1.1: Ángulos de medición

Medición de ángulos en grados

Las dos unidades más comunes para medir ángulos son grados y radianes. Los grados se basan en la antigua asignación mesopotamiana de $360^ {\ circ} $ a un círculo completo. Esto tiene su origen en la división del horizonte del cielo nocturno ya que la tierra tarda 365 días en viajar alrededor del sol. Debido a que los grados fueron desarrollados originalmente por los mesopotámicos, a menudo también se rompen en 60 unidades medidas de minutos y segundos. Sesenta segundos hacen un minuto y sesenta minutos hacen un grado.

60 segundos\(=1\) minuto o\(60^{\prime \prime}=1^{\prime}\)
60 minutos\(=1\) grado o\(60^{\prime}=1^{2}\)

Los ángulos medidos en grados también se pueden expresar usando porciones decimales de un grado, por ejemplo:

\(72.5^{\circ}=72^{\circ} 30^{\prime}\)

Conversión de decimal a DMS

Convertir entre grados expresados con decimales y el formato grados, minutos, segundos (DMS) es relativamente simple. Si estás convirtiendo de grados expresados con decimales a DMS, simplemente toma la porción del ángulo detrás del punto decimal y multiplica por\(60 .\) En nuestro ejemplo anterior, tomaríamos el .5 de\(72.5^{\circ}\) y multiplicaríamos esto por\(60: 0.5^{*} 60=30 .\) Entonces, el ángulo en unidades DMS sería\(72^{\circ} 30^{\prime}\)

Ejemplos

Convertir\(21.85^{\circ}\) a unidades DMS

\(0.85 * 60=51\)

\(\mathrm{So}, 21.85^{\circ}=21^{\circ} 51^{\prime}\)

Convertir unidades\(143.27^{\text {to }}\) DMS

\(0.27 * 60=16.2\)

Entonces,\(143.27^{\circ}=143^{\circ} 16.2^{\prime}\)
para calcular el número de segundos necesarios para expresar este ángulo en unidades DMS, tomamos la porción decimal de los minutos y multiplicamos por 60:
\(0.2 * 60=12\)
Entonces,\(143.27^{\circ}=143^{\circ} 16.2^{\prime}=143^{\circ} 16^{\prime} 12^{\prime \prime}\)

En el ejemplo anterior terminamos con un número entero de segundos. Si no obtienes un número entero para los segundos entonces puedes dejar los segundos con una porción decimal. Por ejemplo, si desea convertir\(22.847^{\circ}\) a unidades DMS:

\(22.847^{\circ}=22^{\circ} 50.82^{\prime}=22^{\circ} 50^{\prime} 49.2^{\prime \prime}\)

Conversión de DMS a decimal

Para convertir de unidades DMS a decimales, simplemente tome la porción de segundos y divídala por 60 para convertirla en decimal:

\(129^{\circ} 19^{\prime} 30^{\prime \prime}=129^{\circ} 19.5^{\prime}\)

Luego toma la nueva porción de minutos y divídala por 60

\(\frac{19.5}{60}=0.325\)

Esta es la parte decimal del ángulo

\(129^{\circ} 19^{\prime} 30^{\prime \prime}=129^{\circ} 19.5^{\prime}=129.325^{\circ}\)

Si terminas repitiendo decimales en este proceso eso es fino solo indica la porción repetida con una barra.

Ejemplos
Convertir\(42^{\circ} .27^{\prime} 36^{\prime \prime}\) a grados decimales
\(\frac{36}{60}=0.6\)
\(42^{\circ} \quad 27^{\prime} 36^{\prime \prime}=42^{\circ} \quad 27.6^{\prime}\)
\(\frac{27.6}{60}=0.46\)
\(42^{\circ} \quad 27.6^{\prime}=42.46^{\circ}\)
Convertir\(17^{\circ} 40^{\prime} 18^{\prime \prime}\) a grados decimales
\(\frac{18}{60}=0.3\)
\(17^{\circ} 40^{\prime} 18^{\prime \prime}=17^{\circ} 40.3^{\prime}\)
\(\frac{40.3}{60}=0.671 \overline{6}\)
\(17^{\circ} 40^{\prime} 18^{\prime \prime}=17^{\circ} 40.3^{\prime}=17.671 \overline{6}^{\circ}\)

Medición de ángulos en radianes

El otro método más utilizado para medir ángulos es la medida de radianes. La medida del radián se basa en el ángulo central de un círculo. Un ángulo central dado trazará un arco de una longitud particular en el círculo. La relación entre la longitud del arco y el radio del círculo es la medida del ángulo en radianes. El beneficio de la medida de radianes es que se basa en una relación de distancias mientras que la medida de grado no lo es. Esto permite utilizar radianes en el cálculo en situaciones en las que la medida de grado sería inapropiada.

La longitud del arco intersectado por el ángulo central es la porción de la circunferencia barrida por el ángulo a lo largo del borde del círculo. La circunferencia del círculo sería\(2 \pi r,\) así que la longitud del arco sería\(\frac{\theta}{360^{\circ}} * 2 \pi r .\) La relación de esta longitud de arco al radio es\(\frac{\frac{\theta}{1000}+2 \pi r}{r}\) o

\[\frac{2 \pi}{360^{\circ}} * \theta\]

o en forma reducida

\[\frac{\pi}{180^{\circ}} * \theta\]

Esto supone que el ángulo se ha expresado en grados para empezar. Si un ángulo se expresa en medida de radianes, entonces para convertirlo en grados, simplemente multiplique por\(\frac{180^{\circ}}{\pi}\)

Ejemplos - Grados a Radianes
Convertir\(60^{\circ}\) en radianes
\(\frac{\pi}{180^{\circ}} * 60^{\circ}=\frac{\pi}{3}\)
Convertir\(142^{\circ}\) en radianes
\(\frac{\pi}{180^{\circ}} * 142^{\circ}=\frac{71 \pi}{90}\) o\(0.7 \overline{8} \pi\)
Ejemplos - Radianes a Grados
Convertir\(\frac{\pi}{10}\) a grados
\(\frac{180^{\circ}}{\pi} * \frac{\pi}{10}=18^{\circ}\)
Convertir\(\frac{\pi}{2}\) a grados
\(\frac{180^{\circ}}{\pi} * \frac{\pi}{2}=90^{\circ}\)
Otra forma de convertir radianes en grados es simplemente reemplazar el\(\pi\) con\(180^{\circ}:\)
\(\frac{\pi}{10}=\frac{180^{\circ}}{10}=18^{\circ}\)
\(\frac{\pi}{2}=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}\)

Ejercicios 1.1 Convertir cada medida de ángulo a grados decimales.
\(3.91^{\circ} 50^{\prime}\)
1. \(27 \times 40\)
4\(34 \%\)
\ begin {tabular} {llllll}
7. &\(17^{\circ}\) &\(25^{\prime}\) &\(5 .\) &\(274^{\circ}\) &\(18^{\prime}\) &\(6 .\) &\(165^{\circ}\) & &\(48^{\prime}\)\
\ hline
\ end {tabular}
\(10 . \quad 141^{\circ} 6^{\prime} 9^{\prime \prime}\)
11. \(\quad 211^{\circ} 46^{\prime} 48^{\prime \prime}\)
\(12 . \quad 19^{\circ} 12^{\prime} 18^{\prime \prime}\)
Convierta cada medida de ángulo a notación DMS. 13. \(31.425^{\circ}\)
\(14 . \quad 159.84^{\circ}\)
\(15 . \quad 6.78^{\circ}\)
\(\begin{array}{ll}16 . & 24.56^{\circ} \\ 19 . & 18.9^{\circ}\end{array}\)
\(17 . \quad 110.25^{\circ}\)
\(18 . \quad 64.16^{\circ}\)
\(\begin{array}{ll}19 . & 18.9^{\circ} \\ 22 . & 55.17^{\circ}\end{array}\)
\(20 . \quad 85.14^{\circ}\)
21. \(220.43^{\circ}\)
\(23.70 .214^{\circ}\)
\(24 . \quad 116.32^{\circ}\)
Convierte cada medida de ángulo de grados a radianes.
\(25 . \quad 30^{\circ}\)
\(26 . \quad 120^{\circ}\)
\(27 . \quad 45^{\circ}\)
\(28 . \quad 225^{\circ}\)
\(29 . \quad 60^{\circ}\)
\(30 . \quad 150^{\circ}\)
\(31.90^{\circ}\)
\(32 . \quad 270^{\circ}\)
\(33 . \quad 15^{\circ}\)
\(34.36^{\circ}\)
\(35 . \quad 12^{\circ}\)
\(36 . \quad 104^{\circ}\)

Convierte cada medida de ángulo de radianes a grados.
37
\(38 . \quad \frac{\pi}{5}\)
\(39 . \quad \frac{\pi}{3}\)
\(40 . \quad \frac{\pi}{6}\)
\(4^{7}\)
\(42 . \quad \frac{7 \pi}{3}\)
\(43 . \quad \frac{5 \pi}{2}\)
\(44 . \quad \frac{7 \pi}{4}\)
\(45 . \quad \frac{5 \pi}{6}\)
\(46 . \quad \frac{2 \pi}{3}\)
\(47 . \quad \pi\)
\(48 . \quad \frac{7 \pi}{2}\)