6.5.5E: Modelado con Funciones Trigonométricas (Ejercicios)

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 116747

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

ejercicios de la sección 6.5

En cada uno de los siguientes triángulos, resuelva para el lado y los ángulos desconocidos.

1. $2019-07-10 12.12.png$ 2. $2019-07-10 12.12.38.png$

3. $2019-07-10 12.12.55.png$ 4. $2019-07-10 12.13.18.png$

Encuentre una posible fórmula para la función trigonométrica cuyos valores se encuentran en las siguientes tablas.

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$y$	-2	4	10	4	-2	4	10

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$y$	1	-3	-7	-3	1	-3	-7

7. La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabe que la temperatura alta para el día es de 63 grados y la baja temperatura de 37 grados ocurre a las 5 AM. Suponiendo que$t$ es el número de horas desde la medianoche, encontrar una ecuación para la temperatura$D$,, en términos de$t$.

8. La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabe que la temperatura alta para el día es de 92 grados y la baja temperatura de 78 grados ocurre a las 4 AM. Suponiendo que$t$ es el número de horas desde la medianoche, encontrar una ecuación para la temperatura$D$,, en términos de$t$.

9. Una población de conejos oscila 25 por encima y por debajo de un promedio de 129 durante el año, golpeando el valor más bajo en enero ($t = 0$).

a.- Encontrar una ecuación para la población,$P$, en términos de los meses transcurridos desde enero,$t$.
b. ¿Qué pasa si el valor más bajo de la población de conejos ocurrió en abril en su lugar?

10. Una población de alces oscila 150 por encima y por debajo de un promedio de 720 durante el año, alcanzando el valor más bajo en enero ($t = 0$).

11. La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabe que la temperatura alta de 105 grados ocurre a las 5 PM y la temperatura promedio para el día es de 85 grados. Encuentra la temperatura, al grado más cercano, a las 9 AM.

12. La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabe que la temperatura alta de 84 grados ocurre a las 6 PM y la temperatura promedio para el día es de 70 grados. Encuentra la temperatura, al grado más cercano, a las 7 AM.

13. La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabes que la temperatura varía entre 47 y 63 grados durante el día y la temperatura media diaria ocurre primero a las 10 AM. ¿Cuántas horas después de la medianoche llega primero la temperatura a 51 grados?

14. La temperatura exterior en el transcurso de un día se puede modelar como una función sinusoidal. Supongamos que sabes que la temperatura varía entre 64 y 86 grados durante el día y la temperatura media diaria ocurre primero a las 12 AM. ¿Cuántas horas después de la medianoche llega primero la temperatura a los 70 grados?

15. Una noria tiene 20 metros de diámetro y abordada desde una plataforma que se encuentra a 2 metros sobre el suelo. La posición de las seis en punto en la noria está nivelada con la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 6 minutos. ¿Cuántos minutos del viaje se gastan a más de 13 metros sobre el suelo?

16. Una noria tiene 45 metros de diámetro y abordada desde una plataforma que se encuentra a 1 metro sobre el suelo. La posición de las seis en punto en la noria está nivelada con la plataforma de carga. La rueda completa 1 revolución completa en 10 minutos. ¿Cuántos minutos del viaje se gastan a más de 27 metros sobre el suelo?

17. El área de hielo marino alrededor del Polo Norte fluctúa entre unos 6 millones de kilómetros cuadrados en septiembre a 14 millones de kilómetros cuadrados en marzo. Asumiendo fluctuación sinusoidal, ¿durante cuántos meses hay menos de 9 millones de kilómetros cuadrados de hielo marino?

18. El área de hielo marino alrededor del Polo Sur fluctúa entre unos 18 millones de kilómetros cuadrados en septiembre y 3 millones de kilómetros cuadrados en marzo. Asumiendo fluctuación sinusoidal, ¿durante cuántos meses hay más de 15 millones de kilómetros cuadrados de hielo marino?

19. Una dolencia respiratoria llamada “Respiración Cheyne-Stokes” provoca que el volumen por respiración aumente y disminuya de manera sinusoidal, en función del tiempo. Para un paciente en particular con esta afección, una máquina comienza a registrar una gráfica de volumen por respiración versus tiempo (en segundos). Dejar$b(t)$ ser una función del tiempo t que nos dice el volumen (en litros) de una respiración que inicia en el tiempo$t$. Durante la prueba, el volumen más pequeño por respiración es de 0.6 litros y esto primero ocurre para una respiración que inicia 5 segundos en la prueba. El mayor volumen por respiración es de 1.8 litros y esto primero ocurre para una respiración que comienza 55 segundos en la prueba. [UW]

a. encontrar una fórmula para la función$b(t)$ cuya gráfica modelará los datos de prueba para este paciente.
b. Si el paciente comienza a respirar cada 5 segundos, ¿cuáles son los volúmenes respiratorios durante el primer minuto de la prueba?

20. Supongamos que la marea alta en Seattle ocurre a las 1:00 a.m. y 1:00 p.m., momento en el que el agua está a 10 pies por encima de la altura de la marea baja. Las mareas bajas ocurren 6 horas después de las mareas altas. Supongamos que hay dos mareas altas y dos bajas todos los días y la altura de la marea varía sinusoidalmente. [UW]

a. encontrar una fórmula para la función$y = h(t)$ que calcula la altura de la marea por encima de la marea baja en el momento$t$. (En otras palabras,$y = 0$ corresponde a la marea baja.)
b. ¿Cuál es la altura de la marea a las 11:00 a.m.?

21. Un satélite de comunicaciones orbita la tierra$t$ millas por encima de la superficie. Supongamos que el r $2019-07-10 12.19.42.png$ adius de la tierra es de 3,960 millas. El satélite sólo puede “ver” una porción de la superficie terrestre, delimitada por lo que se llama un círculo del horizonte. Esto lleva a una imagen transversal bidimensional que podemos usar para estudiar el tamaño del corte del horizonte: [UW]

a. encontrar una fórmula para$\alpha$ en términos de$t$.
b. Si$t = 30,000$ millas, ¿qué es$\alpha$? ¿Qué porcentaje de la circunferencia de la tierra está cubierto por el satélite? ¿Cuál sería el número mínimo de satélites de este tipo requerido para cubrir la circunferencia?
c. Si$t = 1,000$ millas, ¿qué es$\alpha$? ¿Qué porcentaje de la circunferencia de la tierra está cubierto por el satélite? ¿Cuál sería el número mínimo de satélites de este tipo requerido para cubrir la circunferencia?
d. Supongamos que desea colocar un satélite en órbita para que el 20% de la circunferencia esté cubierta por el satélite. ¿Cuál es la distancia requerida$t$?

22. Tiffany es una entusiasta de los cohetes modelo. Ella ha estado trabajando en un cohete presurizado lleno de óxido nitroso. Según su diseño, si la presión atmosférica ejercida sobre el cohete es inferior a 10 libras/sq.in., la cámara de óxido nitroso dentro del cohete explotará. Tiff trabajó a partir de una fórmula$p=14.7e^{-h/10}$ libras/sq.in. para la presión atmosférica$h$ millas sobre el nivel del mar. Supongamos que el cohete se lanza en un ángulo$\alpha$ sobre el nivel del suelo al nivel del mar con una velocidad inicial de 1400 pies/seg. Además, supongamos que la altura (en pies) del cohete en el tiempo$t$ segundos viene dada por la ecuación$y\left(t\right)=-16t^{2} +1400\sin \left(\alpha \right)t$. [UW]

a. ¿A qué altitud explotará el cohete?
b. Si el ángulo de lanzamiento es$\alpha$ = 12$\mathrm{{}^\circ}$, determinar la presión atmosférica mínima ejercida sobre el cohete durante su vuelo. ¿El cohete explotará en el aire?
c. Si el ángulo de lanzamiento es$\alpha$ = 82$\mathrm{{}^\circ}$, determinar la presión atmosférica mínima ejercida sobre el cohete durante su vuelo. ¿El cohete explotará en el aire?
d. Encuentra el ángulo de lanzamiento más grande$\alpha$ para que el cohete no explote.

Contestar

1. $c = \sqrt{89}$,$A = 57.9946^{\circ}$,$B = 32.0054^{\circ}$

3. $b = \sqrt{176}$,$A = 27.8181^{\circ}$,$B = 62.1819^{\circ}$

5. $y(x) = 6 \sin (\dfrac{\pi}{2}(x - 1)) + 4$

7. $D(t) = 50 - 13 \cos(\dfrac{\pi}{12}(t - 5))$

9. a.$P(t) = 129 - 25 \cos(\dfrac{\pi}{6} t)$
b.$P(t) = 129 - 25 \cos(\dfrac{\pi}{6} (t - 3))$

11. 75 grados

13. 8

15. 2.80869431742

17. 5.035 meses

\(x\)	0	1	2	3	4	5	6
\(y\)	-2	4	10	4	-2	4	10

\(x\)	0	1	2	3	4	5	6
\(y\)	1	-3	-7	-3	1	-3	-7