7.3.5: Definición de notación científica

Lección

Usemos la notación científica para describir números grandes y pequeños.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Multiplying by Powers of 10

Encuentra mentalmente el valor de cada expresión.

\(123\cdot 10,000\)

\((3.4)\cdot 1,000\)

\((0.6)\cdot 100\)

\((7.3)\cdot (0.01)\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): The "Science" of Scientific Notation

La tabla muestra la velocidad de la luz o la electricidad a través de diferentes materiales.

Mesa\(\PageIndex{1}\)

material	velocidad (metros por segundo)
espacio	\(300,000,000\)
agua	\(2.25\times 10^{8}\)
cobre (electricidad)	\(280,000,000\)
diamante	\(124\times 10^{6}\)
hielo	\(2.3\times 10^{8}\)
aceite de oliva	\(0.2\times 10^{9}\)

Encierra en círculo las velocidades que están escritas en notación científica. Escribir los demás usando notación científica.

Figura\(\PageIndex{1}\): Una línea numérica, 11 marcas de garrapata, 0, 1 veces 10 a la potencia 8, 2 veces 10 a la potencia 8, 3 veces 10 a la potencia 8, 4 veces 10 a la potencia 8, 5 veces 10 a la potencia 8, 6 veces 10 a la potencia 8, 7 veces 10 a la potencia 8, 8 veces 10 a la potencia 8, 9 veces 10 a la potencia 8, 10 a la potencia 9. Dos veces 10 a la potencia 8 a 3 veces 10 a la potencia 8 se amplía a una nueva línea numérica con 9 marcas de garrapatas entre ellas. Hay 3 puntos en la nueva línea, 1 entre la tercera y cuarta marca de garrapata, 1 en la cuarta y uno en la novena.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Scientific Notation Matching

Tu profesor te dará a ti y a tu pareja un juego de tarjetas. Algunas de las tarjetas muestran números en notación científica, y otras tarjetas muestran números que no están en notación científica.

1. Baraja las cartas y ponlas boca abajo.
2. Los jugadores se turnan para tratar de emparejar cartas con el mismo valor.
3. En tu turno, elige dos cartas para girarlas boca arriba para que todos las vean. Entonces:
   1. Si las dos cartas tienen el mismo valor y una de ellas está escrita en notación científica, quien diga “¡Ciencia!” primero consigue quedarse con las cartas, y se convierte en el turno de ese jugador. Si ya es tu turno cuando llamas “¡Ciencia!” , eso significa que tienes que ir de nuevo. Si dices “¡Ciencia!” cuando las cartas no coinciden o una no está en notación científica, entonces tu oponente obtiene un punto.
   2. Si ambos socios están de acuerdo las dos tarjetas tienen el mismo valor, luego retírelas del tablero y guárdalas. Obtienes un punto por cada tarjeta que guardas.
   3. Si las dos cartas no tienen el mismo valor, entonces colóquelas boca abajo en la misma posición y termina tu turno.
4. Si no es tu turno:
   1. Si las dos cartas tienen el mismo valor y una de ellas está escrita en notación científica, entonces quien diga “¡Ciencia!” primero consigue quedarse con las cartas, y se convierte en el turno de ese jugador. Si llamas “¡Ciencia!” cuando las cartas no coinciden o una no está en notación científica, entonces tu oponente obtiene un punto.
   2. Asegúrese de que ambos estén de acuerdo en que las tarjetas tengan el mismo valor.
      Si no estás de acuerdo, trabaja para llegar a un acuerdo.
5. El que tenga más puntos al final gana.

¿Estás listo para más?

1. ¿Qué es\(9\times 10^{-1}+9\times 10^{-2}\)? Exprese su respuesta como:
   1. Un decimal
   2. Una fracción
2. ¿Qué es\(9\times 10^{-1}+9\times 10^{-2}+9\times 10^{-3}+9\times 10^{-4}\)? Exprese su respuesta como:
   1. Un decimal
   2. Una fracción
3. Las respuestas a las dos preguntas anteriores deberían haber sido cercanas a 1. ¿A qué potencia de 10 tendrías que subir si quisieras que tu respuesta estuviera tan cerca de 1 que solo estuviera\(\frac{1}{1,000,000}\) apagada?
4. ¿A qué potencia de 10 tendrías que subir si quisieras que tu respuesta estuviera tan cerca de 1 que solo estuviera\(\frac{1}{1,000,000,000}\) apagada? ¿Puedes seguir sumando números en este patrón para acercarte lo más al 1 como quieras? Explica o muestra tu razonamiento.
5. Imagina una línea numérica que va desde tu posición actual (etiquetada como 0) hasta la puerta de la habitación en la que te encuentras (etiquetada con 1). Para llegar a la puerta, tendrás que pasar los puntos 0.9, 0.99, 0.999, etc. El filósofo griego Zenón argumentó que nunca podrás pasar por la puerta, porque primero tendrás que pasar por un número infinito de puntos. ¿Qué opinas? ¿Cómo le responderías a Zenón?

Resumen

El valor total de todos los trimestres realizados en 2014 es de 400 millones de dólares. Hay muchas maneras de expresarlo usando poderes de 10. Podríamos escribir esto como\(400\cdot 10^{6}\) dólares,\(40\cdot 10^{7}\) dólares,\(0.4\cdot 10^{9}\) dólares, o de muchas otras formas. Una forma especial de escribir esta cantidad se llama notación científica. En notación científica,

400 millones

dólares se escribirían como\(4\times 10^{8}\) dólares. Para la notación científica, el\(\times\) símbolo es la forma estándar de mostrar la multiplicación en lugar del\(\cdot\) símbolo. Escribir el número de esta manera muestra exactamente dónde se encuentra entre dos potencias consecutivas de 10. El nos\(10^{8}\) muestra el número está entre\(10^{8}\) y\(10^{9}\). El 4 nos muestra que el número es de 4 décimas del camino a\(10^{9}\).

Algunos otros ejemplos de notación científica son\(1.2\times 10^{-8}\),\(9.99\times 10^{16}\), y\(7\times 10^{12}\). El primer factor es un número mayor o igual a 1, pero menor a 10. El segundo factor es una potencia entera de 10.

Pensando en cómo trazamos estos números grandes (o pequeños) en una recta numérica, la notación científica nos dice qué potencias de 10 colocar a la izquierda y a la derecha de la recta numérica. Por ejemplo, si queremos trazar\(3.4\times 10^{11}\) en una recta numérica, sabemos que el número es mayor que\(10^{11}\), pero menor que\(10^{12}\). Podemos encontrar este número haciendo zoom en la línea numérica:

Figura\(\PageIndex{2}\): Una línea numérica, 11 marcas de garrapata, 0, 1 veces 10 a la potencia 11, 2 veces 10 a la potencia 11, 3 veces 10 a la potencia 11, 4 veces 10 a la potencia 11, 5 veces 10 a la potencia 11, 6 veces 10 a la potencia 11, 7 veces 10 a la potencia 11, 8 veces 10 a la potencia 11, 9 veces 10 a la potencia 11, 10 a el poder 12. Tres veces 10 a la potencia 11 a 4 veces 10 a la potencia 11 se acerca, a 11 marcas de garrapata etiquetadas 3 veces 10 a la potencia 11, en blanco, en blanco, en blanco, en blanco, 3 punto 4 veces 10 a la potencia 11, en blanco, en blanco, en blanco, en blanco, en blanco, 4 veces 10 a la potencia 11.

Entradas en el glosario

Definición: Notación científica

La notación científica es una forma de escribir números muy grandes o muy pequeños. Escribimos estos números multiplicando un número entre 1 y 10 por una potencia de 10.

Por ejemplo, el número 425.000.000 en notación científica es\(4.25\times 10^{8}\). El número 0.0000000000783 en notación científica es\(7.83\times 10^{-11}\).

Práctica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Escribe cada número en notación científica.

1. 14,700
2. 0.00083
3. 760,000,000
4. 0.038
5. 0.38
6. 3.8
7. 3,800,000,000,000
8. 0.0000000009

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Realizar los siguientes cálculos. Exprese sus respuestas en notación científica.

1. \((2\times 10^{5})+(6\times 10^{5})\)
2. \((4.1\times 10^{7})\cdot 2\)
3. \((1.5\times 10^{11})\cdot 3\)
4. \((3\times 10^{3})^{2}\)
5. \((9\times 10^{6})\cdot (3\times 10^{6})\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Jada está haciendo un modelo a escala del sistema solar. La distancia de la Tierra a la Luna es de aproximadamente\(2.389\times 10^{5}\) millas. La distancia de la Tierra al Sol es de aproximadamente\(9.296\times 10^{7}\) millas. Ella decide poner la Tierra en una esquina de su cómoda y la Luna en otra esquina, a un pie de distancia. ¿Dónde debería poner el sol?

• ¿En el alféizar de una ventana en la misma habitación?
• En su cocina, ¿cuál está al final del pasillo?
• ¿A una cuadra de la ciudad?

Explica tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí está la gráfica para una ecuación en un sistema de ecuaciones.

Figura\(\PageIndex{3}\)

1. Escribe una segunda ecuación para el sistema para que tenga infinitamente muchas soluciones.
2. Escribir una segunda ecuación cuya gráfica pase por ella\((0,2)\) para que el sistema no tenga soluciones.
3. Escribir una segunda ecuación cuya gráfica pasa por\((2,2)\) para que el sistema tenga una solución en\((4,3)\).

(De la Unidad 4.3.3)