6.1: Operaciones sobre funciones dadas por fórmulas

Podemos combinar funciones de muchas maneras diferentes. Primero, tenga en cuenta que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir funciones.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(f(x)=x^2+5x\) y\(g(x)=7x-3\). Encuentra las siguientes funciones, e indica su dominio. \[(f+g)(x), (f-g)(x), (f\cdot g)(x), \text{ and } \left(\dfrac f g\right)(x) \nonumber \]

Solución

Las funciones se calculan sumando las funciones (o restando, multiplicando, dividiendo).

\[\begin{aligned} (f+g)(x) &= (x^2+5x) +(7x -3) = x^2+12x -3 \\ (f-g)(x) &= (x^2+5x) -(7x -3) \\ &= x^2+5x-7x +3=x^2-2x+3 \\ (f\cdot g)(x) &= (x^2+5x) \cdot (7x -3)\\ &= 7x^3-3x^2+35x^2 -15x=7x^3+32x^2-15x \\ \left(\dfrac f g\right)(x) &= \dfrac{x^2+5x}{7x-3}\end{aligned}\]

El cálculo de estas funciones fue sencillo. Declarar su dominio también es sencillo, salvo el dominio del cociente\(\dfrac f g\). Tenga en cuenta\(f+g\), eso\(f-g\),, y\(f\cdot g\) son todos polinomios. Por la convención estándar (Ver definición de la Convención) todas estas funciones tienen el dominio\(\mathbb{R}\), es decir su dominio es todo números reales.

Ahora, para el dominio de\(\dfrac f g\), tenemos que ser un poco más cuidadosos, ya que el denominador de una fracción no puede ser cero. El denominador de\(\dfrac f g (x)=\dfrac{x^2+5x}{7x-3}\) es cero, exactamente cuando

\[7x-3=0 \quad\implies \quad 7x=3 \quad\implies\quad x=\dfrac 3 7 \nonumber\]

Tenemos que excluir\(\dfrac 3 7\) del dominio. El dominio del cociente\(\dfrac f g\) es por lo tanto\(\mathbb{R}-\left \{\dfrac 3 7 \right \}\).

Podemos exponer formalmente la observación que hicimos en el ejemplo anterior.

Observación

Dejar\(f\) ser una función con dominio\(D_f\), y\(g\) ser una función con dominio\(D_g\). Un valor se\(x\) puede utilizar como una entrada de\(f+g\),\(f-g\), y\(f\cdot g\) exactamente cuando\(x\) es una entrada de ambos\(f\) y\(g\). Por lo tanto, los dominios de las funciones combinadas son la intersección de los dominios\(D_f\) y\(D_g\):

\[\begin{aligned} D_{f+g}&= D_f\cap D_g =\{x\quad |\quad x\in D_f\text{ and } x\in D_g\} \\ D_{f-g}&= D_f\cap D_g \\ D_{f\cdot g}&= D_f\cap D_g\end{aligned}\]

Para el cociente\(\dfrac f g\), también hay que asegurarnos de que el denominador no\(g(x)\) sea cero.

\[D_ {\frac f g}= \{ x \,\, | \,\, x\in D_f, x\in D_g, \text{ and }g(x)\neq 0 \} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Vamos\(f(x)=\sqrt{x+2}\), y vamos\(g(x)=x^2-5x+4\). Encontrar las funciones\(\dfrac f g\) y\(\dfrac g f\) y declarar sus dominios.

Solución

En primer lugar, el dominio de\(f\) consiste en aquellos números\(x\) para los que se define la raíz cuadrada. En otras palabras, necesitamos\(x+2\geq 0\), es decir\(x\geq -2\), para que el dominio de\(f\) sea\(D_f=[-2,\infty)\). Por otro lado, el dominio de\(g\) es todo números reales,\(D_g=\mathbb{R}\). Ahora, tenemos los cocientes

\[\left(\dfrac f g\right) (x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x^2-5x+4},\quad\quad \text{ and } \quad\quad \left(\dfrac g f\right) (x)=\dfrac{x^2-5x+4}{\sqrt{x+2}} \nonumber \]

Para el dominio de\(\dfrac f g\), necesitamos excluir aquellos números\(x\) para los cuales\(x^2-5x+4=0\). Por lo tanto,

\[\begin{aligned} x^2-5x+4=0 & \implies & (x-1)(x-4)=0 \\ &\implies & x=1, \text{ or }x=4\end{aligned}\]

Obtenemos el dominio para\(\dfrac f g\) como el dominio combinado para\(f\) y\(g\), y excluimos\(1\) y\(4\). Por lo tanto,\(D_{\frac f g}=[-2,\infty)-\{1,4\}\).

Ahora, para\(\dfrac g f(x)=\dfrac{x^2-5x+4}{\sqrt{x+2}}\), el denominador se convierte en cero exactamente cuando

\[x+2=0, \quad \implies \quad x=-2 \nonumber \]

Por lo tanto, necesitamos\(-2\) excluir del dominio, es decir

\[D_{\frac g f}=[-2,\infty)-\{-2\}=(-2,\infty) \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Para formar el cociente\(\dfrac{f}{g}(x)\) donde\(f(x)=x^2-1\) y\(g(x)=x+1\) escribimos\(\dfrac{f}{g}(x)=\dfrac{x^2-1}{x+1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1}=x-1\). Uno podría tener la tentación de decir que el dominio es todo números reales. ¡Pero no lo es! El dominio es todo números reales excepto\(-1\), y el último paso de la simplificación realizada anteriormente solo es válido para\(x\not=-1\).

Otra operación que podemos realizar es la composición de dos funciones.

Definición: Composición de una función

Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones, y asumir que\(g(x)\) está en el dominio de\(f\). A continuación, definir la composición de\(f\) y\(g\) \(x\)a ser

\[(f\circ g)(x):= f(g(x)) \nonumber \]

Podemos tomar cualquiera\(x\) como entrada de la\(f\circ g\) cual es una entrada de\(g\) y para la cual\(g(x)\) es una entrada de\(f\). Por lo tanto, si\(D_f\) es el dominio de\(f\) y\(D_g\) es el dominio de\(g\), el dominio de\(D_{f\circ g}\) es

\[D_{f\circ g}=\{\,\, x \,\, | \,\, x\in D_g, \,\, g(x)\in D_f\,\, \} \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(f(x)=2x^2+5x\) y\(g(x)=2-x\). Encuentra las siguientes composiciones:

1. \(f(g(3))\)
2. \(g(f(3))\)
3. \(f(f(1))\)
4. \(f(2\cdot g(5))\)
5. \(g(g(4)+5)\)

Solución

Evaluamos las expresiones, una a la vez, de la siguiente manera:

1. \(f(g(3)) = f(2-3) = f(-1) = 2\cdot (-1)^2+5\cdot(-1) = 2-5 = -3\)
2. \(g(f(3)) = g(2\cdot 3^2+5\cdot 3) = g(18+15) = g(33) = 2-33 = -31\)
3. \(f(f(1)) = f(2\cdot 1^2+5\cdot 1) = f(2+5)=f(7) = 2\cdot 7^2+5\cdot 7 = 98+35 = 133\)
4. \(f(2 \cdot g(5)) =f(2 \cdot(2-5))=f(2 \cdot(-3))=f(-6) =2 \cdot(-6)^{2}+5 \cdot(-6)=72-30=42\)
5. \(g(g(4)+5) = g((2-4)+5) = g((-2)+5) = g(3) = 2-3 = -1\)

También podemos calcular funciones compuestas para arbitrarias\(x\) en el dominio.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(f(x)=x^2+1\) y\(g(x)=x+3\). Encuentra las siguientes composiciones:

1. \((f\circ g)(x)\)
2. \((g\circ f)(x)\)
3. \((f\circ f)(x)\)
4. \((g\circ g)(x)\)

Solución

1. En esencia, hay dos formas de evaluar\((f\circ g)(x)=f(g(x))\). Podemos usar primero la fórmula explícita para\(f(x)\) y luego la para\(g(x)\), o viceversa. Evaluaremos\(f(g(x))\) sustituyendo\(g(x)\) en la fórmula\(f(x)\):\[\begin{aligned} (f\circ g)(x)&= f(g(x))=(g(x))^2+1 =(x+3)^2+1 \\ &= x^2+6x+9+1 = x^2+6x+10 \end{aligned} \nonumber \]

Del mismo modo, evaluamos las otras expresiones (b) - (d):

2. \((g\circ f)(x) = g(f(x)) = f(x)+3 = x^2+1+3 = x^2+4\)
3. \((f\circ f)(x) = f(f(x)) = (f(x))^2+1 = (x^2+1)^2+1 = x^4+2x^2+1+1=x^4+2x^2+2\)
4. \((g\circ g)(x) = (g(x)) = g(x)+3 = x+3+3=x+6\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Encontrar\((f\circ g)(x)\) y\((g\circ f)(x)\) para las siguientes funciones, y exponer sus dominios.

1. \(f(x)=\dfrac{3}{x+2}\), y\(g(x)=x^2-3x\)
2. \(f(x)=|3x-2|-6x+4\), y\(g(x)=5x+1\)
3. \(f(x)=\sqrt{\dfrac1 2 \cdot (x-4)}\), y\(g(x)=2 x^2+4\)

Solución

1. Componiendo\(f\circ g\), obtenemos

   \[(f\circ g)(x)=f(g(x))=\dfrac 3 {g(x)+2}=\dfrac 3 {x^2-3x+2} \nonumber \]

   El dominio es el conjunto de números\(x\) para los que el denominador es distinto de cero.

   \[\begin{aligned} x^2-3x+2=0 & \implies & (x-2)(x-1)=0 \\ & \implies & x=2 \text{ or } x=1\\ & \implies & D_{f\circ g}=\mathbb{R}-\{1,2\}.\end{aligned}\]

   Del mismo modo,

   \[\begin{aligned} (g\circ f)(x) &= g(f(x))=f(x)^2-3f(x) =\left( \dfrac 3 {x+2}\right)^2-3\dfrac 3 {x+2}\\ &= \dfrac 9 {(x+2)^2}-\dfrac 9 {x+2} = \dfrac{9-9(x+2)}{(x+2)^2}\\ &= \dfrac{9-9x-18}{(x+2)^2}=\dfrac{-9x-9}{(x+2)^2}=\dfrac{-9\cdot (x+1)}{(x+2)^2}\end{aligned}\]

   El dominio es todo números reales excepto\(x=-2\), es decir\(D_{g\circ f}=\mathbb{R}-\{-2\}\).

2. Calculamos las composiciones de la siguiente manera.

   \[\begin{aligned} (f\circ g)(x) &= f(g(x))= |3g(x)-2|-6g(x)+4 \\ &= |3(5x+1)-2|-6(5x+1)+4 = |15x+1|-30x-2,\\ (g\circ f)(x) &= g(f(x))= 5f(x)+1 =5\cdot (|3x-2|-6x+4)+1 \\ &= 5\cdot |3x-2|-30x+20+1= 5\cdot |3x-2|-30x+21 \end{aligned} \nonumber \]

   Dado que los dominios de\(f\) y\(g\) son todos números reales, también lo son los dominios para ambos\(f\circ g\) y\(g\circ f\).

3. Nuevamente calculamos las composiciones.

   \[\begin{aligned} (f\circ g)(x)&= f(g(x))=\sqrt{\dfrac 1 2 \cdot (g(x)-4)}=\sqrt{\dfrac 1 2 \cdot (2x^2+4-4)} \\ &= \sqrt{\dfrac 1 2 \cdot 2x^2}=\sqrt{x^2}=|x|\end{aligned} \nonumber \]

   El dominio de\(g\) es todo números reales, y las salidas\(g(x)=2x^2+4\) son todas\(\geq 4\), (ya que\(2x^2\geq 0\)). Por lo tanto,\(g(x)\) está en el dominio de\(f\), y tenemos un dominio combinado de\(f\circ g\) de\(D_{f\circ g}=\mathbb{R}\). Por otra parte,

   \[\begin{aligned} (g\circ f)(x)&= g(f(x))=2(f(x))^2+4=2\cdot \bigg(\sqrt{\dfrac 1 2 \cdot (x-4)}\,\,\bigg)^2+4\\ &= 2\cdot \bigg(\dfrac 1 2\cdot (x-4)\bigg)+4 =(x-4)+4=x\end{aligned} \nonumber \]

   El dominio de\(g\circ f\) consiste en todos los números\(x\) que están en el dominio de\(f\) y para los cuales\(f(x)\) está en el dominio de\(g\). Ahora bien, el dominio de\(f\) consiste en todos los números reales\(x\) que dan un argumento no negativo en la raíz cuadrada, es decir:\(\dfrac 1 2 (x-4)\geq 0\). Por lo tanto debemos tener\(x-4\geq 0\), para que\(x\geq 4\), y obtengamos el dominio\(D_f=[4,\infty)\). Desde el dominio\(D_g=\mathbb{R}\), la composición\(g\circ f\) tiene el mismo dominio que\(f\):

   \[D_{g\circ f}=D_f=[4,\infty) \nonumber \]

Observamos que a primera vista, podríamos haber esperado que\((g\circ f)=x\) tenga un dominio de todos los números reales. Sin embargo, la composición sólo\(g(f(x))\) puede tener aquellas entradas de las que también se permiten entradas de\(f\). Vemos que el dominio de una composición es a veces más pequeño que el dominio que utilizamos a través de la convención estándar (Ver definición de la Convención).