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1.3: Notación de funciones y expresiones simplificadas

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El objetivo de esta sección es practicar la notación de funciones. Las funciones tienen muchos conceptos matemáticos interconectados. Por lo tanto, surgirán más detalles sobre las funciones en tu curso de Precálculo. Esta sección practicará la correspondencia de entradas con salidas usando notación de funciones, dando más práctica con las propiedades introducidas en secciones anteriores.

    Las siguientes tres ecuaciones expresan tres reglas matemáticas diferentes. La regla crea una correspondencia entre\(x\) -values y\(y\) -values.

    Ecuación La regla en palabras
    \(y = 2x + 6\) Duplique el\(x\) valor -y luego agregue\(6\).
    \(y = \dfrac{x}{2} − 4\) Toma la mitad del\(x\) valor -luego resta\(4\).
    \(y = x^2 -10\) Cuadrando el\(x\) valor -y luego restar\(10\).
    Definición: Función

    Una función es una regla que asigna cada entrada a exactamente una salida

    Una tabla muestra la correspondencia entre las entradas (\(x\)-valores) y las salidas (\(y\)-valores). Las tres funciones anteriores se muestran a continuación usando\(x\) -\(y\) tablas. Se elige un\(x\) -value, se sigue la regla y se obtiene un\(y\) -value. Cada\(y\) -valor se calcula de acuerdo con la regla de la función.

    \(x\) \(y = 2x + 6\)
    \ (x\) ">\(-10\) \ (y = 2x + 6\) ">\(2(-10)+6 = -14\)
    \ (x\) ">\(-3\) \ (y = 2x + 6\) ">\(2(-3)+6 = 0\)
    \ (x\) ">\(0\) \ (y = 2x + 6\) ">\(2(0) + 6 = 6\)
    \ (x\) ">\(2\) \ (y = 2x + 6\) ">\(2(2) + 6 =10\)
    \(x\) \(y = \dfrac{x}{2} − 4\)
    \ (x\) ">\(-6\) \ (y =\ dfrac {x} {2} − 4\) ">\(−6 ÷ 2 − 4 = −7\)
    \ (x\) ">\(0\) \ (y =\ dfrac {x} {2} − 4\) ">\(0 ÷ 2 − 4 = −4\)
    \ (x\) ">\(6\) \ (y =\ dfrac {x} {2} − 4\) ">\(6 ÷ 2 − 4 = −1\)
    \ (x\) ">\(18\) \ (y =\ dfrac {x} {2} − 4\) ">\(18 ÷ 2 − 4 = 5\)
    \(x\) \(y = x^2 -10\)
    \ (x\) ">\(-1\) \ (y = x^2 -10\) ">\((−1)^2 − 10 = −9\)
    \ (x\) ">\(0\) \ (y = x^2 -10\) ">\(0^2 − 10 = −10\)
    \ (x\) ">\(1\) \ (y = x^2 -10\) ">\(1^2 − 10 = −9\)
    \ (x\) ">\(4\) \ (y = x^2 -10\) ">\(4^2 − 10 = 6\)

    Dado que la salida de la función depende de la entrada, el\(y\) -value se llama la variable dependiente. La notación de funciones enfatiza esta dependencia al reemplazar la variable\(y\) por\(f(x)\).

    \(x\)-\(y\) notación Notación de funciones Leer en voz alta
    \(y = 2x + 6\) \(f(x) = 2x+6\) “\(f\)de\(x\) igual a dos\(x\) más seis”
    Ejemplo 1.3.1

    Vamos\(f(x) = 2x + 6\). Evaluar cada uno de los siguientes.

    1. \(f(−1)\)
    2. \(f \left( \dfrac{1}{2} \right)\)
    3. \(f(3a)\)

    Solución

    En cada problema, la entrada, o\(x\) -value, se da dentro de los paréntesis. Sustituimos el\(x\) valor dado en la función\(f(x) = 2x + 6\).

    1. \(f(−1) = 2(−1) + 6 = −2 + 6 = 4\). Por lo tanto,\(f(−1) = 4\).
    2. \(f \left( \dfrac{1}{2} \right) = 2 \left( \dfrac{1}{2} \right) + 6 = 1 + 6 = 7\). Por lo tanto,\(f \left( \dfrac{1}{2} \right) = 7\).
    3. El\(x\) valor -se sustituye por\(3a\). Esto dará una expresión en lugar de un valor numérico:\(f(3a) = 2(3a) + 6 = 6a + 6\). Por lo tanto,\(f(3a) = 6a + 6\).
    Definición: Nombrar funciones f, g y h

    Las funciones normalmente se nombran con las letras\(f\)\(g\),\(h\), y, pero las funciones también pueden tomar otros nombres de letras. El uso de diferentes nombres de letras para funciones puede ayudarnos a referirnos a varias funciones diferentes en un solo problema. Ejemplo\(1.3.2\) hace uso de este concepto.

    Ejemplo 1.3.2

    Dejemos\(h(x) = f(x) + g(x)\) dónde\(f(x) = 3x^2\) y\(g(x) = 5x − 9\). Evaluar cada uno de los siguientes:

    1. \(h(−4)\)
    2. \(h \left( \dfrac{1}{2} \right)\)
    3. \(h(a + 1)\)

    Solución

    La función\(h\) se define como la suma de\(f\) y\(g\). Conecte el valor de entrada dado en cada función, evalúe para encontrar cada salida y tome la suma.

    1. \(h(−4) = f(−4) + g(−4) = \underbrace{3(−4)^2}_{f(−4)} + \underbrace{5( − 4 ) − 9}_{g(−4)} = 3 \cdot 16 + (−20 − 9) = 48 − 29 = 19\)

    Por lo tanto,\(h(−4) = 19\).

    1. \(h \left( \dfrac{1}{2} \right) = f \left( \dfrac{1}{2} \right) + g \left( \dfrac{1}{2} \right) = \underbrace{3 \left( \dfrac{1}{2} \right)^2}_{f(\frac{1}{2})} + \underbrace{5 \left( \dfrac{1}{2} \right) -9}_{g(\frac{1}{2})} = 3\left( \dfrac{1}{4} \right) + \dfrac{5}{2} - 9 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{10}{4} - \dfrac{36}{4} = -\dfrac{23}{4}\)

    Por lo tanto,\(h \left( \dfrac{1}{2} \right) = -\dfrac{23}{4}\)

    1. Reemplazar\(x\) con\(a + 1\), luego simplificar. \(h(a + 1) = f(a + 1) + g(a + 1)\)

    \(\begin{array} &&=\underbrace{3(a+1)^2}_{f(a+1)} + \underbrace{5(a+1) -9}_{g(a+1)} \\ &= 3(a + 1)(a + 1) + 5a + 5 − 9 \\ &= 3(a^2 + 2a + 1) + 5a − 4 \\ &= 3a^2 + 6a + 3 + 5a − 4 \\ &= 3a^2 + 6a + 5a + 3 − 4 \\ h(a + 1) &= 3a^2 + 11a − 1 \end{array}\)

    Ejemplo 1.3.3

    Vamos\(f(x) = 2x^2 − 4x + 1\). Evaluar cada uno de los siguientes:

    1. \(f(−3)\)
    2. \(f(a + 2)\)
    3. \(f(a + 2) − f(a)\)

    Solución

    1. Reemplazar cada uno\(x\) con\(x = −3\).

    \(f(−3) = 2(−3) 2 − 4(−3) + 1 = 2 \cdot 9 + 12 + 1 = 18 + 12 + 1 = 31\)

    Por lo tanto,\(f(−3) = 31\).

    1. Reemplazar cada uno\(x\) con\(a + 2\). Entonces simplifique.

    \(\begin{array} &f(a + 2) &= 2(a + 2) 2 − 4(a + 2) + 1 &\\ &= 2(a^2 + 4a + 4) − 4a − 8 + 1 &\text{Use Special Products and the Distributive Property} \\ & = 2a^2 + 8a + 8 − 4a − 8 + 1& \\ &= 2a^2 + 8a − 4a + 8 − 8 + 1 &\text{Rearrange terms to combine like terms} \\ f(a + 2) &= 2a^2 + 4a + 1 & \end{array}\)

    1. Vamos a restar\(f(a)\) de la respuesta a la parte b.

    \(\begin{array} &&\underbrace{2a^2 + 4a + 1}_{f(a+2)} − \underbrace{(2a^2 − 4a + 1 )}_{f(a)} &\text{Use answer from part b: \(f(a + 2) = 2a^2 + 4a + 1\)}\\ &= 2a^2 + 4a + 1 − 2a^2 + 4a − 1 &\ text {Restar una cantidad, así restar cada término.}\\ &= 2a^2 − 2a^2 + 4a + 4a + 1 − 1 &\ text {Reorganizar los términos para combinar términos similares.} \ end {array}\)

    Contestar\(f(a + 2) − f(a) = 8a\)

    Ejemplo 1.3.4

    Vamos\(f(x) = 3x − 4\). Evaluar cada uno de los siguientes.

    1. \(f(a^2)\)
    2. \([f(a)]^2\)

    Solución

    El orden de las operaciones arrojará diferentes resultados.

    1. \(f(a^2)\)indica\(x = a^2\). Por lo tanto,\(f(a^2) = 3a^2 − 4\).
    2. \([f(a)]^2\)indica\(x = a\). Después de la sustitución, cuadrar el resultado.

    \(\begin{array} &&[f(a)]^2 = (3a − 4)^2 &\text{Substitute \(x = a\)en la función\(f\).}\\ & [f (a)] ^2 = 9a^2 − 24a + 16 &\ text {Usa la Fórmula de Productos Especiales.} \ end {array}\)

    ¡Pruébalo! (Ejercicios)

    Para #1 -13, evalúe las funciones usando\(f\) y\(g\) como se define a continuación. No utilice una calculadora.

    \(f(x) = – 2x + 1\)

    \(g(x) = x^2 + 3x − 2\)

    1. \(f(3)\)
    2. \(g(1)\)
    3. \(f \left( \dfrac{1}{2} \right)\)
    4. \(g(−2)\)
    5. \(f(−1) − g(3)\)
    6. \(g(2a)\)
    7. \(f(3a)\)
    8. \(f(a − 4)\)
    9. \(g(a − 1)\)
    10. \(g(a^2)\)
    11. \([f(a)]^2\)
    12. \(g(a) − f(a + 1)\)
    13. \(g(a) − f(a^2)\)

    14. Vamos\(h(x) = f(x) + g(x)\). Evaluar cada uno de los siguientes:

    1. \(h(−5)\)
    2. \(h(4a)\)
    3. \(h(a − 3)\)

    Para #15 -34, evalúe las funciones usando\(f\) y\(g\) como se define a continuación. No utilice una calculadora.

    \(f(x) = \dfrac{x}{x+1}\)

    \(g(x) = \dfrac{4x}{x+2}\)

    1. \(f(3)\)
    2. \(f(−3)\)
    3. \(g(2)\)
    4. \(g(−2)\)
    5. \(f(2) + g(4)\)
    6. \(f(0) − g(6)\)
    7. \([f(1)]^2\)
    8. \([g(3)]^2\)
    9. \(f \left( \dfrac{1}{2} \right)\)
    10. \(g \left( \dfrac{1}{2} \right)\)
    11. \(f(a − 1)\)
    12. \(g(a − 1)\)
    13. \( [g(1)]^{−2}\)
    14. \([f(4)]^{−2}\)
    15. \([f(−2)]^{−1}\)
    16. \([g(−1)]^{−1}\)
    17. \(\left[g \left( \dfrac{1}{4} \right) \right]^{−1}\)
    18. \([f(5)]^{−1} + [g(5)]^{−1}\)
    19. \([f(5) + g(5)]^{−1}\)
    20. \(\dfrac{f(a)}{g(a)}\)

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