2.2: Suma polinomial, resta, multiplicación y división monomial

Gran parte de la Sección\(2.2\) son matemáticas que ya conoces, como combinar términos similares al agregar polinomios, ¡pero te mantendremos en los dedos de los pies con la introducción de la notación de funciones! También obtendrás la práctica añadida que anhelas para las diversas propiedades de exponente. Esta sección tiene como objetivo fortalecer su capacidad para trabajar con funciones polinómicas usando notación de funciones.

Agregar las funciones f y g pueden ser anotadas (f+g) (x)

\[(f+g)(x) = f(x) + g(x)\]

Ejemplo 2.2.1

\(f(x) = 10x^3 − 6x^2 + 5\)y\(g(x) = 1 − 4x^3\). Encuentra\((f+g)(x)\).

Solución

\[ \begin{align*} (f+g)(x) &= \left( \underbrace{10x^3 − 6x^2 + 5}_{f(x)} \right) + \left( \underbrace{1 − 4x^3}_{g(x)} \right) \\[4pt] &= 10x^3 + (−6x^2 ) + 5 + 1 + (−4x^3) &\text{Turn subtraction into addition: \(A-B=A+(-B)\).} \\[4pt] &= 10x^3 + (−4x^3 ) + (−6x^2 ) + 5 + 1 &\text{Rearrange terms so like terms are side-by-side.} \\[4pt] &= 6x^3 − 6x^2 + 6 &\text{Simplify by combining like terms.} \end{align*}\]

Las funciones restadoras f y g pueden ser anotadas (f-g) (x)

\[(f-g)(x) = f(x) - g(x)\]

Precaución

Las funciones restadoras deben manejarse con mayor cuidado que sumar funciones. Recuerda que la cantidad\(g(x)\) debe restarse de\(f(x)\). Colocar paréntesis alrededor\(g(x)\) y restar la cantidad.

Ejemplo 2.2.2

\(f(x) = 2x^2 − 8x − 4\)y\(g(x) = 3x − 9\). Encuentra\((f − g)(x)\).

Solución

\((f-g)(x) = \left( \underbrace{2x^2 − 8x − 4}_{f(x)} \right) - \left( \underbrace{3x − 9}_{g(x)} \right)\)

\(\begin{array} &&\underbrace{2x^2 − 8x − 4}_{f(x)} - \underbrace{(3x +(− 9))}_{g(x)} &\text{Consider the sign value of each term.} \\ &= 2x^2 + (−8x) + (−4) − 3x − (−9) &\text{Subtract each term of \(g\). Then simplify.} \\ &= 2x^2 + (−8x) + (−4) − 3x + 9 &A - -(B) - A+B.\\ &= 2x^2 + (−8x) + (−3x) + (−4) + 9 &\text{Rearrange terms so like terms are side-by-side.} \\ &= 2x^2 − 11x + 5 &\text{Simplify.} \end{array}\)

Multiplicar las funciones f y g pueden ser anotadas (fg) (x)

\[(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\]

Ejemplo 2.2.3

\(f(x) = 6 − 2x\)y\(g(x) = 3x^2 − 8x − 4\). Encuentra\((f \cdot g)(x)\).

Solución

\( (f \cdot g)(x) = \left( \underbrace{6 − 2x}_{f(x)} \right) - \left( \underbrace{3x^2 − 8x − 4}_{g(x)} \right) \)

La mesa organiza términos. Está claro qué términos se deben multiplicar. ¡Organización significa menos errores!

	\(3x^2\)	\(-8x\)	\(-4\)
\(6\)	\ (3x^2\) ">\(18x^2\)	\ (-8x\) ">\(-48x\)	\ (-4\) ">\(-24\)
\(-2x\)	\ (3x^2\) ">\(-6x^3\)	\ (-8x\) ">\(16x^2\)	\ (-4\) ">\(8x\)

\(\begin{array} &&= −6x^3 + 18x^2 + 16x^2 − 48x + 8x − 24 &\text{Gather like terms. Then simplify.} \\ &= −6x^3 + 34x^2 − 40x + 8x &\end{array}\)

Multiplicar las funciones f y g pueden ser anotadas (f/g) (x)

\[\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}\]

Ejemplo 2.2.4

\(f(x) = 8x^4\)y\(g(x) = 2x^9\). Encuentra\(\left( \dfrac{f}{g} \right)(x)\).

Solución

\(\begin{array} &&\left( \dfrac{f}{g} \right)(x) = \dfrac{8x^4}{2x^9} &\text{The numerator and denominator are each monomials.} \\ &\dfrac{8x^4}{2x^9} = \dfrac{8}{2} \cdot \dfrac{x^4}{x^9} = 4x^{4−9} = 4x −5 &\text{Use the Quotient of Powers Property to simplify.} \\ &\dfrac{4}{x^5} &\text{Answer with positive exponents.} \end{array}\)

Definición: Función racional

Una función racional es una función\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\), donde ambos\(f(x)\) y\(g(x)\) son funciones polinómicas y no\(g(x)\) es cero en sí mismo.

Estudiaremos la función racional con más profundidad en Capítulo\(5\).

¡Pruébalo! (Ejercicios)

1. Dejar\(f(x) = 8x + 2\) y\(g(x) = 3 − 4x\). Encuentra cada uno de los siguientes:

1. \((f+g)(x)\)
2. \((f-g)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

2. Encuentra\(\left( \dfrac{f}{g} \right)(x)\) dadas las funciones\(f\) y\(g\) a continuación.

1. \(f(x) = 10x^{20}\)y\(g(x) = 20x^8\)
2. \(f(x) = \dfrac{3}{4}x^5\)y\(g(x) = \dfrac{1}{8}x^7\)

3. Dejar\(f(x) = x^3 − 6x^2 + 2\) y\(g(x) = 5x^2 − 4\). Encuentra cada uno de los siguientes:

1. \((f+g)(x)\)
2. \((f-g)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

4. En general, ¿es\((f-g)(x)\) lo mismo que\((g-f)(x)\)? Explique.

5a. El ancho de un rectángulo es descrito por la función\(f(x) = 2x − 5\). La longitud del rectángulo es descrita por la función\(g(x) = 3x + 1\). ¿Cuál de los siguientes describe el área del rectángulo?

1. \((f+g)(x)\)
2. \((f-g)(x)\)
3. \((f \cdot g)(x)\)

5b. Encuentra el área del rectángulo como una función polinómica.

6) Ya que\((f+g)(x) = f(x) + g(x)\), la notación también se aplica a valores específicos de\(x\). Es decir,\((f + g)(2) = f(2) + g(2)\). Evaluar cada uno de los siguientes dados\(f(x) = −4x^2 + 2x\) y\(g(x) = 1 − x^2\).

1. \((f+g)(2)\)
2. \((f+g)(0)\)
3. \((f+g)(-1)\)
4. \((f+g)(-2)\)

7) Ya que\((f \cdot g)(x) =f(x) \cdot g(x)\), la notación también se aplica a valores específicos de\(x\). Es decir,\((f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2)\). Evaluar cada uno de los siguientes dados\(f(x) = −4x^2 + 2x\) y\(g(x) = 1 −x^2\).

1. \((f \cdot g)(2)\)
2. \((f\cdot g)(0)\)
3. \((f\cdot g)(-1)\)
4. \((f\cdot g)(-2)\)