1.2: Las relaciones trigonométricas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Hay seis relaciones trigonométricas comunes que relacionan los lados de un triángulo rectángulo con los ángulos dentro del triángulo. Las tres relaciones estándar son el seno, el coseno y la tangente. Estos suelen abreviarse pecado, cos y bronceado. Los otros tres (cosecante, secante y cotangente) son los recíprocos del seno, coseno y tangente y a menudo se abrevian csc, sec y cot.

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Dado un ángulo situado en un triángulo rectángulo, la función sinusoidal se define como la relación del lado opuesto al ángulo a la hipotenusa, el coseno se define como la relación del lado adyacente al ángulo a la hipotenusa y la tangente se define como la relación del lado opuesto al ángulo al lado adyacente al ángulo.
\ [ \ begin {aligned}
\ sin\ theta &=\ frac {o p p} {h y p}\\
\ cos\ theta &=\ frac {a d j} {h y p}\\
\ tan\ theta &=\ frac {o p p} {a d j}
\ end {alineado}
\] Un dispositivo monumónico común para ayudar a recordar estos relaciones es
-Sohcahtoa-que identifica el pecado como Opp sobre Hyp Cos como Adj sobre Hyp y el Tan como Opp sobre Adj.

Un ángulo agudo colocado en la otra posición de un triángulo rectángulo tendría diferentes lados oppositos y adyacentes aunque la hipotenusa permanecería igual.

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Ejemplos: Ratios trigonométricos
Encontrar$\sin \theta, \cos \theta$ y$\tan \theta$ para el ángulo$\theta$

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dado Para encontrar el pecado y cos del ángulo$\theta$, primero debemos encontrar la hipotenusa usando el Teorema de Pitágoras $\left(a^{2}+b^{2}=c^{2}\right)$

ya que conocemos las patas del triángulo, podemos sustituir estos valores por$a$ y$b$ en el Teorema de Pitágoras:
\ [ \ begin {array} {c}
3^ {2} +5^ {2} =c^ {2}\\
9+25=c^ {2}\\
34=c^ {2}\
\ sqrt {34} =c
\ end {array }
\] Ahora que conocemos la hipotenusa$(\sqrt{34}),$ podemos determinar el pecado, cos y bronceado para el ángulo$\theta$
\ [ \ begin {alineado}
\ sin\ theta &=\ frac {3} {\ sqrt {34}}\\
\ cos\ theta &=\ frac {5} {\ sqrt {34}}\\
\ tan\ theta &=\ frac {3} {5}
\ end {alineado}
\] Buscar$\sin \theta, \cos \theta$ y$\tan \theta$ para el ángulo dado$\theta$

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Nuevamente, para encontrar el pecado, cos y tan del ángulo$\theta,$ debemos encontrar el lado faltante del triángulo usando el Teoreoreas de Pitágoras. ya que, en este caso, conocemos la hipotenusa y una de las piernas, se debe sustituir el valor de la hipotenusa$c$ y la longitud de la pierna estamos dado puede ser sustituido por cualquiera
$a$ o$b$

\ [ \ begin {array} {c}
4^ {2} +b^ {2} =9^ {2}\\
16+b^ {2} =81\\
b^ {2} =65\\
b=\ sqrt {65}
\ end {array}
\] Ahora que conocemos la longitud de la otra pata del triángulo$(\sqrt{65}),$ podemos determinar el pecado, cos y para el bronceado angle$\theta$
\ [ \ begin {aligned}
\ sin\ theta &=\ frac {\ sqrt {65}} {9}\
\\ cos\ theta &=\ frac {4} {9}\
\\ tan\ theta &=\ frac {\ sqrt {65}} {4}
\ end {alineado}
\] Además de los ejemplos anteriores, si estamos dado el valor de una de las relaciones trigonométricas, podemos encontrar el valor de las otras dos.
Ejemplo
Dado que$\cos \theta=\frac{1}{3},$ encontrar$\sin \theta$ y$\tan \theta$
Dada la información sobre el coseno del ángulo$\theta,$ podemos crear un triángulo que nos permitirá encontrar$\sin \theta$ y$\tan \theta$

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Usando el Teorema de Pitágoras, podemos encontrar el lado faltante del triángulo:
\ [ \ begin {array} {c}
a^ {2} +1^ {2} =3^ {2}\\
a^ {2} +1=9
\ end {array}
\] $a^{2}=8$
$a=\sqrt{8}=2 \sqrt{2}$
Entonces$\sin \theta=\frac{\sqrt{8}}{3}$ y$\tan \theta=\frac{\sqrt{8}}{1}=\sqrt{8}$
Podrías decirte a ti mismo: “Espera un minuto, solo porque el coseno del ángulo$\theta$ es$\frac{1}{3},$ eso no significa necesariamente que los lados del triángulo sean 1 y$3,$ podrían ser 2 y$6,$ o 3 y 9 o cualquier valor$n$ y$3 n . "$

Esto es cierto, y si los lados se expresan como$n$ y$3 n,$ entonces el lado faltante sería$n \sqrt{8},$ para que cada vez que encontremos una relación trigonométrica, el$n^{\prime}$ s se cancelará, así que simplemente los dejamos afuera para empezar y llamar a los lados 1 y 3
Ejemplo
Dado ese$\tan \theta=\frac{\sqrt{5}}{7},$ hallazgo$\sin \theta$ y$\cos \theta$
Primero tomaremos la información sobre la tangente y usaremos esta para dibujar un triángulo.

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Luego usa el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado faltante del triángulo:
\ [\ begin {array} {c}
\ sqrt {5} ^ {2} +7^ {2} =c^ {2}\\
5+49=c^ {2}\\
54=c^ {2}
\\ sqrt {54} =3\ sqrt {6} =c
\ end {array}
\] Entonces:
\ [ \ sin\ theta=\ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {54}} =\ sqrt {\ frac {5} {54}}
\] \ [ \ cos\ theta=\ frac {7} {\ sqrt {54}} =\ frac {7} {3\ sqrt {6}}
\]

Ejercicios 1.2
Encontrar$\sin \theta, \cos \theta$ y$\tan \theta$ para los triángulos dados.

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Utilice la información proporcionada para encontrar las otras dos relaciones trigonométricas.
11. $\quad \tan \theta=\frac{1}{2}$
12. $\quad \sin \theta=\frac{3}{4}$
13. $\quad \cos \theta=\frac{3}{\sqrt{20}}$
14. $\quad \tan \theta=2$
15. $\sin \theta=\frac{5}{\sqrt{40}}$
16. $\sin \theta=\frac{7}{10}$
17. $\cos \theta=\frac{9}{40}$
18. $\quad \tan \theta=\sqrt{3}$
19. $\cos \theta=\frac{1}{2}$
20. $\cos \theta=\frac{3}{7}$
21. $\sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{7}$
22. $\quad \tan \theta=1.5$