14.1: Propiedades algebraicas de exp y log

Recordamos algunas de las principales propiedades de la función exponencial:

\[\boxed{\begin{matrix} \quad b^{x + y} = b^x\cdot b^y\quad \\ b^{x-y} = \dfrac{b^x}{b^y} \\ (b^x)^n = b^{nx} \end{matrix}} \nonumber \]

Escribiendo las propiedades anteriores en términos de que\(f(x)=b^x\) tenemos\(f(x+y)=f(x)f(y)\),\(f(x-y)=f(x)/f(y)\), y\(f(nx)=f(x)^n\).

Debido a que el logaritmo es la función inversa de lo exponencial, tenemos propiedades correspondientes cuya prueba sigue:

Proposición: Propiedades del logaritmo

El logaritmo se comporta bien con respecto a productos, cocientes y exponenciación. De hecho, para todos los números reales positivos\(0<b\neq 1\)\(x>0\),\(y>0\),, y números reales\(n\), tenemos:

\[\boxed{\begin{matrix} \quad\log_b(x\cdot y) = \log_b(x)+\log_b(y)\quad \\ \log_b(\dfrac{x}{y}) = \log_b(x)-\log_b(y) \\ \log_b(x^n) = n\cdot \log_b(x) \end{matrix}} \nonumber \]

En términos de la función logarítmica\(g(x)=\log_b(x)\), las propiedades de la tabla anterior se pueden escribir:\(g(xy)=g(x)+g(y)\),\(g(x/y)=g(x)-g(y)\), y\(g(x^n)=n\cdot g(x)\).

Además, para otro número real positivo\(0<a\neq 1\), tenemos el cambio de fórmula base:

\[\label{EQU:log-change-base} \boxed{\quad\log_b(x)=\dfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)}\quad} \]

En particular, tenemos las fórmulas de la ecuación 13.2.2 al tomar la base\(a=10\) y\(a=e\):

\[\log_b(x) = \dfrac{\log(x)}{\log(b)}\quad\quad\text{and}\quad\quad \log_b(x) = \dfrac{\ln(x)}{\ln(b)} \nonumber \]

Prueba

Empezamos con la primera fórmula\(\log_b(x\cdot y) = \log_b(x)+\log_b(y)\). Si llamamos\(u=\log_b(x)\) y\(v=\log_b(y)\), entonces las fórmulas exponenciales equivalentes son\(b^u=x\) y\(b^v=y\). Con esto, tenemos

\[x\cdot y = b^u\cdot b^v =b^{u+v} \nonumber \]

Reescribiendo esto en forma logarítmica, obtenemos

\[\log_b(x\cdot y)=u+v=\log_b(x)+\log_b(y) \nonumber \]

Esto es lo que necesitábamos mostrar.

A continuación, probamos la fórmula\(\log_b\left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_b(x)-\log_b(y)\). Abreviamos\(u=\log_b(x)\) y\(v=\log_b(y)\) como antes, y sus formas exponenciales son\(b^u=x\) y\(b^v=y\). Por lo tanto, tenemos

\[\dfrac{x}{y} = \dfrac{b^u}{b^v} =b^{u-v} \nonumber \]

Reescribiendo esto nuevamente en forma logarítmica, obtenemos el resultado deseado.

\[\log_b\Big(\dfrac{x}{y}\Big)=u-v=\log_b(x)-\log_b(y) \nonumber \]

Para la tercera fórmula,\(\log_b(x^n) = n\cdot \log_b(x)\), escribimos\(u=\log_b(x)\), es decir en forma exponencial\(b^u=x\). Entonces:

\[x^n=(b^u)^n=b^{n\cdot u} \quad \implies \quad \log_b(x^n)= n\cdot u =n\cdot \log_b(x) \nonumber \]

Para la última fórmula\(\ref{EQU:log-change-base}\), escribimos\(u=\log_b(x)\), es decir,\(b^u=x\). Aplicando el logaritmo con base\(a\) a\(b^u=x\) da\(\log_a(b^u)=\log_a(x)\). Como acabamos de demostrar antes,\(\log_a(b^u)=u\cdot \log_a(b)\). Combinando estas identidades con la definición inicial\(u=\log_b(x)\), obtenemos

\[\log_a(x)= \log_a(b^u)= u\cdot \log_a(b) =\log_b(x)\cdot \log_a(b) \nonumber \]

Dividir ambos lados por\(\log_a(b)\) da el resultado\(\dfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)}=\log_b(x)\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Combine los términos usando las propiedades de logaritmos para escribir como un logaritmo.

1. \(\dfrac{1}{2}\ln(x)+\ln(y)\)
2. \(\dfrac{2}{3}(\log(x^2y)-\log(xy^2))\)
3. \(2\ln(x)-\dfrac{1}{3}\ln(y)-\dfrac{7}{5}\ln(z)\)
4. \(5+\log_2(a^2-b^2)-\log_2(a+b)\)

Solución

Recordemos que un exponente fraccionario también se puede reescribir con una raíz\(n\) th.

\[\boxed{x^{\frac 1 2} = \sqrt x} \quad\text{ and }\quad \boxed{x^{\frac 1 n} = \sqrt[n]x} \quad\implies \quad x^{\frac p q}=(x^p)^{\frac{1} {q}}=\sqrt[q]{x^p} \nonumber \]

Aplicamos las reglas de la proposición Propiedades del logaritmo.

1. \(\dfrac{1}{2}\ln(x)+\ln(y)= \ln(x^{\frac 1 2})+\ln(y)=\ln(x^{\frac 1 2} y)=\ln(\sqrt{x}\cdot y)\)
2. \(\dfrac{2}{3}(\log(x^2y)-\log(xy^2))=\dfrac{2}{3}\left(\log\left(\dfrac{x^2y}{xy^2}\right)\right)=\dfrac{2}{3}\left(\log\left(\dfrac{x}{y}\right)\right)\)&\(=\log\left(\left(\dfrac{x}{y}\right)^{\frac{2}{3}}\right)=\log\left(\sqrt[3]{\dfrac {x^2} {y^2}}\,\,\right)\)
3. \(2\ln(x)-\dfrac{1}{3}\ln(y)-\dfrac{7}{5}\ln(z)=\ln(x^2)-\ln(\sqrt[3]{y})-\ln(\sqrt[5]{z^7})=\ln \left(\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{y}\cdot \sqrt[5]{z^7}}\right)\)
4. \(5+\log_2(a^2-b^2)-\log_2(a+b)=\log_2(2^5)+\log_2(a^2-b^2)-\log_2(a+b)\)&\(=\log_2\left(\dfrac{2^5\cdot (a^2-b^2)}{a+b}\right)=\log_2\left(\dfrac{32\cdot (a+b)(a-b)}{a+b}\right)=\log_2(32\cdot(a-b))\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Escribir las expresiones en términos de logaritmos elementales\(u=\log_b(x)\),\(v=\log_b(y)\), y, en la parte (c), también\(w=\log_b(z)\). Supongamos que\(x,y,z>0\).

1. \(\ln( \sqrt{x^5}\cdot y^2)\)
2. \(\log \left(\sqrt{\sqrt{x} \cdot y^{3}}\right)\)
3. \(\log _{2}\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^{2}}{y \sqrt{z}}}\right)\)

Solución

En un primer paso, reescribimos la expresión con exponentes fraccionarios, y luego aplicamos las reglas de proposición Propiedades del logaritmo.

1. \ (\ comenzar {alineado}
   \ ln\ izquierda (\ sqrt {x^ {5}}\ cdot y^ {2}\ derecha) &=\ ln\ izquierda (x^ {\ frac {5} {2}}\ cdot y^ {2}\ derecha)\\
   \ ln\ izquierda (x^ {\ frac {5} {2}}\ derecha) +\ ln izquierda\ (y^ {2}\ derecha)\\
   &=\ dfrac {5} {2}\ ln (x) +2\ ln (y)\\
   &=\ dfrac {5} {2} u+2 v
   \ end {alineado}\)

2. \ (\ begin {alineado}
   \ log\ left (\ sqrt {\ sqrt {x}\ cdot y^ {3}}\ derecha) &=\ log\ left (\ left (x^ {\ frac {1} {2}} y^ {3}\ derecha) ^ {\ frac {1} {2}}\ derecha)\\
   &=\ dfrac {1} {2}\ log\ izquierda (x^ {\ frac {1} {2}} y^ {3}\ derecha)\\
   &=\ dfrac {1} {2}\ izquierda (\ log\ izquierda (x^ {\ frac {1} {2}}\ derecha) +\ log\ izquierda (y^ {3}\ derecha)\ derecha)\\
   &=\ dfrac {1} {2}\ izquierda (\ dfrac {1} {2} {2}\ log (x) +3\ log (y)\ derecha)\\
   &=\ dfrac {1} {4}\ log (x) +\ dfrac {3} {2}\ log (y)\\
   &=\ dfrac {1} {4} u+\ dfrac {3} {2} v
   \ end {alineado}\)

3. \(\begin{aligned}\log _{2}\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^{2}}{y \sqrt{z}}}\right) &=\log _{2}\left(\left(\dfrac{x^{2}}{y \cdot z^{\frac{1}{2}}}\right)^{\frac{1}{3}}\right)=\dfrac{1}{3} \log _{2}\left(\dfrac{x^{2}}{y \cdot z^{\frac{1}{2}}}\right) \\ &=\dfrac{1}{3}\left(\log _{2}\left(x^{2}\right)-\log _{2}(y)-\log _{2}\left(z^{\frac{1}{2}}\right)\right) \\ &=\dfrac{1}{3}\left(2 \log _{2}(x)-\log _{2}(y)-\dfrac{1}{2} \log _{2}(z)\right) \\ &=\dfrac{2}{3} \log _{2}(x)-\dfrac{1}{3} \log _{2}(y)-\dfrac{1}{6} \log _{2}(z) \\ &=\dfrac{2}{3} u-\dfrac{1}{3} v-\dfrac{1}{6} w \end{aligned}\)