3.8.8E: Funciones inversas y radicales (Ejercicios)

ejercicio de la sección 3.8

Para cada función, busque un dominio en el que la función sea uno a uno y no decreciente, luego encuentre una inversa de la función en este dominio.

1. \(f\left(x\right)=\left(x-4\right)^{2}\)

2. \(f\left(x\right)=\left(x+2\right)^{2}\)

3. \(f\left(x\right)=12-x^{2}\)

4. \(f\left(x\right)=9-x^{2}\)

5. \(f\left(x\right)=3x^{3} +1\)

6. \(f\left(x\right)=4-2x^{3}\)

Encuentra la inversa de cada función.

7. \(f\left(x\right)=9+\sqrt{4x-4}\)

8. \(f\left(x\right)=\sqrt{6x-8} +5\)

9. \(f\left(x\right)=9+2\sqrt[{3}]{x}\)

10. \(f\left(x\right)=3-\sqrt[{3}]{x}\)

11. \(f\left(x\right)=\dfrac{2}{x+8}\)

12. \(f\left(x\right)=\dfrac{3}{x-4}\)

13. \(f\left(x\right)=\dfrac{x+3}{x+7}\)

14. \(f\left(x\right)=\dfrac{x-2}{x+7}\)

15. \(f\left(x\right)=\dfrac{3x+4}{5-4x}\)

16. \(f\left(x\right)=\dfrac{5x+1}{2-5x}\)

Los policías utilizan la fórmula\(v=\sqrt{20L}\) para estimar la velocidad de un automóvil,\(v\), en millas por hora, con base en la longitud, en pies\(L\), de sus marcas de derrape al frenar repentinamente en una carretera asfáltica seca.

17. En el lugar de un accidente, un policía mide las marcas de derrape de un automóvil para medir 215 pies de largo. Aproximadamente, ¿qué tan rápido viajaba el auto?

18. En el lugar de un accidente, un policía mide las marcas de derrape de un automóvil para medir 135 pies de largo. Aproximadamente, ¿qué tan rápido viajaba el auto?

La fórmula\(v=\sqrt{2.7r}\) modela la velocidad máxima segura\(v\), en millas por hora, a la que un automóvil puede viajar en una carretera curva con radio de curvatura\(r\), en pies.

19. Una tripulación de carretera mide el radio de curvatura en una rampa de salida en una carretera como 430 pies. ¿Cuál es la velocidad máxima segura?

20. Una tripulación de carretera mide el radio de curvatura en una esquina estrecha en una carretera como 900 pies. ¿Cuál es la velocidad máxima segura?

21. Un canal de drenaje tiene una sección transversal en forma de parábola. Supongamos que el canal tiene 10 pies de profundidad y 20 pies de ancho en la parte superior. Si la profundidad del agua en la zanja es de 5 pies, ¿qué tan amplia es la superficie del agua en la zanja? [UW]

22. Brooke se encuentra a 5 millas del punto más cercano\(A\) a lo largo de una costa recta en su kayak de mar. Huelga de hambre y quiere llegar a Kono para almorzar; ver foto. Br ooke puede remar 2 mph y caminar 4 mph. [UW]

a. si rema a lo largo de un curso en línea recta hasta la orilla, encuentre una expresión que compute el tiempo total para llegar al almuerzo en términos de la ubicación donde Brooke baña su kayak.
b. Determinar el tiempo total para llegar a la de Kono si rema directamente al punto\(A\).
c. Determina el tiempo total para llegar a Kono si ella rema directamente a la de Kono.
d. ¿Crees que tu respuesta a b o c es el tiempo mínimo requerido para que Brooke llegue al almuerzo?
e. Determinar el tiempo total para llegar al Kono si rema directamente a un punto de la orilla a medio camino entre el punto A y el de Kono. ¿Cómo se compara este tiempo con los tiempos en las partes b o c? ¿Necesitas modificar tu respuesta a la parte d?

23. Clovis está de pie al borde de una gota, que se incline 4 pies hacia abajo de él por cada 1 pie horizontal. Lanza un cohete modelo pequeño desde donde está parado. Con el origen del sistema de coordenadas ubicado donde está parado, y el\(x\) -eje extendiéndose horizontalmente, la trayectoria del cohete se describe mediante la fórmula\(y=-2x^{2} +120x\). [UW]

a. Dar una función que\(h=f(x)\) relacione la altura\(h\) del cohete sobre el suelo inclinado con su\(x\) coordenada.
b. Encuentra la altura máxima del cohete sobre el terreno inclinado. ¿Cuál es su\(x\) coordenada cuando está a su altura máxima?
c. Clovis mide la altura\(h\) del cohete sobre el terreno inclinado mientras sube. Dar una función que\(x=g\left(h\right)\) relacione la\(x\) coordenada -del cohete con\(h\).
d. ¿Sigue funcionando la función de (c) cuando el cohete está bajando? Explique.

24. Un canal tiene una sección transversal semicircular con un radio de 5 pies. El agua comienza a fluir hacia el canal de tal manera que la profundidad del agua está aumentando a una velocidad de 2 pulgadas por hora. [UW]

a. dar una función que\(w=f\left(t\right)\) relacione el ancho w de la superficie del agua con el tiempo\(t\), en horas. Asegúrese de especificar el dominio y calcular el rango también.
b. ¿Después de cuántas horas la superficie del agua tendrá un ancho de 6 pies?
c. Dar una función que\(t=f^{-1} \left(w\right)\) relacione el tiempo con el ancho de la superficie del agua. Asegúrese de especificar el dominio y calcular el rango también.

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1. \((4, \infty)\)Inversa de dominio\(f^{-1} (x) = \sqrt{x} + 4\)

3. \((-\infty, 0)\)Inversa de dominio\(f^{-1} (x) = -\sqrt{12 - x}\)

5. \((-\infty, 0)\)Inversa de dominio\(f^{-1} (x) = \sqrt[3]{\dfrac{x - 1}{3}}\)

7. \(f^{-1} (x) = \dfrac{(x - 9)^2}{4} + 1\)

9. \(f^{-1} (x) = (\dfrac{x - 9}{2})^3\)

11. \(f^{-1} (x) = \dfrac{2 - 8x}{x}\)

13. \(f^{-1} (x) = \dfrac{3 - 7x}{x - 1}\)

15. \(f^{-1} (x) = \dfrac{5x - 4}{3 + 4x}\)

17. 65.574 mph

19. 34. 073 mph

21. 14.142 pies