}}&{\qquad}&{(10\cdot 10)(10\cdot 10)(10\cdot 10)}\end{array}\nonumber\] - Escribe\((10^{2})^{-3}\) como una potencia de 10 con un solo exponente. Esté preparado para explicar su razonamiento.
- Haga coincidir cada expresión exponencial con una expresión de multiplicación equivalente:
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- Haga coincidir cada expresión exponencial con una expresión de multiplicación equivalente:
\[\begin{array}{lcl}{\frac{10^{2}}{10^{5}}}&{\qquad}&{\frac{\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}}}\\{\frac{10^{2}}{10^{-5}}}&{\qquad}&{\frac{10\cdot 10}{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}}\\{\frac{10^{-2}}{10^{5}}}&{\qquad}&{\frac{\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}}{10\cdot 10\cdot 10\cdot 10\cdot 10}}\\{\frac{10^{-2}}{10^{-5}}}&{\qquad}&{\frac{10\cdot 10}{\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}}}\end{array}\nonumber\] - Escribe\(\frac{10^{-2}}{10^{-5}}\) como una potencia de 10 con un solo exponente. Esté preparado para explicar su razonamiento.
- Haga coincidir cada expresión exponencial con una expresión de multiplicación equivalente:
-
- Haga coincidir cada expresión exponencial con una expresión de multiplicación equivalente:
- \[\begin{array}{lcl}{10^{4}\cdot 10^{3}}&{\qquad}&{(10\cdot 10\cdot 10\cdot 10)\cdot \left(\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}\right)}\\{10^{4}\cdot 10^{-3}}&{\qquad }&{\left(\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right)\cdot\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right)}\\{10^{-4}\cdot 10^{3}}&{\qquad }&{\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\frac{1}{10}\right)\cdot (10\cdot 10\cdot 10) }\\{10^{-4}\cdot 10^{-3}}&{\qquad}&{(10\cdot 10\cdot 10\cdot 10)\cdot (10\cdot 10\cdot 10)}\end{array}\nonumber\]
- Escribe\(10^{-4}\cdot 10^{3}\) como una potencia de 10 con un solo exponente. Esté preparado para explicar su razonamiento.
¿Estás listo para más?
Priya, Jada, Han y Diego se paran en círculo y se turnan para jugar un juego.
Dice Priya, SEGURO. Jada, de pie a la izquierda de Priya, dice, FUERA y deja el círculo. Han es el siguiente: dice, SEGURO. Entonces Diego dice, OUT y deja el círculo. En este punto, solo quedan Priya y Han. Siguen alternando. Dice Priya, SEGURO. Han dice, OUT y deja el círculo. Priya es la única persona que queda, por lo que es la ganadora.
Priya dice: “Sabía que sería el único que me quedaría, ya que fui primero”.
- Graba este juego en papel varias veces con diferentes números de jugadores. ¿Siempre gana la persona que empieza?
- Intenta encontrar tantos números como puedas donde siempre gana la persona que empieza. ¿Qué patrones notas?
Resumen
Cuando multiplicamos una potencia positiva de 10 por\(\frac{1}{10}\), el exponente disminuye en 1:\(10^{8}\cdot\frac{1}{10}=10^{7}\) Esto es cierto para cualquier potencia positiva de 10. Podemos razonar de manera similar que multiplicando por 2 factores que son\(\frac{1}{10}\) disminuye el exponente por 2:\(\left(\frac{1}{10}\right)^{2}\cdot 10^{8}=10^{6}\)
Eso significa que podemos extender las reglas para usar exponentes negativos si hacemos\(10^{-2}=\left(\frac{1}{10}\right)^{2}\). Así como\(10^{2}\) son dos factores que son 10, tenemos que\(10^{-2}\) son dos factores que son\(\frac{1}{10}\). De manera más general, las reglas de exponente que hemos desarrollado son ciertas para cualquier número entero\(n\) y\(m\) si hacemos\(10^{-n}=\left(\frac{1}{10}\right)^{n}=\frac{1}{10^{n}}\)
Aquí un ejemplo de extender la regla\(\frac{10^{n}}{10^{m}}=10^{n-m}\) para usar exponentes negativos:\(\frac{10^{3}}{10^{5}}=10^{3-5}=10^{-2}\) Para ver por qué, observe\(\frac{10^{3}}{10^{5}}=\frac{10^{3}}{10^{3}\cdot 10^{2}}=\frac{10^{3}}{10^{3}}\cdot\frac{1}{10^{2}}=\frac{1}{10^{2}}\) lo que es igual a\(10^{-2}\).
Aquí un ejemplo de extender la regla\((10^{m})^{n}=10^{m\cdot n}\) para usar exponentes negativos:\((10^{-2})^{3}=10^{(-2)(3)}=10^{-6}\) Para ver por qué, fíjate en eso\(10^{-2}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\). Esto significa que\((10^{-2})^{3}=\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right) ^{3}=\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right) \cdot \left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right) =\frac{1}{10^{6}}=10^{-6}\)
Entradas en el glosario
Definición: Base (de un exponente)
En expresiones como\(5^{3}\) y\(8^{2}\), el 5 y el 8 se llaman bases. Te dicen qué factor multiplicar repetidamente. Por ejemplo,\(5^{3}=5\cdot 5\cdot 5\), y\(8^{2}=8\cdot 8\).
Practica
Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Escribir con un solo exponente: (ex:\(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}=10^{-2})\)
- \(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\)
- \(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\)
- \(\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right)^{2}\)
- \(\left(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}\right)^{3}\)
- \((10\cdot 10\cdot 10)^{-2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Escribe cada expresión como una sola potencia de 10.
- \(10^{-3}\cdot 10^{-2}\)
- \(10^{4}\cdot 10^{-1}\)
- \(\frac{10^{5}}{10^{7}}\)
- \(\left(10^{-4}\right) ^{5}\)
- \(10^{-3}\cdot 10^{2}\)
- \(\frac{10^{-9}}{10^{5}}\)
Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Seleccione todas las siguientes opciones que sean equivalentes a\(\frac{1}{10,000}\):
- \((10,000)^{-1}\)
- \((-10,000)\)
- \((100)^{-2}\)
- \((10)^{-4}\)
- \((-10)^{2}\)
Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Haga coincidir cada ecuación con la situación que describe. Explicar qué significa la constante de proporcionalidad en cada ecuación.
Ecuaciones:
- \(y=3x\)
- \(\frac{1}{2}x=y\)
- \(y=3.5x\)
- \(y=\frac{5}{2}x\)
Situaciones:
- Un camión volquete está transportando cargas de tierra a un sitio de construcción. Después de 20 cargas, hay 70 pies cuadrados de tierra.
- Estoy haciendo una mezcla de agua y sal que tiene 2 tazas de sal por cada 6 tazas de agua.
- Una tienda tiene una venta “4 por $10” en sombreros.
- Por cada 48 galletas que horneo, mis alumnos obtienen 24.
(De la Unidad 3.1.2)
Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
1. Explica por qué\(ABC\) el triángulo es similar a\(EDC\).
2. Encuentra las longitudes laterales faltantes.
(De la Unidad 2.2.3)