2.1: La anatomía de un polinomio
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Los polinomios son una clase de funciones que se estudian en el cálculo porque son predecibles en su comportamiento. Son curvas suaves y continuas cuando se grafican. Son bastante fáciles de graficar, encontrar raíces y calcular salidas para entradas de números reales. ¡Los polinomios seguirán siendo relevantes para todos tus cursos de matemáticas y ciencias en el futuro!
Empecemos con los prefijos en las siguientes palabras:
- Monomio: Mono significa “sencillo” o “uno”.
- Binomial: Bi significa “dos”.
- Trinomio: Tri significa “tres”.
- Polinomio: Poli significa “muchos” o “múltiples” o “uno o más”.
Un monomio es una expresión de un solo término en la que los números reales multiplican las variables con exponentes de número entero.
Las siguientes expresiones son ejemplos de monomios:
\(7x^3\;\;\;\;\;\; \dfrac{1}{2}xy\;\;\;\;\;\; 22\;\;\;\;\;\; pq^5\;\;\;\;\;\; \pi r^2\;\;\;\;\;\; −10a^4bc\)
Los números enteros son los números de conteo, comenzando con cero:\(0\),\(1\),\(2\),\(3\),\(4\),...
Las siguientes expresiones no son monomios porque los exponentes no son números enteros.
\(\begin{array} &&\textcolor{red}{\times}\;\;\;\;\; 2x^{−1} &\text{The exponent on \(x\)es\(–1\).}\\ &\ textcolor {rojo} {\ veces}\;\;\;\;\; 4u^ {\ pi} v &\ text {El exponente on\(u\) es\(\pi\).}\\ &\ textcolor {rojo} {\ veces}\;\;\;\;\;\;\; 5\ sqrt {y} &\ text {El exponente on\(y\) es\(\dfrac{1}{2}\).}\\ &\ textcolor {rojo} {\ veces}\;\;\;\;\;\ dfrac {3} {4t^2} &\ text { El exponente en\(t\) es\(–2\).} \ end {array}\)
Un binomio es una expresión de dos términos en la que se agregan o restan dos monomios para formar una sola expresión de 2 términos.
Las siguientes expresiones son ejemplos de binomios:
\(3x + 1\;\;\;\;\;\; x^4 − y^4\;\;\;\;\;\; 5y^5 − 5y \;\;\;\;\;\; \pi r^2 + 2 \pi r h\)
Un trinomio es una expresión de tres términos en la que se suman o restan tres monomios.
Las siguientes expresiones son ejemplos de trinomios:
\(x^3 + 4x^2 − 3 \;\;\;\;\;\; p^2q^2 − 5pq + 6 \;\;\;\;\;\; \dfrac{1}{4}n^2 − mn − \dfrac{3}{2}n \;\;\;\;\;\; 6t^{10} + 2 \pi t^2 + \pi\)
Un polinomio es una expresión que consiste en uno o más términos, y cada término es un monomio.
Los monomios, binomios y trinomios son nombres especiales de polinomios con\(1\)\(2\), o\(3\) términos. Se podría llamar polinomio a un trinomio ¡y eso está bien! Una vez que la expresión se extiende más allá de 3 términos, el polinomio no tiene ningún nombre especial; ¡es solo un polinomio!
Para encontrar el grado de un polinomio, inspeccione los exponentes de cada término. Cada término del polinomio tiene su propio grado. El grado de un término se encuentra sumando los exponentes del término. El término con mayor exponente-suma se convierte en el grado del polinomio.
Encuentra el grado de cada polinomio.
- \(p^2q^2 − 5pq + 6\)
- \(2y^5 − 4x^4y^3 + 10y^6 − y\)
Solución
a) El grado del trinomio está determinado por el término de grado más alto
\(\underbrace{p^2q^2}_{\text{Term} 1} - \underbrace{5pq}_{\text{Term} 2} + \underbrace{6}_{\text{Term} 3} \)
| Término 1 | \(p^2q^2\) | Titulación\(= 2 + 2 = 4\)\(\textcolor{green}{\checkmark}\) |
| Término 2 | \(−5p^1q^1\) | Titulación\(= 1 + 1 = 2\) |
| Término 3 | \(6p^0q^0\) | Titulación\(= 0 + 0 = 0\) |
Respuesta El grado del trinomio es\(4\).
b) Determinar el grado de cada uno de los\(4\) términos. El término de grado más alto es el grado del polinomio.
\(\underbrace{2y^5}_{\text{Term} 1} - \underbrace{4x^4y^3}_{\text{Term} 2} + \underbrace{10y^6}_{\text{Term} 3} - \underbrace{y}_{\text{Term} 4} \)
| Término 1 | \(2y^5\) | Titulación\(= 5\) |
| Término 2 | \(4x^4y^3\) | Titulación\(= 4 + 3 = 7\)\(\textcolor{green}{\checkmark}\) |
| Término 3 | \(10y^6\) | Titulación\(= 6\) |
| Término 4 | \(y\) | Titulación\(=1\) |
Respuesta El grado del trinomio es\(7\).
Los términos\(p^2q^2\) y\(−5pq\) son términos variables, y el término “\(6\)” se denomina término constante. Es decir, un término sin variables es un término constante. Cada término variable tiene un factor numérico que se denomina coeficiente del término. Un polinomio a menudo tiene términos establecidos en el orden descendente de grado. Por lo tanto, el término de grado más alto suele señalarse primero, y es por ello que el término de grado más alto se denomina término principal del polinomio. El coeficiente del término principal se llama coeficiente principal.
La siguiente tabla resume el vocabulario polinómico y los conceptos clave:
| Polinomio | Orden descendente | Coeficiente principal | Grado de Polinomio | |
|---|---|---|---|---|
|
Monomios |
\(-8x^2y\) | \(-8x^2y\) | \(-8\) | \(3\) |
| \(15\) | \(15\) | \(15\) | \(0\) | |
|
Binomios |
\(−6n^2m^3 + 3n^7\) | \(3n^7 − 6n^2m^3\) | \(3\) | \(7\) |
| \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3}b\) | \(-\dfrac{1}{3}b + \dfrac{2}{3}\) | \(-\dfrac{1}{3}\) | \(1\) | |
|
Trinomios |
\(3-5c-c^2\) | \(-c^2-5c+3\) | \(-1\) | \(2\) |
| \(2 \pi r^3h − r^2 + \pi r^3h^2\) | \(\pi r^3h^2 + 2 \pi r^3h − r^2\) | \(\pi\) | \(5\) |
Un polinomio de una sola variable y la función p (x)
La mayor parte de tu trabajo será con polinomios de una sola variable. La siguiente es una definición formal de una sola función polinómica variable,\(p(x)\).
Una función polinómica\(p(x)\) es una suma de los términos\(a_nx^n\) donde\(a_0, a_1, a_2,...,a_n\) son números reales y\(n\) es un entero no negativo.
\[p(x) =a_0, a_1x, a_2x^2,...,a_nx^n\]
La notación de funciones anterior puede parecer innecesariamente complicada a primera vista. Sin embargo, observe que si usamos las letras del alfabeto de la A a la Z para los coeficientes, estamos limitados a\(26\) términos. Por lo tanto, al usar la letra\(a\) con un subíndice numérico en lugar de usar las letras A-Z, no tenemos ninguna limitación en el número de términos.
¡Pruébalo! (Ejercicios)
Para #1 -9, diga si cada expresión es un polinomio. Si lo es, identifíquelo como monomio, binomio o trinomio.
- \(12t^4 s^2\)
- \(1 − \dfrac{1}{6}p\)
- \(\dfrac{4}{c} − 1\)
- \(3y^4 − 2x^2\)
- \(4v − u^2 + uv\)
- \(8r^{\pi}\)
- \(−3.8 − 6.2x + 0.4x^2\)
- \(6 \pi r 2d\)
- \(5a^2 − 4a + a −1\)
- Crea tu propio ejemplo de un monomio de grado ocho.
- Crea tu propio ejemplo de trinomio de grado cinco.
- Crea tu propio ejemplo de un binomio de grado cuatro.
- El grado de un término constante distinto de cero como\(3\) es cero. Explique por qué.
Para #14 -19, rellene la tabla apropiadamente para cada polinomio.
| Polinomio | Término principal | Coeficiente principal | Titulación | |
|---|---|---|---|---|
| 14. | \(1-x^3\) | |||
| 15. | \(−6a^5b^3\) | |||
| 16. | \(3p^5q^4 − 5p^5 + 6p^6q\) | |||
| 17. | \(2 + \dfrac{3}{4}x\) | |||
| 18. | \(5\pi − y − 7y^3 + 4 \pi y^4 − y^2\) | |||
| 19. | \(1 + 0.25xy + 0.65y\) |
20. Rellene el espacio en blanco con el vocabulario correcto.
- A ____________ es un polinomio de un solo término.
- Para el término\(bx^n\),\(b\) se denomina ____________ el del término y\(n\) es el ____________ del término.
- El término con el grado más alto se denomina término ____________.
- Todas las funciones lineales de la forma\(f(x) = mx + b\) son polinomios que tienen grado\(=\) ____________.