8.6.1: Ecuaciones Paramétricas (Ejercicio)

ejercicios de la sección 8.6

Haga coincidir cada conjunto de ecuaciones con una de las gráficas a continuación.

1. \(\begin{cases} x(t) = t \\ y(t) = t^2 - 1 \end{cases}\)

2. \(\begin{cases} x(t) = t - 1 \\ y(t) = t^2 \end{cases}\)

3. \(\begin{cases} x(t) = 4\sin(t) \\ y(t) = 2\cos(t) \end{cases}\)

4. \(\begin{cases} x(t) = 2\sin(t) \\ y(t) = 4\cos(t) \end{cases}\)

5. \(\begin{cases} x(t) = 2 + t \\ y(t) = 3 - 2t \end{cases}\)

6. \(\begin{cases} x(t) = -2 - t \\ y(t) = 3 + t \end{cases}\)

De cada par de gráficas en los\(t-y\) planos\(t-x\) y mostrados, esboce una gráfica en el\(x-y\) plano.

7. 8.

De cada gráfica en el\(x-y\) plano mostrado, esboce una gráfica de las funciones de parámetros en los\(t-y\) planos\(t-x\) y.

9. 10.

Esbozar las ecuaciones paramétricas para\(-2 \le t \le 2\).

11. \(\begin{cases} x(t) = 1 + 2t \\ y(t) = t^2 \end{cases}\)

12. \(\begin{cases} x(t) = 2t - 2 \\ y(t) = t^3 \end{cases}\)

Eliminar el parámetro\(t\) para reescribir la ecuación paramétrica como una ecuación cartesiana

13. \(\begin{cases} x(t) = 5 - t \\ y(t) = 8 - 2t \end{cases}\)

14. \(\begin{cases} x(t) = 1 + 2t \\ y(t) = 10 - t \end{cases}\)

15. \(\begin{cases} x(t) = 2t + 1 \\ y(t) = 3\sqrt{t} \end{cases}\)

16. \(\begin{cases} x(t) = 3t - 1 \\ y(t) = 2t^2 \end{cases}\)

17. \(\begin{cases} x(t) = 2e^t \\ y(t) = 1 - 5t \end{cases}\)

18. \(\begin{cases} x(t) = 4\text{log} (t) \\ y(t) = 3 + 2t \end{cases}\)

19. \(\begin{cases} x(t) = t^3 - t \\ y(t) = 2t \end{cases}\)

20. \(\begin{cases} x(t) = t - t^4 \\ y(t) = t + 2 \end{cases}\)

21. \(\begin{cases} x(t) = e^{2t} \\ y(t) = e^{6t} \end{cases}\)

22. \(\begin{cases} x(t) = t^5 \\ y(t) = t^{10} \end{cases}\)

23. \(\begin{cases} x(t) = 4\cos(t) \\ y(t) = 5\sin(t) \end{cases}\)

24. \(\begin{cases} x(t) = 3\sin(t) \\ y(t) = 6\cos(t) \end{cases}\)

Parametrizar (escribir una ecuación paramétrica para) cada ecuación cartesiana

25. \(y(x) = 3x^2 + 3\)

26. \(y(x) = 2\sin(x) + 1\)

27. \(x(y) = 3 \text{log} (y) + y\)

28. \(x(y) = \sqrt{y} + 2y\)

29. \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1\)

30. \(\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{36} = 1\)

Parametrizar las gráficas mostradas.

31. 32.

33. 34.

35. Parameterizar la línea de (−1,5) a (2,3) para que la línea esté en (−1,5) en\(t = 0\), y en (2,3) en\(t = 1\).

36. Parameteriza la línea de (4,1) a (6, −2) para que la línea esté en (4,1) en\(t = 0\), y en (6, −2) en\(t = 1\).

Las gráficas a continuación son creadas por ecuaciones paramétricas de la forma\(\left\{\begin{array}{c}{x(t)=a\cos (bt)}\\{y(t)=c\sin (dt)}\end{array}\right.\). Encuentra los valores de\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\) para lograr cada gráfica.

37. 38.

39. 40.

41. Un objeto es lanzado al aire con velocidad vertical 20 pies/s y velocidad horizontal 15 pies/s. La altura del objeto puede ser descrita por la ecuación\(y (t) = -16t^2 + 20t\), mientras que el objeto se mueve horizontalmente con velocidad constante 15 pies/s. Escribe ecuaciones paramétricas para la posición del objeto, luego elimina el tiempo para escribir altura en función de la posición horizontal.

42. Un skater que cabalga sobre una superficie nivelada a una velocidad constante de 9 pies/s lanza una pelota al aire, cuya altura puede ser descrita por la ecuación\(y (t) = -16t^2 + 10t + 5\). Escribe ecuaciones paramétricas para la posición del balón, luego elimina el tiempo para escribir la altura en función de la posición horizontal.

43. Un paseo de carnaval tiene un gran brazo giratorio con un diámetro de 40 pies centrado a 35 pies del suelo. En cada extremo del brazo grande hay dos brazos giratorios más pequeños con un diámetro de 16 pies cada uno. El brazo más grande gira una vez cada 5 segundos, mientras que los brazos más pequeños giran una vez cada 2 segundos. Si abordas el viaje cuando el punto\(P\) está más cerca del suelo, encuentra ecuaciones paramétricas para tu posición a lo largo del tiempo.

44. Un hipocicloide es una forma generada al rastrear un punto fijo en un círculo pequeño a medida que rueda alrededor del interior de un círculo más grande. Si el círculo más pequeño tiene radio 1 y el círculo grande tiene radio 6, encuentre ecuaciones paramétricas para la posición del punto a\(P\) medida que la rueda más pequeña rueda en la dirección indicada.

Contestar

1. C

3. E

5. F

7.

9. x (t) y (t)

11.

13. \(y = -2 + 2x\)

15. \(y = 3\sqrt{\dfrac{x - 1}{2}}\)

17. \(y = x^3\)

19. \(x = (\dfrac{y}{2})^3 - \dfrac{y}{2}\)

21. \(y = x^3\)

23. \(\dfrac{x}{4})^2 + (\dfrac{y}{5})^2 = 1\)

25. \(\begin{cases} x(t) = t \\ y(t) = 3t^2 + 3 \end{cases}\)

27. \(\begin{cases} x(t) = 3\log(t) + t \\ y(t) = t \end{cases}\)

29. \(\begin{cases} x(t) = 2\cos(t) \\ y(t) = 3\sin(t) \end{cases}\)

31. \(\begin{cases} x(t) = t^3 \\ y(t) = 3t^2 + 3 \end{cases}\)

33. \(\begin{cases} x(t) = t - 1\\ y(t) = -t^2 \end{cases}\)

35. \(\begin{cases} x(t) = -1 + 3t \\ y(t) = 5 - 2t \end{cases}\)

37. \(\begin{cases} x(t) = 4\cos(3t) \\ y(t) = 6\sin(t) \end{cases}\)

39. \(\begin{cases} x(t) = 4\cos(2t) \\ y(t) = 3\sin(3t) \end{cases}\)

41. \(y(x) = -16 (\dfrac{x}{15})^2 + 20(\dfrac{x}{15})\)

43. \(\begin{cases} x(t) = 20\sin(\dfrac{2\pi}{5} t) + 8\sin(\pi t) \\ y(t) = 35 - 20 \cos(\dfrac{2\pi}{5}t) - 8\cos(\pi t) \end{cases}\)