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6.1: Simplificar expresiones radicales

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    ¿A quién no le encanta el comando “deshacer” en una computadora? Los radicales son como un comando de deshacer a todos los poderes. Si tomar poderes es una acción hacia adelante, entonces los radicales requieren que pensemos al revés. Para prepararse para esta sección, memoriza los primeros doce cuadrados perfectos y los primeros cinco cubos. Será muy útil reconocer los poderes de\(2\) y\(3\).

    Definición: Cuadrados perfectos y cubos perfectos para memorizar

    Cuadrados perfectos para memorizar (primeros doce):

    \(1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …\)

    Cubos para memorizar (primeros cinco):

    \(1, 8, 27, 64, 125, …\)

    Veamos la anatomía de un radical:

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    Índice\(n\) Ejemplo Leer en voz alta
    \ (n\) ">Índice por defecto\(n=2\) \(\sqrt{4}\) La raíz cuadrada de\(4\).
    \ (n\) ">\(n=3\) \(\sqrt[3]{8}\) La raíz cubo de\(8\).
    \ (n\) ">\(n=4\) \(\sqrt[4]{16}\) La\(4^{\text{th}}\) raíz de\(16\).
    \ (n\) ">\(n=5\) \(\sqrt[5]{32}\) La\(5^{\text{th}}\) raíz de\(32\).

    El índice,\(n\), indica el exponente de la potencia relacionada.

    \(\begin{array} &\sqrt{4} &= 2 &\text{Why? Because \(2^2 = 4\).}\\\ sqrt [3] {8} &= 2 &\ text {¿Por qué? Porque\(2^3 = 8\).}\\\ sqrt [4] {16} &= 2 &\ text {¿Por qué? Porque\(2^4 = 16\).}\\\ sqrt [5] {32} &= 2 &\ text {¿Por qué? Porque\(2^5 = 32\).} \ end {array}\)

    Los cuatro ejemplos anteriores tienen un valor de\(2\).

    Ejemplo 6.1.1

    Simplificar.

    1. \(\sqrt{\dfrac{9}{64}}\)
    2. \(\sqrt[3]{−64}\)
    3. \(\sqrt{−81}\)
    4. \(\sqrt[5]{100000}\)

    Solución

    1. \(\begin{array} & \sqrt{\dfrac{9}{64}} = \dfrac{3}{8} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{\(\sqrt{\dfrac{9}{64}} = \dfrac{3}{8}\)porque\(\dfrac{3}{8} ≥ 0\) y\(\left( \dfrac{3}{8} \right)^2 = \dfrac{9}{64}\).} \ end {array}\)
    2. \(\begin{array} & \sqrt[3]{−64} = −4 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{\(\sqrt[3]{−64} = −4\)porque\(n = 3\) es impar y\((−4)^3 = −64\).} \ end {array}\)
    3. \(\begin{array} & \sqrt{−81} \text{ is not a real number.} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{No real number, when squared, equals \(−81\).} \ end {array}\)
    4. \(\begin{array} & \sqrt[5]{100000} = 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{\(\sqrt[5]{100000} = 10\)porque\(10^5 = 100000\).} \ end {array}\)

    Las propiedades y ejemplos (abajo) involucrarán un radicando con variables. De aquí en adelante, asumiremos que todas las variables de radicales indexados pares son valores no negativos. Es decir, para\(\sqrt[n]{x^p}\) y\(n\) es parejo, vamos a asumir\(x ≥ 0\).

    Propiedad Ejemplos
    1. \(\sqrt[n]{a^n} = a\) \(\sqrt[4]{x^4} = x\)o\(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\)
    2. Propiedad del producto:\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\) \(\sqrt[5]{6} \cdot \sqrt[5]{x^2} = \sqrt[5]{6x^2}\)o\(\sqrt{100x^4} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^4} = 10x^2\)
    3. Propiedad del cociente:\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\) \(\sqrt{\dfrac{x^2}{100}} = \dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{100}} = \dfrac{x}{10}\)o\(\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{\dfrac{54}{16}} = \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} = \dfrac{3}{2}\)
    Definición

    Dejar\(m\) y\(n\) ser enteros tal que\(m/n\) sea un número racional en términos más bajos y\(n > 1\). Entonces,

    \(a^{1/n} = \sqrt[n]{a}\)y\(a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \)

    Si\(n\) es par, entonces requerimos\(a ≥ 0\).

    Ejemplo 6.1.2

    Escribe cada expresión en notación radical, luego simplifica.

    1. \((81x^2)^{−1/2}\)
    2. \((243)^{3/5}\)

    Solución

    1. \((81x^2)^{−1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{81x^2}} = \dfrac{1}{9x}\)
    2. \((243)^{3/5} = \sqrt[5]{243^3} = \sqrt[5]{(3^5)^3} = \sqrt[5]{(3^3)^5} = 3^3 = 27\)

    Simplificando los Radicales

    Utilice con la mayor frecuencia posible la propiedad\(\sqrt[n]{a^n} = a\) para simplificar los radicales. ¡Factorice en trozos donde los poderes sean iguales al índice\(n\), luego libere esos números o variables del radical! Nuevamente, se puede asumir en todos los problemas que las variables representan números reales positivos.

    Ejemplo 6.1.3
    1. \(\sqrt{12x^5y^3}\)
    2. \(5\sqrt[3]{216u^6v^5}\)
    3. \(−\sqrt[4]{16a^{23}}\)

    Solución

    1. \(\begin{array} &\sqrt{12x^5y^3} &= \sqrt{12} \cdot \sqrt{x^5} \cdot \sqrt{y^3} &\text{The product property: simplify \(3\)radicales separados.}\\ &=\ sqrt {\ textcolor {rojo} {2^2}\ cdot 3}\ cdot\ sqrt {\ textcolor {rojo} {x^2}\ cdot\ textcolor {rojo} {x^2}\ cdot x}\ cdot\ sqrt {\ textcolor {rojo} {y^2}\ cdot y} &\ text {El índice\(n = 2\). Encuentra poderes de\(2\) simplificar.}\\ &=\ sqrt {2^2\ cdot x^2\ cdot x^2\ cdot x^2\ cdot y^2}\ cdot\ sqrt {3xy} &\ text {Agrupe los cuadrados. Agrupe los no cuadrados.}\\ &= 2\ cdot x\ cdot x\ cdot y\ cdot\ sqrt {3xy} n &\ text {Simplificar usando\(\sqrt[n]{a^n} = a\).}\\ &= 2x^2y\ sqrt {3xy} &\ text {Combina potencias para simplificar.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &5\sqrt[3]{216u^6v^5} &= 5\sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{u^6} \cdot \sqrt[3]{v^5} &\;\;\;\text{The product property: simplify \(3\)radicales separados.}\\ &= 5\ cdot\ sqrt [3] {\ textcolor {rojo} {6^3}}\ cdot\ sqrt [3] {\ textcolor {rojo} {(u^2) ^3}}\ cdot\ sqrt [3] {\ textcolor {rojo} {v^3}\ cdot v^2} &\;\;\ texto {El índice\(n = 3\). Encuentra poderes de\(3\) simplificar.}\\ &= 5\ cdot\ sqrt [3] {6^3\ cdot (u^2) ^3\ cdot v^3}\ cdot\ sqrt [3] {v^2} &\;\;\;\ text {Agrupe los cubos. Agrupe los no cubos.}\\ &= 5\ cdot 6\ cdot u^2\ cdot v\ cdot\ cdot\ sqrt [3] {v^2} &\;\;\;\ text {Simplifica usando\(\sqrt[n]{a^n} = a\).}\\ &= 30u^2v\ sqrt [3] {v^2} &\;\;\;\ text {Combina potencias para simplificar.} \ end {array}\)
    1. \(\begin{array} &−\sqrt[4]{16a^{23}} &= -1 \cdot \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^{23}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{The product property: simplify \(2\)radicales separados.}\\\ &= −1\ cdot\ sqrt [4] {\ textcolor {rojo} {2^4}}\ cdot\ sqrt [4] {\ textcolor {rojo} {(a^5) ^4}\ cdot a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {¿Cuántas veces\(4\) entrar de\(23\) manera uniforme? \(5\). \(R=3\).}\\ &= −1\ cdot\ sqrt [4] {4^2\ cdot (a^5) ^4}\ cdot\ sqrt [4] {a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Agrupar potencias de\(4\). Grupo no potencias de\(4\).}\\ &= −1\ cdot 2\ cdot a^5\ cdot\ sqrt [4] {a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Simplificar usando\(\sqrt[n]{a^n} = a\).}\\ &= -2a^5\ sqrt [4] {a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Combina poderes para simplificar.} \ end {array}\)
    Ejemplo 6.1.4

    Multiplicar y simplificar\(\sqrt[3]{4p^2q^3} \cdot \sqrt[3]{6pq}\)

    Solución

    \(\begin{array} &\sqrt[3]{4p^2q^3} \cdot \sqrt[3]{6pq} &= \sqrt[3]{4 \cdot 6 \cdot p^2 \cdot p \cdot q \cdot q} &\text{The product property consolidates the radical.} \\ &= \sqrt[3]{24 \cdot p^3 \cdot q^2} &\text{Consolidate the powers using power properties.} \\ &= \sqrt[3]{\textcolor{red}{2^3} \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{\textcolor{red}{p^3}} \cdot \sqrt[3]{q^2} &\text{The product property: simplify \(3\)radicales separados.}\\ &= −\ sqrt [3] {2^3\ cdot p^3}\ cdot\ sqrt [3] {3q^2} &\ text {Agrupe los cubos. Agrupe los no cubos.}\\ &= 2p\ cdot\ sqrt [3] {3q^2} &\ text {Simplificar usando\(\sqrt[n]{a^n} = a\).} \ end {array}\)

    ¡Pruébalo! (Ejercicios)

    1. En el Ejemplo\(6.1.2\) b de esta sección, se afirma:\(\sqrt[5]{(3^5)^3} = \sqrt[5]{(3^3)^5}\).

    Nombrar las propiedades que nos permita equiparar\((3^5)^3 = (3^3)^5\). Explique.

    2. Utilice la equivalencia\(x^{ab} = x^{ba}\) para simplificar cada uno de los siguientes sin usar una calculadora.

    1. \(\sqrt[3]{(7^3)^{10}}\)
    2. \(\sqrt[4]{(5^4)^3}\)
    3. \(8\sqrt[5]{(-10^5)^4}\)

    3. Para cada una de las siguientes, sustituir el número declarado como potencia del índice. Utilice la equivalencia\(x^{ab} = x^{ba}\) para simplificar cada uno de los siguientes.

    Por ejemplo:\(\sqrt[3]{8^5} = \sqrt[3]{(2^3)^5} = \sqrt[3]{(2^5)^3} = 2^5 = 32\).

    1. \(\sqrt{16^5}\)
    2. \(−5\sqrt[4]{81^7}\)
    3. \(−9\sqrt[5]{32^6}\)

    Para 4-11, escriba cada expresión en notación radical, luego simplifique sin calculadora.

    1. \(121^{−1/2}\)
    2. \(32^{2/5}\)
    3. \(125^{−2/3}\)
    4. \((−125)^{2/3}\)
    5. \(\left( \dfrac{81}{100} \right)^{1/2}\)
    6. \(\left( \dfrac{64}{125} \right)^{2/3}\)
    7. \(\left(−\dfrac{64}{125} \right)^{2/3}\)
    8. \(\left( \dfrac{64}{125} \right)^{−2/3}\)

    Para 12-23, simplificar la expresión. Supongamos que las variables representan números reales positivos.

    1. \(\sqrt{18y^3}\)
    2. \(\sqrt[3]{250b^5}\)
    3. \(\sqrt[4]{48x^9}\)
    4. \(\sqrt[5]{−243c^{10}}\)
    5. \(−2a \sqrt[10]{80a}\)
    6. \(\dfrac{\sqrt[3]{500u^5}}{45u}\)
    7. \(\sqrt[4]{\dfrac{1250p^9}{p^{13}}}\)
    8. \(\dfrac{3}{4} \sqrt{\dfrac{96z^{20}}{6}}\)
    9. \(\sqrt{128n^{10}m^3}\)
    10. \(\sqrt[4]{\dfrac{405x^{14}y^6}{5x^4y}}\)
    11. \((\sqrt[7]{a^5b^6})^{35}\)
    12. \(\left( \dfrac{\sqrt[3]{8u^6v^{12}}}{6u^2v} \right)^2\)

    Para 24-31, multiplique y simplifique. Supongamos que las variables representan números reales positivos.

    1. \(−3x \sqrt{5x} \cdot \sqrt{20x^3}\)
    2. \(2q \sqrt[3]{54q^2} \cdot \sqrt[3]{4q^4}\)
    3. \(6t^3 (\sqrt[4]{75t^6} \cdot \sqrt[4]{100t^3})\)
    4. \(\sqrt[5]{64u^5v^8 } \cdot \sqrt[5]{112v^4} \cdot 7v\)
    5. \(\dfrac{\sqrt{5x}}{10} \cdot \dfrac{\sqrt{15x}}{3x}\)
    6. \(\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\sqrt[3]{18a^2}}{2} \right) \left( \dfrac{\sqrt[3]{6a^4}}{3a} \right)\)
    7. \(\sqrt[3]{\dfrac{56n^4}{27m^5}} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{49m^2}{8n}}\)
    8. \(\left( \dfrac{24w^{11}}{13} \right)^3 \left( \dfrac{13w}{6} \right)^3 \)

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