1.3: Desigualdades e intervalos

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Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Hay una relación de orden en el conjunto de números reales:

$4< 9$lee como$4$ es menor que$9$,

$-3\leq 2$se lee como$-3$ es menor o igual a$2$,

$\dfrac{7}{6}> 1$lee como$\dfrac{7}{6}$ es mayor que$1$,

$2\geq -3$lee como$2$ es mayor o igual a$-3$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Tenemos$2<3$, pero$-2>-3$, que se puede ver en la recta numérica de arriba.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Tenemos$5\leq 5$ y$5\geq 5$. Sin embargo lo mismo no es cierto cuando se usa el símbolo$<$. Escribimos esto como$5\nless 5$.

El conjunto de todos los números reales$x$ mayores o iguales a algún número$a$ y/o menores o iguales a algún número$b$ se denota de diferentes maneras mediante el siguiente gráfico:

Notación de desigualdad	Línea numérica	Notación de intervalos
$a\leq x\leq b$	$clipboard_e2d5da3bc9abac4dc72586b1b4f4c88c3.png$	$[a,b]$
$a< x< b$	$clipboard_ef776bcd0d27aaed4806be926f2422ac4.png$	$(a,b)$
$a\leq x< b$	$clipboard_e2c4d21d9916a6a4391b0f6868ddd3b7e.png$	$[a,b)$
$a< x\leq b$	$clipboard_ee3b9bf7eecca4e44f461e15f70cca243.png$	$(a,b]$
$a\leq x$	$clipboard_e80bee8b845cb2f63905060f6cffa46fb.png$	$[a,\infty)$
$a< x$	$clipboard_eb054a3d76ed7af34b171bbc59b31be08.png$	$(a,\infty)$
$x\leq b$	$clipboard_eca76fe108f02ee849453ec2f3c448457.png$	$(-\infty,b]$
$x< b$	$clipboard_e5b981ec9777b5abd2eb12c4c85c6f91b.png$	$(-\infty,b)$

Formalmente, definimos el intervalo$[a,b]$ para que sea el conjunto de todos los números reales de$x$ tal manera que$a\leq x \leq b$:

\[[a, b]=\{x \mid a \leq x \leq b\} \nonumber \]

Existen definiciones similares para los otros intervalos mostrados en la tabla anterior.

Nota

Asegúrese de escribir$a<b$ primero el número más pequeño al escribir un intervalo$[a,b]$. Por ejemplo, el intervalo\ ([5,3] =\ left\ {\ begin {array} {l|l}
x\ mid & 5\ leq x\ leq 3\}
\ end {array}\ right.\) sería el conjunto vacío!

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Grafique la desigualdad$\pi<x\leq 5$ en la recta numérica y escríbela en notación de intervalos.

Solución

En la línea numérica: $clipboard_e2a14b770f9c970cba8cc243bb4019514.png$

Notación de intervalos:$(\pi,5]$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Escribe el siguiente intervalo como una desigualdad y en notación de intervalo: $clipboard_e6ee687f45a795f577c96eb031c6315cd.png$

Solución

Notación de desigualdad:$-3\leq x$

Notación de intervalos:$[-3,\infty)$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Escribe el siguiente intervalo como una desigualdad y en notación de intervalo: $clipboard_edc567b9df61ba6120d465eea28e0ea59.png$

Solución

Notación de desigualdad: &$x<2$

Notación de intervalos: &$(-\infty,2)$

Nota

En algunos textos también se utilizan corchetes redondos y corchetes en la recta numérica para representar un intervalo. Por ejemplo lo siguiente muestra el intervalo$[2,5)$.

$clipboard_e0074d9f841bf967f04e196f2f6cba271.png$

Notación de desigualdad	Línea numérica	Notación de intervalos
\(a\leq x\leq b\)	$clipboard_e2d5da3bc9abac4dc72586b1b4f4c88c3.png$	\([a,b]\)
\(a< x< b\)	$clipboard_ef776bcd0d27aaed4806be926f2422ac4.png$	\((a,b)\)
\(a\leq x< b\)	$clipboard_e2c4d21d9916a6a4391b0f6868ddd3b7e.png$	\([a,b)\)
\(a< x\leq b\)	$clipboard_ee3b9bf7eecca4e44f461e15f70cca243.png$	\((a,b]\)
\(a\leq x\)	$clipboard_e80bee8b845cb2f63905060f6cffa46fb.png$	\([a,\infty)\)
\(a< x\)	$clipboard_eb054a3d76ed7af34b171bbc59b31be08.png$	\((a,\infty)\)
\(x\leq b\)	$clipboard_eca76fe108f02ee849453ec2f3c448457.png$	\((-\infty,b]\)
\(x< b\)	$clipboard_e5b981ec9777b5abd2eb12c4c85c6f91b.png$	\((-\infty,b)\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Nota

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Nota