8.3.1: Longitudes y volúmenes de los bordes

Lección

Exploremos la relación entre el volumen y la longitud de los bordes de los cubos.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Ordering Squares and Cubes

Dejar\(a, b, c, d, e,\) y\(f\) ser números positivos.

Dadas estas ecuaciones, organizar\(a,b,c,d,e,\) y\(f\) de menor a mayor. Explica tu razonamiento.

• \(a^{2}=9\)
• \(b^{3}=8\)
• \(c^{2}=10\)
• \(d^{3}=9\)
• \(e^{2}=8\)
• \(f^{3}=7\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Name That Edge Length!

Rellene los valores faltantes utilizando la información proporcionada:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

lados	volumen	ecuación de volumen
	\(27\:\text{in}^{3}\)
\(\sqrt[3]{5}\)
		\(\left(\sqrt[3]{16}\right)^{3}=16\)

¿Estás listo para más?

Un cubo tiene un volumen de 8 centímetros cúbicos. Un cuadrado tiene el mismo valor para su área que el valor para la superficie del cubo. ¿Cuánto dura cada lado de la plaza?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Card Sort: Rooted in the Number Line

Tu profesor le dará a tu grupo un juego de tarjetas. Por cada carta con letra y valor, encuentra las otras dos cartas que coincidan. Uno muestra la ubicación en una recta numérica donde existe el valor, y el otro muestra una ecuación que el valor satisface. Esté preparado para explicar su razonamiento.

Resumen

Para revisar, la longitud lateral del cuadrado es la raíz cuadrada de su área. En este diagrama, el cuadrado tiene una superficie de 16 unidades y una longitud lateral de 4 unidades.

Estas ecuaciones son ciertas:\(4^{2}=16\)\(\sqrt{16}=4\)

Figura\(\PageIndex{2}\)

Ahora piensa en un cubo sólido. El cubo tiene un volumen, y la longitud del borde del cubo se llama la raíz cúbica de su volumen. En este diagrama, el cubo tiene un volumen de 64 unidades y una longitud de borde de 4 unidades:

Estas ecuaciones son ciertas:

\(4^{3}=64\)

\(\sqrt[3]{64}=4\)

Figura\(\PageIndex{3}\)

\(\sqrt[3]{64}\)se pronuncia “La raíz cúbica del 64”. Aquí hay algunos otros valores de las raíces cúbicas:

\(\sqrt[3]{8}=2\), porque\(2^{3}=8\)

\(\sqrt[3]{27}=3\), porque\(3^{3}=27\)

\(\sqrt[3]{125}=5\), porque\(5^{3}=125\)

Entradas en el glosario

Definición: Raíz cúbica

La raíz cúbica de un número\(n\) es el número cuyo cubo es\(n\). También es la longitud del borde de un cubo con un volumen de\(n\). Escribimos la raíz cúbica de\(n\) as\(\sqrt[3]{n}\).

Por ejemplo, la raíz cúbica de 64, escrita como\(\sqrt[3]{64}\), es 4 porque\(4^{3}\) es 64. \(\sqrt[3]{64}\)es también la longitud del borde de un cubo que tiene un volumen de 64.

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

1. ¿Cuál es el volumen de un cubo con una longitud lateral de
   1. \(4\)centímetros?
   2. \(\sqrt[3]{11}\)pies?
   3. \(s\)unidades?
2. Cuál es la longitud lateral de un cubo con un volumen de
   1. \(1,000\)centímetros cúbicos?
   2. \(23\)pulgadas cúbicas?
   3. \(v\)unidades cúbicas?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Escribe una expresión equivalente que no use un símbolo de raíz cúbica.

1. \(\sqrt[3]{1}\)
2. \(\sqrt[3]{216}\)
3. \(\sqrt[3]{8000}\)
4. \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}}\)
5. \(\sqrt[3]{\frac{27}{125}}\)
6. \(\sqrt[3]{0.027}\)
7. \(\sqrt[3]{0.000125}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra la distancia entre cada par de puntos. Si te quedas atascado, intenta trazar los puntos en papel cuadriculado.

1. \(X=(5,0)\)y\(Y=(-4,0)\)
2. \(K=(-21,-29)\)y\(L=(0,0)\)

(De la Unidad 8.2.6)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí hay un rectángulo de 15 por 8 dividido en triángulos. ¿El triángulo sombreado es un triángulo rectángulo? Explica o muestra tu razonamiento.

Figura\(\PageIndex{4}\)

(De la Unidad 8.2.4)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Aquí hay un triángulo equilátero. La longitud de cada lado es de 2 unidades. Se dibuja una altura. En un triángulo equilátero, la altura divide el lado opuesto en dos piezas de igual longitud.

Figura\(\PageIndex{5}\)

1. Encuentra la altura exacta.
2. Encuentra el área del triángulo equilátero.
3. (Desafío) Utilizando\(x\) para la longitud de cada lado en un triángulo equilátero, expresar su área en términos de\(x\).

(De la Unidad 8.2.5)