6.1: Simplificar expresiones radicales

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¿A quién no le encanta el comando “deshacer” en una computadora? Los radicales son como un comando de deshacer a todos los poderes. Si tomar poderes es una acción hacia adelante, entonces los radicales requieren que pensemos al revés. Para prepararse para esta sección, memoriza los primeros doce cuadrados perfectos y los primeros cinco cubos. Será muy útil reconocer los poderes de$2$ y$3$.

Definición: Cuadrados perfectos y cubos perfectos para memorizar

Cuadrados perfectos para memorizar (primeros doce):

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, …$

Cubos para memorizar (primeros cinco):

$1, 8, 27, 64, 125, …$

Veamos la anatomía de un radical:

$clipboard_eaecd674719fbdb4cc9fbd5ec372189d8.png$

Índice$n$	Ejemplo	Leer en voz alta
\ (n\) ">Índice por defecto$n=2$	$\sqrt{4}$	La raíz cuadrada de$4$.
\ (n\) ">$n=3$	$\sqrt[3]{8}$	La raíz cubo de$8$.
\ (n\) ">$n=4$	$\sqrt[4]{16}$	La$4^{\text{th}}$ raíz de$16$.
\ (n\) ">$n=5$	$\sqrt[5]{32}$	La$5^{\text{th}}$ raíz de$32$.

El índice,$n$, indica el exponente de la potencia relacionada.

$\begin{array} &\sqrt{4} &= 2 &\text{Why? Because \(2^2 = 4$.}\\\ sqrt [3] {8} &= 2 &\ text {¿Por qué? Porque$2^3 = 8$.}\\\ sqrt [4] {16} &= 2 &\ text {¿Por qué? Porque$2^4 = 16$.}\\\ sqrt [5] {32} &= 2 &\ text {¿Por qué? Porque$2^5 = 32$.} \ end {array}\)

Los cuatro ejemplos anteriores tienen un valor de$2$.

Ejemplo 6.1.1

Simplificar.

$\sqrt{\dfrac{9}{64}}$
$\sqrt[3]{−64}$
$\sqrt{−81}$
$\sqrt[5]{100000}$

Solución

$\begin{array} & \sqrt{\dfrac{9}{64}} = \dfrac{3}{8} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{\(\sqrt{\dfrac{9}{64}} = \dfrac{3}{8}$porque$\dfrac{3}{8} ≥ 0$ y$\left( \dfrac{3}{8} \right)^2 = \dfrac{9}{64}$.} \ end {array}\)
$\begin{array} & \sqrt[3]{−64} = −4 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{\(\sqrt[3]{−64} = −4$porque$n = 3$ es impar y$(−4)^3 = −64$.} \ end {array}\)
$\begin{array} & \sqrt{−81} \text{ is not a real number.} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{No real number, when squared, equals \(−81$.} \ end {array}\)
$\begin{array} & \sqrt[5]{100000} = 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{\(\sqrt[5]{100000} = 10$porque$10^5 = 100000$.} \ end {array}\)

Las propiedades y ejemplos (abajo) involucrarán un radicando con variables. De aquí en adelante, asumiremos que todas las variables de radicales indexados pares son valores no negativos. Es decir, para$\sqrt[n]{x^p}$ y$n$ es parejo, vamos a asumir$x ≥ 0$.

Propiedad	Ejemplos
1. $\sqrt[n]{a^n} = a$	$\sqrt[4]{x^4} = x$o$\sqrt[3]{(-5)^3} = -5$
2. Propiedad del producto:$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$	$\sqrt[5]{6} \cdot \sqrt[5]{x^2} = \sqrt[5]{6x^2}$o$\sqrt{100x^4} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^4} = 10x^2$
3. Propiedad del cociente:$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$	$\sqrt{\dfrac{x^2}{100}} = \dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{100}} = \dfrac{x}{10}$o$\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{\dfrac{54}{16}} = \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} = \dfrac{3}{2}$

Definición

Dejar$m$ y$n$ ser enteros tal que$m/n$ sea un número racional en términos más bajos y$n > 1$. Entonces,

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$y$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m $

Si$n$ es par, entonces requerimos$a ≥ 0$.

Ejemplo 6.1.2

Escribe cada expresión en notación radical, luego simplifica.

$(81x^2)^{−1/2}$
$(243)^{3/5}$

Solución

$(81x^2)^{−1/2} = \dfrac{1}{\sqrt{81x^2}} = \dfrac{1}{9x}$
$(243)^{3/5} = \sqrt[5]{243^3} = \sqrt[5]{(3^5)^3} = \sqrt[5]{(3^3)^5} = 3^3 = 27$

Simplificando los Radicales

Utilice con la mayor frecuencia posible la propiedad$\sqrt[n]{a^n} = a$ para simplificar los radicales. ¡Factorice en trozos donde los poderes sean iguales al índice$n$, luego libere esos números o variables del radical! Nuevamente, se puede asumir en todos los problemas que las variables representan números reales positivos.

Ejemplo 6.1.3

$\sqrt{12x^5y^3}$
$5\sqrt[3]{216u^6v^5}$
$−\sqrt[4]{16a^{23}}$

Solución

$\begin{array} &\sqrt{12x^5y^3} &= \sqrt{12} \cdot \sqrt{x^5} \cdot \sqrt{y^3} &\text{The product property: simplify \(3$radicales separados.}\\ &=\ sqrt {\ textcolor {rojo} {2^2}\ cdot 3}\ cdot\ sqrt {\ textcolor {rojo} {x^2}\ cdot\ textcolor {rojo} {x^2}\ cdot x}\ cdot\ sqrt {\ textcolor {rojo} {y^2}\ cdot y} &\ text {El índice$n = 2$. Encuentra poderes de$2$ simplificar.}\\ &=\ sqrt {2^2\ cdot x^2\ cdot x^2\ cdot x^2\ cdot y^2}\ cdot\ sqrt {3xy} &\ text {Agrupe los cuadrados. Agrupe los no cuadrados.}\\ &= 2\ cdot x\ cdot x\ cdot y\ cdot\ sqrt {3xy} n &\ text {Simplificar usando$\sqrt[n]{a^n} = a$.}\\ &= 2x^2y\ sqrt {3xy} &\ text {Combina potencias para simplificar.} \ end {array}\)

$\begin{array} &5\sqrt[3]{216u^6v^5} &= 5\sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{u^6} \cdot \sqrt[3]{v^5} &\;\;\;\text{The product property: simplify \(3$radicales separados.}\\ &= 5\ cdot\ sqrt [3] {\ textcolor {rojo} {6^3}}\ cdot\ sqrt [3] {\ textcolor {rojo} {(u^2) ^3}}\ cdot\ sqrt [3] {\ textcolor {rojo} {v^3}\ cdot v^2} &\;\;\ texto {El índice$n = 3$. Encuentra poderes de$3$ simplificar.}\\ &= 5\ cdot\ sqrt [3] {6^3\ cdot (u^2) ^3\ cdot v^3}\ cdot\ sqrt [3] {v^2} &\;\;\;\ text {Agrupe los cubos. Agrupe los no cubos.}\\ &= 5\ cdot 6\ cdot u^2\ cdot v\ cdot\ cdot\ sqrt [3] {v^2} &\;\;\;\ text {Simplifica usando$\sqrt[n]{a^n} = a$.}\\ &= 30u^2v\ sqrt [3] {v^2} &\;\;\;\ text {Combina potencias para simplificar.} \ end {array}\)

$\begin{array} &−\sqrt[4]{16a^{23}} &= -1 \cdot \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^{23}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{The product property: simplify \(2$radicales separados.}\\\ &= −1\ cdot\ sqrt [4] {\ textcolor {rojo} {2^4}}\ cdot\ sqrt [4] {\ textcolor {rojo} {(a^5) ^4}\ cdot a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {¿Cuántas veces$4$ entrar de$23$ manera uniforme? $5$. $R=3$.}\\ &= −1\ cdot\ sqrt [4] {4^2\ cdot (a^5) ^4}\ cdot\ sqrt [4] {a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Agrupar potencias de$4$. Grupo no potencias de$4$.}\\ &= −1\ cdot 2\ cdot a^5\ cdot\ sqrt [4] {a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Simplificar usando$\sqrt[n]{a^n} = a$.}\\ &= -2a^5\ sqrt [4] {a^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {Combina poderes para simplificar.} \ end {array}\)

Ejemplo 6.1.4

Multiplicar y simplificar$\sqrt[3]{4p^2q^3} \cdot \sqrt[3]{6pq}$

Solución

$\begin{array} &\sqrt[3]{4p^2q^3} \cdot \sqrt[3]{6pq} &= \sqrt[3]{4 \cdot 6 \cdot p^2 \cdot p \cdot q \cdot q} &\text{The product property consolidates the radical.} \\ &= \sqrt[3]{24 \cdot p^3 \cdot q^2} &\text{Consolidate the powers using power properties.} \\ &= \sqrt[3]{\textcolor{red}{2^3} \cdot 3} \cdot \sqrt[3]{\textcolor{red}{p^3}} \cdot \sqrt[3]{q^2} &\text{The product property: simplify \(3$radicales separados.}\\ &= −\ sqrt [3] {2^3\ cdot p^3}\ cdot\ sqrt [3] {3q^2} &\ text {Agrupe los cubos. Agrupe los no cubos.}\\ &= 2p\ cdot\ sqrt [3] {3q^2} &\ text {Simplificar usando$\sqrt[n]{a^n} = a$.} \ end {array}\)

¡Pruébalo! (Ejercicios)

1. En el Ejemplo$6.1.2$ b de esta sección, se afirma:$\sqrt[5]{(3^5)^3} = \sqrt[5]{(3^3)^5}$.

Nombrar las propiedades que nos permita equiparar$(3^5)^3 = (3^3)^5$. Explique.

2. Utilice la equivalencia$x^{ab} = x^{ba}$ para simplificar cada uno de los siguientes sin usar una calculadora.

$\sqrt[3]{(7^3)^{10}}$
$\sqrt[4]{(5^4)^3}$
$8\sqrt[5]{(-10^5)^4}$

3. Para cada una de las siguientes, sustituir el número declarado como potencia del índice. Utilice la equivalencia$x^{ab} = x^{ba}$ para simplificar cada uno de los siguientes.

Por ejemplo:$\sqrt[3]{8^5} = \sqrt[3]{(2^3)^5} = \sqrt[3]{(2^5)^3} = 2^5 = 32$.

$\sqrt{16^5}$
$−5\sqrt[4]{81^7}$
$−9\sqrt[5]{32^6}$

Para 4-11, escriba cada expresión en notación radical, luego simplifique sin calculadora.

$121^{−1/2}$
$32^{2/5}$
$125^{−2/3}$
$(−125)^{2/3}$
$\left( \dfrac{81}{100} \right)^{1/2}$
$\left( \dfrac{64}{125} \right)^{2/3}$
$\left(−\dfrac{64}{125} \right)^{2/3}$
$\left( \dfrac{64}{125} \right)^{−2/3}$

Para 12-23, simplificar la expresión. Supongamos que las variables representan números reales positivos.

$\sqrt{18y^3}$
$\sqrt[3]{250b^5}$
$\sqrt[4]{48x^9}$
$\sqrt[5]{−243c^{10}}$
$−2a \sqrt[10]{80a}$
$\dfrac{\sqrt[3]{500u^5}}{45u}$
$\sqrt[4]{\dfrac{1250p^9}{p^{13}}}$
$\dfrac{3}{4} \sqrt{\dfrac{96z^{20}}{6}}$
$\sqrt{128n^{10}m^3}$
$\sqrt[4]{\dfrac{405x^{14}y^6}{5x^4y}}$
$(\sqrt[7]{a^5b^6})^{35}$
$\left( \dfrac{\sqrt[3]{8u^6v^{12}}}{6u^2v} \right)^2$

Para 24-31, multiplique y simplifique. Supongamos que las variables representan números reales positivos.

$−3x \sqrt{5x} \cdot \sqrt{20x^3}$
$2q \sqrt[3]{54q^2} \cdot \sqrt[3]{4q^4}$
$6t^3 (\sqrt[4]{75t^6} \cdot \sqrt[4]{100t^3})$
$\sqrt[5]{64u^5v^8 } \cdot \sqrt[5]{112v^4} \cdot 7v$
$\dfrac{\sqrt{5x}}{10} \cdot \dfrac{\sqrt{15x}}{3x}$
$\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\sqrt[3]{18a^2}}{2} \right) \left( \dfrac{\sqrt[3]{6a^4}}{3a} \right)$
$\sqrt[3]{\dfrac{56n^4}{27m^5}} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{49m^2}{8n}}$
$\left( \dfrac{24w^{11}}{13} \right)^3 \left( \dfrac{13w}{6} \right)^3 $

Índice\(n\)	Ejemplo	Leer en voz alta
\ (n\) ">Índice por defecto\(n=2\)	\(\sqrt{4}\)	La raíz cuadrada de\(4\).
\ (n\) ">\(n=3\)	\(\sqrt[3]{8}\)	La raíz cubo de\(8\).
\ (n\) ">\(n=4\)	\(\sqrt[4]{16}\)	La\(4^{\text{th}}\) raíz de\(16\).
\ (n\) ">\(n=5\)	\(\sqrt[5]{32}\)	La\(5^{\text{th}}\) raíz de\(32\).

Propiedad	Ejemplos
1. \(\sqrt[n]{a^n} = a\)	\(\sqrt[4]{x^4} = x\)o\(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\)
2. Propiedad del producto:\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)	\(\sqrt[5]{6} \cdot \sqrt[5]{x^2} = \sqrt[5]{6x^2}\)o\(\sqrt{100x^4} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{x^4} = 10x^2\)
3. Propiedad del cociente:\(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)	\(\sqrt{\dfrac{x^2}{100}} = \dfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{100}} = \dfrac{x}{10}\)o\(\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[3]{\dfrac{54}{16}} = \sqrt[3]{\dfrac{27}{8}} = \dfrac{3}{2}\)

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Definición: Cuadrados perfectos y cubos perfectos para memorizar

Ejemplo 6.1.1

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