14.2: Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Podemos resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas aplicando logaritmos y exponenciales. Dado que las funciones exponenciales y logarítmicas son invertibles (son inversas entre sí), la aplicación de estas operaciones también se puede revertir. En definitiva, hemos observado que

Observación: Exponencial y Logarítmica

\[x=y \quad \Longrightarrow \quad b^{x}=b^{y}, \quad \text { and } \quad b^{x}=b^{y} \quad \Longrightarrow \quad x=y \nonumber \]

\[x=y \quad \Longrightarrow \quad \log _{b}(x)=\log _{b}(y), \quad \text { and } \quad \log _{b}(x)=\log _{b}(y) \quad \Longrightarrow \quad x=y \nonumber \]

Podemos usar las implicaciones anteriores siempre que tengamos una base común, o cuando podamos convertir los términos en una base común.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Resolver para\(x\).

1. \(2^{x+7}=32\)
2. \(10^{2x-8}=0.01\)
3. \(7^{2x-3}=7^{5x+4}\)
4. \(5^{3x+1}=25^{4x-7}\)
5. \(\ln(3x-5)=\ln(x-1)\)& f)
6. \(\log_2(x+5)=\log_2(x+3)+4\)
7. \(\log_6(x)+\log_6(x+4)=\log_6(5)\)
8. \(\log_3(x-2)+\log_3(x+6)=2\)

Solución

En estos ejemplos, siempre podemos escribir ambos lados de la ecuación como una expresión exponencial con la misma base.

1. \(2^{x+7}=32 \quad \Longrightarrow \quad 2^{x+7}=2^{5} \Longrightarrow \quad x+7=5 \Longrightarrow \quad x=-2\)
2. \(10^{2 x-8}=0.01 \Longrightarrow 10^{2 x-8}=10^{-2} \Longrightarrow \quad 2 x-8=-2 \Longrightarrow 2 x=6 \Longrightarrow \quad x=3\)

Aquí es útil recordar los poderes de\(10\), que también se utilizaron para resolver la ecuación anterior.

\[\boxed{ \begin{matrix} 10^3 &=&1,000 \\ 10^2&=&100 \\ 10^1&=&10 \\ 10^0&=&1 \\ 10^{-1}&=&0.1 \\ 10^{-2}&=&0.01 \\ 10^{-3}&=&0.001 \end{matrix} \quad\quad \text{In general } (n\geq1):\quad\left\{ \begin{matrix} 10^n=1\underbrace{00\cdots00}_{n\text{ zeros}} \\ \quad \\ 10^{-n}=\underbrace{0.0\cdots 00}_{n\text{ zeros}}1 \end{matrix}\right.} \nonumber \]

3. \(7^{2 x-3}=7^{5 x+4} \Longrightarrow 2 x-3=5 x+4 \stackrel{(-5 x+3)}{\Longrightarrow} \quad-3 x=7 \Longrightarrow \quad x=-\dfrac{7}{3} \)
4. \(5^{3 x+1}=25^{4 x-7} \Longrightarrow 5^{3 x+1}=5^{2 \cdot(4 x-7)} \Longrightarrow 3 x+1=2 \cdot(4 x-7) \Longrightarrow 3 x+1=8 x-14 \stackrel{(-8 x-1)}{\Longrightarrow} \quad-5 x=-15 \Longrightarrow x=3 \)

Por un razonamiento similar podemos resolver ecuaciones que involucran logaritmos siempre que las bases coincidan.

5. \(\ln (3 x-5)=\ln (x-1) \Longrightarrow 3 x-5=x-1 \stackrel{(-x+5)}{\Longrightarrow} \quad 2 x=4 \Longrightarrow x=2\)
6. Para la parte (f), tenemos que resolver\(\log_2(x+5)=\log_2(x+3)+4\). Para combinar el lado derecho, recordemos que se\(4\) puede escribir como un logaritmo,\(4=\log_2(2^4)=\log_2 16\). Con esta observación ya podemos resolver la ecuación para\(x\).

\ [\ begin {alineado}
\ log_2 (x+5) &=\ log_2 (x+3) +4\\
\ implica\ quad\ log_2 (x+5) &=\ log_2 (x+3) +\ log_2 (16)\\
\ implica\ quad\ log_2 (x+5) &=\ log_2 (16\ cdot (x+3))\
\ implica\ qquad\ quad\;\; x+5&=16 (x+3)\\
\ implica\ qquad\ quad \;\; x+5&=16x+48\\
\ quad\ stackrel {(-16x-5)}\ implica\ qquad\;\; -15x&=43\\
\ implica\ qquad\ qquad\;\; x&=-\ dfrac {43} {15}
\ end {alineado}\ nonumber\]

7. A continuación, en la parte (g), comenzamos combinando los logaritmos. \[\begin{aligned} \log_6(x)+\log_6(x+4)&=\log_6(5) \\ \implies \quad \log_6(x(x+4))&=\log_6(5) \\ \stackrel{\text{remove }\log_6}\implies \qquad x(x+4)&=5 \\ \implies \qquad x^2+4x-5&=0 \\ \implies \quad(x+5)(x-1)&=0 \\ \qquad\implies x=-5 \text{ or } x=1\end{aligned} \nonumber \]

Desde que la ecuación se convirtió en una ecuación cuadrática, terminamos con dos posibles soluciones\(x=-5\) y\(x=1\). Sin embargo, dado que\(x=-5\) daría un valor negativo dentro de un logaritmo en nuestra ecuación original\(\log_6(x)+\log_6(x+4)=\log_6(5)\), necesitamos excluir esta solución. La única solución es\(x=1\).

8. De igual manera podemos resolver la siguiente parte, usando eso\(2=\log_3(3^2)\):

\ [\ begin {alineado}
\ log _ {3} (x-2) +\ log _ {3} (x+6) &=2\\\ Longrightarrow\ log _ {3} ((x-2) (x+6)) &=\ log _ {3}\ izquierda (3^ {2}\ derecha)\
\ Longrightarrow (x-2) (x+6) &=3^ {2}\\
\ Fila larga derecha x^ {2} +4 x-12&=9\\
\ Fila larga derechax^ {2} +4 x-21&=0\\
\ LargoRightarrow (x+7) (x-3) &=0\
\\ LongRightarrow x=-7\ text {or} x=3
\ end {alineado}\ nonumber\]

Excluimos\(x=-7\), ya que obtendríamos un valor negativo dentro de un logaritmo, por lo que la solución es\(x=3\).

Cuando los dos lados de una ecuación no son exponenciales con una base común, podemos resolver la ecuación aplicando primero un logaritmo y luego resolviendo para\(x\). En efecto, recordemos de Observación en la sección 7.2 sobre funciones inversas, que desde\(f(x)=\log_b(x)\) y\(g(x)=b^x\) son funciones inversas, tenemos\(\log_b(b^x)=x\) y\(b^{\log_b(x)}=x\) siempre que las composiciones de los lados izquierdos tengan sentido. Es decir, la acción del logaritmo cancela la acción de la función exponencial, y viceversa. Entonces podemos pensar en aplicar un logaritmo (una exponenciación) en ambos lados de una ecuación para cancelar una exponenciación (un logaritmo) al igual que cuadrar ambos lados de una ecuación para cancelar una raíz cuadrada.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Resolver para\(x\).

1. \(3^{x+5}=8\)
2. \(13^{2x-4}=6\)
3. \(5^{x-7}=2^{x}\)
4. \(5.1^{x}=2.7^{2x+6}\)
5. \(17^{x-2}=3^{x+4}\)
6. \(7^{2x+3}=11^{3x-6}\)

Solución

Resolvemos estas ecuaciones aplicando un logaritmo (ambos\(\log\) o\(\ln\) funcionarán para resolver la ecuación), y luego usamos la identidad\(\log(a^x)=x\cdot \log(a)\).

1. \(3^{x+5}=8 \implies \ln 3^{x+5}=\ln 8 \implies (x+5)\cdot\ln 3=\ln 8 \implies x+5=\dfrac{\ln 8}{\ln 3}\implies x=\dfrac{\ln 8}{\ln 3}-5\approx -3.11\)
2. \(13^{2x-4}=6 \implies \ln 13^{2x-4}=\ln 6 \implies (2x-4)\cdot\ln 13=\ln 6 \implies 2x-4=\dfrac{\ln 6}{\ln 13} \implies 2x=\dfrac{\ln 6}{\ln 13}+4 \implies x=\dfrac{\frac{\ln 6}{\ln 13}+4}{2}=\dfrac{\ln 6}{2\cdot \ln 13}+2\approx 2.35\)
3. \(5^{x-7}=2^{x} \implies \ln 5^{x-7}=\ln 2^{x} \implies (x-7)\cdot\ln 5=x\cdot \ln 2 \)

En este punto, el cálculo procederá de manera diferente a los cálculos de las partes (a) y (b). Dado que\(x\) aparece en ambos lados de\((x-7)\cdot\ln 5=x\cdot \ln 2\), necesitamos separar términos que involucran\(x\) de términos sin\(x\). Es decir, tenemos que distribuir\(\ln 5\) por la izquierda y separar los términos. Tenemos

\[\begin{aligned} (x-7)\cdot\ln 5=x\cdot \ln 2 & \implies & x\cdot\ln 5-7\cdot \ln 5=x\cdot \ln 2 \\ (\text{add }+7\cdot \ln 5-x\cdot \ln 2) &\implies & x\cdot\ln 5-x\cdot \ln 2=7\cdot \ln 5\\ &\implies & x\cdot(\ln 5-\ln 2)=7\cdot \ln 5 \\ &\implies & x=\dfrac{7\cdot \ln 5 }{\ln 5-\ln 2}\approx 12.30\end{aligned} \nonumber \]

Necesitamos aplicar la misma estrategia de solución para las partes restantes (d) - (f) como hicimos en (c).

4. \[\begin{aligned} 5.1^{x}=2.7^{2x+6} & \implies & \ln 5.1^{x}=\ln 2.7^{2x+6} \\ & \implies & x\cdot \ln 5.1=(2x+6)\cdot \ln 2.7 \\ & \implies & x\cdot \ln 5.1=2x\cdot \ln 2.7+6\cdot \ln 2.7 \\ & \implies & x\cdot \ln 5.1-2x\cdot \ln 2.7=6\cdot \ln 2.7 \\ & \implies & x\cdot (\ln 5.1-2\cdot \ln 2.7) = 6 \cdot \ln 2.7 \\ & \implies & x = \frac{6 \cdot \ln 2.7} {\ln 5.1-2\cdot \ln 2.7}\approx -16.68\end{aligned} \nonumber\]

5. \[\begin{aligned} 17^{x-2}=3^{x+4} & \implies & \ln 17^{x-2}=\ln 3^{x+4} \\ & \implies & (x-2)\cdot \ln 17=(x+4)\cdot \ln 3 \\ & \implies & x\cdot \ln 17-2\cdot \ln 17=x\cdot \ln 3+4\cdot \ln 3 \\ & \implies & x\cdot \ln 17-x\cdot \ln 3=2\cdot \ln 17+4\cdot \ln 3 \\ & \implies & x\cdot (\ln 17- \ln 3) =2\cdot \ln 17+4\cdot \ln 3 \\ & \implies & x = \dfrac{2\cdot \ln 17+4\cdot \ln 3} {\ln 17- \ln 3}\approx 5.80\end{aligned} \nonumber \]

6. \[\begin{aligned} 7^{2x+3}=11^{3x-6} & \implies & \ln 7^{2x+3}=\ln 11^{3x-6} \\ & \implies & (2x+3)\cdot \ln 7=(3x-6)\cdot \ln 11 \\ & \implies & 2x\cdot \ln 7+3\cdot \ln 7=3x\cdot \ln 11-6\cdot \ln 11 \\ & \implies & 2x\cdot \ln 7-3x\cdot \ln 11=-3\cdot \ln 7-6\cdot \ln 11 \\ & \implies & x\cdot (2\cdot \ln 7-3\cdot \ln 11)=-3\cdot \ln 7-6\cdot \ln 11 \\ & \implies & x = \dfrac{-3\cdot \ln 7-6\cdot \ln 11} {2\cdot \ln 7-3\cdot \ln 11}\approx 6.13\end{aligned} \nonumber \]

Tenga en cuenta que en los problemas anteriores también podríamos haber cambiado la base como hicimos anteriormente en la sección. Por ejemplo, en la parte f) anterior, podríamos haber comenzado escribiendo el lado derecho como\(11^{3x-6}=7^{\log_7 (11^{(3x-6)})}\). Elegimos simplemente aplicar un tronco a ambos lados en su lugar, porque la notación es algo más simple.