1.1: Funciones y notación de funciones

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¿Qué es una función?

El mundo natural está lleno de relaciones entre cantidades que cambian. Cuando vemos estas relaciones, es natural que preguntemos “Si conozco una cantidad, ¿puedo entonces determinar la otra?” Esto establece la idea de una cantidad de entrada, o variable independiente, y una cantidad de salida correspondiente, o variable dependiente. De esto obtenemos la noción de una relación funcional en la que la salida se puede determinar a partir de la entrada.

Para algunas cantidades, como la altura y la edad, ciertamente existen relaciones entre estas cantidades. Dada una persona específica y cualquier edad, es bastante fácil determinar su estatura, pero si intentamos revertir esa relación y determinar la edad a partir de una altura determinada, eso sería problemático, ya que la mayoría de las personas mantienen la misma estatura durante muchos años.

Definición: Función

Una función es una regla para una relación entre una cantidad de entrada, o independiente, y una cantidad de salida, o dependiente, en la que cada valor de entrada determina de manera única un valor de salida. Decimos “la salida es una función de la entrada”.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

En el ejemplo de altura y edad anterior, ¿la estatura es función de la edad? ¿La edad es función de la altura?

Solución

En el ejemplo de altura y edad anterior, sería correcto decir que la altura es una función de la edad, ya que cada edad determina de manera única una altura. Por ejemplo, en mi 18${}^{th}$ cumpleaños, tenía exactamente una altura de 69 pulgadas.

Sin embargo, la edad no es función de la altura, ya que una entrada de altura podría corresponder con más de una edad de salida. Por ejemplo, para una altura de entrada de 70 pulgadas, hay más de una salida de edad ya que tenía 70 pulgadas a la edad de 20 y 21 años.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

En una cafetería, el menú consta de artículos y sus precios. ¿El precio es una función del artículo? ¿El artículo es una función del precio?

Solución

Podríamos decir que el precio es una función del artículo, ya que cada entrada de un artículo tiene una salida de un precio correspondiente al mismo. No podríamos decir que el artículo es una función del precio, ya que dos artículos podrían tener el mismo precio.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

En muchas clases el porcentaje general que ganas en el curso corresponde a un punto decimal de calificación. ¿La calificación decimal es una función del porcentaje? ¿El porcentaje es una función de la calificación decimal?

Solución

Para cualquier porcentaje ganado, habría una calificación decimal asociada, por lo que podríamos decir que la calificación decimal es una función del porcentaje. Es decir, si ingresas el porcentaje, tu salida sería una calificación decimal. El porcentaje puede o no ser una función de la calificación decimal, dependiendo del esquema de calificaciones del profesor. Con algunos sistemas de calificación, hay un rango de porcentajes que corresponden a la misma calificación decimal.

Definición: función uno a uno

A veces en una relación cada entrada corresponde exactamente a una salida, y cada salida corresponde exactamente a una entrada. Llamamos a este tipo de relación una función uno-a-uno.

De Ejemplo$\PageIndex{3}$,$if$ cada porcentaje único corresponde a un punto de calificación decimal único y cada punto de calificación decimal único corresponde a un porcentaje único entonces es una función uno a uno.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Consideremos la información de la cuenta bancaria.

¿Su saldo es función de su número de cuenta bancaria? (si ingresas un número de cuenta bancaria ¿tiene sentido que la salida sea tu saldo?)
¿Su número de cuenta bancaria es función de su saldo? (si ingresas un saldo ¿tiene sentido que la salida sea tu número de cuenta bancaria?)

Responder a: Sí: por cada cuenta bancaria, habría un saldo asociado
Respuesta b: No: podría haber varias cuentas bancarias con el mismo saldo

Notación de funciones

Para simplificar la escritura de expresiones y ecuaciones que involucran funciones, a menudo se usa una notación simplificada. También utilizamos variables descriptivas para ayudarnos a recordar el significado de las cantidades en el problema.

En lugar de escribir “la altura es una función de la edad”, podríamos usar la variable descriptiva$h$ para representar la altura y podríamos usar la variable descriptiva$a$ para representar la edad.

“la altura es una función de la edad” si$f$ nombramos la función que escribimos$a$ "$h$es$f$ de" o más simplemente$h = f(a)$ podríamos nombrar la función$h$ y escribir$h(a)$ que se lee "$h$de$a$”

Recuerda que podemos usar cualquier variable para nombrar la función; la notación nos$h(a)$ muestra que$h$ depende de a. El valor "$a$" debe ser puesto en la función ""$h$ "para obtener un resultado. Ten cuidado - los paréntesis indican que la edad se introduce en la función (Nota: ¡no confundas estos paréntesis con multiplicación!).

Definición: Notación de funciones

La salida de notación =$f$ (entrada) define una función llamada$f$. Esto se leería “la salida es$f$ de entrada”

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Introducir notación de función para representar una función que toma como entrada el nombre de un mes, y da como salida el número de días en ese mes.

Solución

El número de días en un mes es una función del nombre del mes, así que si nombramos la función$f$, podríamos escribir “days =$f$ (month)” o$d = f(m)$. Si simplemente nombramos la función$d$, podríamos escribir$d(m)$

Por ejemplo,$d$ (marzo) = 31, ya que marzo tiene 31 días. La notación nos$d(m)$ recuerda que el número de días,$d$ (la salida) depende del nombre del mes,$m$ (la entrada)

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Una función$N = f(y)$ da el número de policías,$N$, en una localidad en año$y$. ¿Qué nos dice$f$ (2005) = 300?

Solución

Cuando leemos$f$ (2005) = 300, vemos que la cantidad de entrada es 2005, que es un valor para la cantidad de entrada de la función, el año ($y$). El valor de salida es 300, el número de policías ($N$), un valor para la cantidad de salida. Recuerda$N = f(y)$. Esto nos dice que en el año 2005 había 300 policías en la localidad.

Tablas como funciones

Las funciones se pueden representar de muchas maneras: Palabras (como hicimos en los últimos ejemplos), tablas de valores, gráficas o fórmulas. Representados como una tabla, se nos presenta una lista de valores de entrada y salida. En algunos casos, estos valores representan todo lo que sabemos sobre la relación, mientras que en otros casos la tabla es simplemente proporcionarnos unos valores selectos de una relación más completa.

Cuadro 1: Esta tabla representa la entrada, número del mes (enero = 1, febrero = 2, y así sucesivamente) mientras que la salida es el número de días en ese mes. Esto representa todo lo que sabemos sobre los meses y días de un año determinado (eso no es un año bisiesto)
(entrada) Número de mes,$m$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
(salida) Días en el mes,$D$	31	28	31	30	31	30	31	31	30	31	30	31

Cuadro 2: La siguiente tabla define una función$Q = g(n)$. Recuerda que esta notación nos dice que$g$ es el nombre de la función que toma la entrada n y da la salida$Q$.
$n$	1	2	3	4	5
$Q$	8	6	7	6	8

Cuadro 3: Esta tabla representa la edad de los niños en años y sus alturas correspondientes. Esto representa solo algunos de los datos disponibles para la estatura y las edades de los niños.
(entrada)$a$, edad en años	5	5	6	7	8	9	10
(salida)$h$, pulgadas de altura	40	42	44	47	50	52	54

Ejemplo$\PageIndex{6}$

¿Cuál de estas tablas define una función (si la hay)? ¿Alguno de ellos es uno a uno?

Entrada	Salida
2	1
5	3
8	6

Entrada	Salida
-3	5
0	1
4	5

Entrada	Salida
1	0
5	2
5	4

Solución

Las tablas primera y segunda definen funciones. En ambos, cada entrada corresponde exactamente a una salida. La tercera tabla no define una función ya que el valor de entrada de 5 corresponde con dos valores de salida diferentes.

Sólo la primera tabla es uno a uno; es a la vez una función, y cada salida corresponde exactamente a una entrada. Aunque la tabla 2 es una función, debido a que cada entrada corresponde exactamente a una salida, cada salida no corresponde exactamente a una entrada por lo que esta función no es uno-a-uno. La Tabla 3 ni siquiera es una función y así que ni siquiera necesitamos considerar si se trata de una función uno a uno.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Si cada porcentaje ganado se tradujera a una calificación de letra, ¿sería esto una función? ¿Es uno a uno?

Responder: Sí es una función; No, no es uno a uno (varios porcentajes dan la misma calificación de letra)

Resolver y evaluar funciones

Cuando trabajamos con funciones, hay dos cosas típicas que hacemos: evaluar y resolver. Evaluar una función es lo que hacemos cuando conocemos una entrada, y usamos la función para determinar la salida correspondiente. Evaluar siempre producirá un resultado, ya que cada entrada de una función corresponde exactamente a una salida.

Resolver ecuaciones que involucran una función es lo que hacemos cuando conocemos una salida, y usamos la función para determinar las entradas que producirían esa salida. Resolver una función podría producir más de una solución, ya que diferentes entradas pueden producir la misma salida.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Usando la tabla mostrada, donde$Q = g(n)$

$n$	1	2	3	4	5
$Q$	8	6	7	6	8

Evaluar$g(3)$
Resolver$g(n) = 6$

Solución

Evaluar$g(3)$ (léase: "$g$de 3") significa que necesitamos determinar el valor de salida,$Q$, de función$g$ dado el valor de entrada de$n = 3$. Al mirar la tabla, vemos la salida correspondiente a$n = 3$ is$Q = 7$, permitiéndonos concluir$g(3) = 7$.

b) Resolver$g(n) = 6$

Resolver$g(n) = 6$ significa que necesitamos determinar qué valores de entrada,$n$, producir un valor de salida de 6. Al mirar la mesa vemos que hay dos soluciones:$n = 2$ y$n = 4$.

Cuando ingresamos 2 en la función$g$, nuestra salida es$Q = 6$
Cuando ingresamos 4 en la función$g$, nuestra salida también es$Q = 6$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Usando la función en Ejemplo$\PageIndex{7}$, evalúe$g(4)$

Responder: Cuando$n = 4$,$Q = g(4) = 6$

Gráficas como funciones

A menudo se puede utilizar una gráfica de una relación para definir una función. Por convención, los gráficos se crean típicamente con la cantidad de entrada a lo largo del eje horizontal y la cantidad de salida a lo largo de la vertical.

$Una cuadrícula de papel con texto negro$

La gráfica más común tiene$y$ en el eje vertical y$x$ en el eje horizontal, y decimos que$y$ es una función de$x$, o$y = f(x)$ cuando se nombra la función$f$.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

¿Cuál de estas gráficas define una función$y = f(x)$? ¿Cuál de estas gráficas define una función uno a uno?

Gráfica de una curva suave que aumenta a negativo 1 coma 3, disminuye a 1 coma negativa 3, luego aumenta. Gráfica de una línea recta decreciente Gráfica de un círculo con radio 3 centrado en el origen.

Solución

Al observar las tres gráficas anteriores, las dos primeras definen una función y=f (x), ya que para cada valor de entrada a lo largo del eje horizontal hay exactamente un valor de salida correspondiente, determinado por el valor y de la gráfica. El${}^{rd}$ gráfico 3 no define una función y=f (x) ya que algunos valores de entrada, como x =2, corresponden con más de un valor de salida.

La gráfica 1 no es una función de uno a uno. Por ejemplo, el valor de salida 3 tiene dos valores de entrada correspondientes, -1 y 2.3
El gráfico 2 es una función uno a uno; cada entrada corresponde exactamente a una salida, y cada salida corresponde exactamente a una entrada.
La Gráfica 3 ni siquiera es una función así que no hay razón para siquiera verificar si se trata de una función uno a uno.

Prueba de línea vertical

La prueba de línea vertical es una manera práctica de pensar si un gráfico define la salida vertical como una función de la entrada horizontal. Imagina dibujar líneas verticales a través de la gráfica. Si alguna línea vertical cruzaría la gráfica más de una vez, entonces la gráfica no define solo una salida vertical para cada entrada horizontal.

Prueba de Línea Horizontal

Una vez que haya determinado que un gráfico define una función, una manera fácil de determinar si es una función uno a uno es usar la prueba de línea horizontal. Dibuja líneas horizontales a través de la gráfica. Si alguna línea horizontal cruza la gráfica más de una vez, entonces la gráfica no define una función uno a uno.

Evaluar una función usando una gráfica requiere tomar la entrada dada y usar la gráfica para buscar la salida correspondiente. Resolver una ecuación de función usando una gráfica requiere tomar la salida dada y mirar en la gráfica para determinar la entrada correspondiente.

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Dada la gráfica de$f(x)$

Evaluar$f(2)$
Resolver$f(x) = 4$

$Un gráfico en forma de U que pasa por negativo 1 coma 4, 0 coma 1, 1 coma 0, 2 coma 1 y 3 coma 4$

Solución

(a) Para evaluar$f(2)$, encontramos la entrada de$x = 2$ en el eje horizontal. Al subir a la gráfica se da el punto (2, 1), dando una salida de$y = 1$. $f(2) = 1$.

(b) Para resolver$f(x) = 4$, encontramos el valor 4 en el eje vertical porque si$f(x) = 4$ entonces 4 es la salida. Al moverse horizontalmente a través de la gráfica se obtienen dos puntos con la salida de 4: (-1, 4) y (3, 4). Estos dan a los dos solución a$f(x) = 4$:$x = -1$ o$x =3$ Esto significa$f(-1) = 4$ y$f(3) = 4$, o cuando la entrada es -1 o 3, la salida es 4.

Observe que si bien la gráfica en el ejemplo anterior es una función, obtener dos valores de entrada para el valor de salida de 4 nos muestra que esta función no es uno a uno.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Usando la gráfica del ejemplo$\PageIndex{9}$, solucione$f(x) = 1$

Responder: Hay dos puntos donde la salida es 1:$x = 0$ o$x = 2$

Fórmulas como funciones

Cuando es posible, es muy conveniente definir relaciones usando fórmulas. Si es posible expresar la salida como una fórmula que involucra la cantidad de entrada, entonces podemos definir una función.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Expresar la relación$2n + 6p = 12$ como una función$p = f(n)$ si es posible.

Solución

Para expresar la relación en esta forma, necesitamos poder escribir la relación donde p es una función de n, lo que significa escribirla como$p$ = [algo que involucra$n$].

\[2n + 6p = 12\nonumber \]restar$2n$ de ambos lados

\[6p = 12 - 2n\nonumber \]dividir ambos lados por 6 y simplificar

\[p=\dfrac{12-2n}{6} =\dfrac{12}{6} -\dfrac{2n}{6} =2- \dfrac{1}{3} n\nonumber \]

Habiendo reescrito la fórmula como$p =$, ahora podemos expresar$p$ como una función:

\[p=f(n)=2 - \dfrac{1}{3} n\nonumber \]

Es importante señalar que no todas las relaciones pueden expresarse como una función con una fórmula.

Tenga en cuenta que la característica importante de una ecuación escrita como una función es que el valor de salida se puede determinar directamente a partir de la entrada haciendo evaluaciones; no se requiere más resolución. Esto permite que la relación actúe como una caja mágica que toma una entrada, la procesa y devuelve una salida. La tecnología moderna y las computadoras se basan en estas relaciones funcionales, ya que la evaluación de la función se puede programar en máquinas, mientras que resolver las cosas es mucho más desafiante.

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Expresar la relación$x^{2} +y^{2} =1$ como una función$y = f(x)$ si es posible.

Solución

Si tratamos de resolver para y en esta ecuación:

\[ \begin{align*} y^{2} &=1 - x^{2} \\[4pt] &=\pm \sqrt{1-x^{2} } \end{align*}\]

Terminamos con dos salidas correspondientes a una misma entrada, por lo que esta relación no puede representarse como una sola función$y = f(x)$.

Al igual que con las tablas y gráficas, es común evaluar y resolver funciones que involucran fórmulas. Evaluar requerirá reemplazar la variable de entrada en la fórmula con el valor proporcionado y calcular. Resolver requerirá reemplazar la variable de salida en la fórmula con el valor proporcionado, y resolver la (s) entrada (s) que produciría esa salida.

Ejemplo$\PageIndex{12}$

Dada la función$k(t) = t^3 + 2$

Evaluar$k(2)$
Resolver$k(t) = 1$

Solución

(a) Para evaluar$k(2)$, conectamos el valor de entrada 2 en la fórmula dondequiera que veamos la variable de entrada$t$, luego simplificamos

\[k(2) = 2^3 + 2\nonumber \]

\[k(2) = 8 + 2\nonumber \]

Entonces\[k(2) = 10\nonumber \]

(b) Para resolver$k(t) = 1$, establecemos la fórmula para$k(t)$ igual a 1, y resolvemos para el valor de entrada que producirá esa salida

\[k(t) = 1\nonumber \]sustituir la fórmula original\[k(t) = t^3 + 2\nonumber \]

\[t^3 + 2 = 1\nonumber \]restar 2 de cada lado

\[t^3 = -1\nonumber \]tomar la raíz cúbica de cada lado

\[t = -1\nonumber \]

Al resolver una ecuación usando fórmulas, puedes verificar tu respuesta usando tu solución en la ecuación original para ver si tu respuesta calculada es correcta.

Queremos saber si$k(t)=1$ es cierto cuándo$t=-1$.

\[\begin{array} {rcl} {(k(-1)} &= & {(-1)^3 + 2} \\ {} &= & {-1 + 2} \\ {} &= & {1 \text{ which was the desired result.}} \end{array}\nonumber \]

Ejemplo$\PageIndex{13}$

Dada la función$h(p)=p^{2} +2p$

Evaluar$h(4)$
Resolver$h(p) = 3$

Solución

Para evaluar$h(4)$ sustituimos el valor 4 por la variable de entrada$p$ en la función dada.

(a)\[\begin{array} {rcl} {h(4)} &= & {(4)^2 + 2(4)} \\ {} &= & {16 + 8} \\ {} &= & {24} \end{array}\nonumber \]

b)$h(p) = 3$ Sustituir la función original\[h(p) = p^2 + 2p\nonumber \]

\[p^{2} +2p = 3\nonumber \]Esto es cuadrático, así podemos reorganizar la ecuación para obtenerla = 0

\[p^{2} +2p - 3 = 0\nonumber \]restar 3 de cada lado

\[p^{2} +2p - 3 = 0\nonumber \]esto es factorizable, así que lo factorizamos

\[(p + 3) (p - 1) = 0\nonumber \]

Por el teorema del factor cero ya que$(p + 3)(p - 1) = 0$, cualquiera$(p+3)=0$ o$(p-1)=0$ (o ambos iguales a 0) y así resolvemos ambas ecuaciones para$p$, encontrando$p = -3$ desde la primera ecuación y$p = 1$ desde la segunda ecuación.

Esto nos da la solución:$h(p) = 3$ cuándo$p = 1$ o$p = -3$

Encontramos dos soluciones en este caso, lo que nos dice que esta función no es uno-a-uno.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Dada la función$g(m) = \sqrt{m - 4}$

Evaluar$g(5)$
Resolver$g(m) = 2$

Responder: a.$g(5) = \sqrt{5 - 4} = 1$
b$\sqrt{m - 4} = 2$. Cuadrar ambos lados para conseguir$m - 4 = 4$. $m = 8$

Funciones básicas del kit de herramientas

En este texto, exploraremos funciones —las formas de sus gráficas, sus características únicas, sus ecuaciones y cómo resolver problemas con ellas. A la hora de aprender a leer, comenzamos con el alfabeto. Al aprender a hacer aritmética, comenzamos con números. Cuando se trabaja con funciones, es igualmente útil tener un conjunto base de elementos a partir de los que construir. A estos los llamamos nuestro “kit de herramientas de funciones”, un conjunto de funciones básicas nombradas para las que conocemos la gráfica, la ecuación y las características especiales.

Para estas definiciones usaremos x como variable de entrada y$f(x)$ como variable de salida.

Funciones del kit de herramientas

Lineal

Constante:$f(x)=c$, donde c es una constante (número)
Identidad:$f(x)=x$
Valor absoluto:$f(x)=\left|x\right|$

Poder

Cuadrática:$f(x)=x^{2}$
Cúbico:$f(x)=x^{3}$
Recíproco:$f(x)=\dfrac{1}{x}$
Recíproco al cuadrado:$f(x)=\dfrac{1}{x^{2} }$
Raíz cuadrada:$f(x)=\sqrt[2]{x} =\sqrt{x}$
Raíz cúbica:$f(x)=\sqrt[3]{x}$

Verás estas funciones del kit de herramientas, combinaciones de funciones del kit de herramientas, sus gráficas y sus transformaciones frecuentemente a lo largo de este libro. Para poder seguir con éxito más adelante en el libro, será muy útil si puedes reconocer estas funciones del kit de herramientas y sus características rápidamente por nombre, ecuación, gráfica y valores básicos de tabla.

No todas las ecuaciones importantes se pueden escribir como$y = f(x)$. Un ejemplo de ello es la ecuación de un círculo. Recordemos la fórmula de distancia para la distancia entre dos puntos:

\[\text{dist}=\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} }\]

Un círculo con radio$r$ con centro en ($h$,$k$) se puede describir como todos los puntos ($x$,$y$) a una$r$ distancia del centro, por lo que usando la fórmula de distancia,

\[r=\sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2} } \nonumber\]

dando la ecuación de un círculo.

Ecuación de un círculo

Un círculo con radio$r$ con centro ($h$,$k$) tiene ecuación

\[r^{2} = (x - h)^{2} + (y - k)^{2}\]