18.2: Ángulo doble y medio

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Thomas Tradler and Holly Carley
CUNY New York City College of Technology via New York City College of Technology at CUNY Academic Works

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Podemos escribir fórmulas para las funciones trigonométricas de dos veces un ángulo y medio ángulo.

Proposición: Fórmulas de ángulo medio y doble

Dejar\(\alpha\) ser un ángulo. Entonces tenemos las fórmulas de medio ángulo:

\ [\ begin {alineado}
\ sin\ dfrac {\ alpha} {2} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos\ alpha} {2}}\
\ cos\ dfrac {\ alpha} {2} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1+\ cos\ alfa} {2}}\\
\ tan dfrac {\ alpha} {2} &=\ dfrac {1-\ cos\ alfa} {\ sin\ alfa} =\ dfrac {\ sin\ alfa} {1+\ cos\ alfa} =\ pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos\ alfa} {1+\ cos\ alfa}}
\ final {alineado}\ nonumber\]

Aquí, los signos “\(\pm\)” están determinados por el cuadrante en el que se\(\frac \alpha 2\) encuentra el ángulo. (Para más información sobre los letreros, consulte también la página.)

Además, tenemos las fórmulas de doble ángulo:

\ [\ comenzar {alineado}
\ sin (2\ alfa) &=2\ sin\ alfa\ cos\ alfa\
\ cos (2\ alfa) &=\ cos ^ {2}\ alfa-\ sin ^ {2}\ alpha=1-2\ sin ^ {2}\ alpha=2\ cos ^ {2}\ alpha-1\
\ tan (2\ alpha) &=\ frac {2\ tan alfa\} {1-\ tan ^ {2}\ alfa}
\ final {alineado}\ nonumber\]

Prueba

Comenzamos con las fórmulas de doble ángulo, las cuales probamos usando Proposition [prop:TRIG-ADD-SUBT-formulas].

\[\begin{aligned} \sin(2\alpha)&= \sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos(2\alpha)&= \cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\sin\alpha\sin\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha \\ \tan(2\alpha)&= \tan(\alpha+\alpha) = \dfrac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\end{aligned} \nonumber\]

Aviso que se\(\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\) puede reescribir usando\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) lo siguiente:

\[\begin{aligned} \cos^2\alpha-\sin^2\alpha &=& (1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha \\ \text{and } \quad\quad \cos^2\alpha-\sin^2\alpha &=& \cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2 \cos^2\alpha-1\end{aligned}\]

Esto muestra las fórmulas de doble ángulo. Estas fórmulas ahora se pueden utilizar para probar las fórmulas de medio ángulo.

\ [\ begin {alineado}
\ cos (2\ alpha) &=1-2\ sin ^ {2}\ alfa\
2\ sin ^ {2}\ alfa&=1-\ cos (2\ alfa)\\
\ sin ^ {2}\ alpha&=\ dfrac {1-\ cos (2\ alpha)} {2}\
\ sin\ alpha&=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos (2\ alfa)} {2}}\\
\ sin\ dfrac {\ alpha} {2} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos\ alfa} {2}}\ quad {\ texto {reemplazar}\ alfa\ texto {por}\ dfrac {\ alpha} {2}}
\ end {alineado}\ nonumber\]

\ [\ comenzar {alineado}
\ cos (2\ alfa) &=2\ cos ^ {2}\ alfa -1\\
2\ cos ^ {2}\ alfa&=1+\ cos (2\ alfa)\
\ cos ^ {2}\ alfa&=\ dfrac {1+\ cos (2\ alfa)} {2}\
\ cos\ alfa&=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1+\ cos (2\ alfa)} {2}}\\
\ cos\ dfrac {\ alpha} {2} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1+\ cos\ alfa} {2}}\ quad {\ texto {reemplazar}\ alfa\ texto {por}\ dfrac {\ alfa} {2}}
\ end {alineado}\ nonumber\]

En particular,

\[\tan \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sin \left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\dfrac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}} \nonumber \]

Para las dos primeras fórmulas para\(\tan \dfrac \alpha 2\) simplificamos\(\sin(2\alpha)\cdot \tan(\alpha)\) y de la\((1+\cos(2\alpha))\cdot \tan(\alpha)\) siguiente manera.

\ [\ comenzar {alineado}
\ sin (2\ alfa)\ cdot\ tan (\ alfa) &= 2\ sin\ alfa\ cos\ alfa\ cdot\ dfrac {\ sin\ alfa} {\ cos\ alfa}\\
&=2\ sin ^ {2}\ alfa\\
&=1-\ cos (2\ alfa)\
\ tan (\ alfa) &=\ dfrac {-\ cos (2\ alfa)} {\ sin (2\ alfa)}\\
\ tan\ izquierda (\ frac {\ alpha} {2}\ derecha) &=\ dfrac {1-\ cos (\ alpha)} {\ sin (\ alpha)}\ quad\ texto {reemplazar}\ alfa\ texto {por}\ frac {\ alpha} {2}\\
(1+\ cos (2\ alpha))\ cdot\ tan (\ alpha) &= 2\ cos ^ {2}\ alfa\ cdot\ dfrac {\ sin\ alfa} {\ cos\ alfa}\\\
&=2\ sin\ alfa\ cos\ alfa\\
&=\ sin (2\ alfa)\\
\ tan (\ alfa) &=\ dfrac {\ sin (2\ alfa)} {1+\ cos (2\ alfa)}\\
\ tan\ izquierda (\ dfrac {\ alpha} {2}\ derecha) &=\ dfrac {\ sin (\ alpha)} {1+ cos\ (\ alfa)}\ quad\ texto {reemplazar}\ alfa\ texto {por}\ dfrac {\ alfa} {2}
\ final {alineado}\ nonumber\]

Esto completa la prueba de la proposición.

Aquí hay un ejemplo que involucra las identidades de medio ángulo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra las funciones trigonométricas usando las fórmulas de medio ángulo.

\(\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\)
\(\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right)\)
\(\tan\left(\dfrac{\pi}{24}\right)\)

Solución

Ya que\(d\frac{\pi}{8}=\dfrac{\frac{\pi}{4}}{2}\), utilizamos la fórmula de medio ángulo con\(\alpha=\dfrac{\pi}{4}\).

\ [\ comenzar {alineado}
\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {8}\ derecha) &=\ sin\ izquierda (\ dfrac {\ frac {\ pi} {4}} {2}\ derecha)\\
&=\ pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ cos\ frac {\ pi} {4}} {2}}\\
&= pm\ sqrt {\ dfrac {1-\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {2}}\\
&=\ pm\ sqrt {\ dfrac {\ frac {2-\ sqrt {2}} {2}} {2}} {2}}\\
&=\ pm\ sqrt {\ dfrac {2-\ sqrt {2}} {4}}\\
&=\ pm\ dfrac {\ sqrt {2-\ sqrt {2}}} {2}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Ya que\(\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{180^\circ}{8}=22.5^\circ\) está en el primer cuadrante, el seno es positivo, así que eso\(\sin(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\).

Tenga en cuenta que\(\dfrac{9\pi}{8}=\dfrac{\frac{9\pi}{4}}{2}\). Entonces usamos\(\alpha=\dfrac{9\pi}{4}\). Ahora,\(\dfrac{9\pi}{8}=\dfrac{9\cdot 180^\circ}{8}=202.5^\circ\) está en el tercer cuadrante, de manera que el coseno es negativo. Contamos con:

\[\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) = \cos\left(\dfrac{\frac{9\pi}{4}}{2}\right)=-\sqrt{\dfrac{1+\cos\frac{9\pi}{4}}{2}} \nonumber \]

Ahora,\(\cos(\dfrac{9\pi}{4})=\cos(\dfrac{8\pi+\pi}{4})=\cos(2\pi+\dfrac{\pi}{4})=\cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), para que

\[\cos\left(\dfrac{9\pi}{8}\right) =-\sqrt{\dfrac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}= -\sqrt{\dfrac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}}=-\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}=-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \nonumber \]

Obsérvese eso\(\dfrac{\pi}{24}=\dfrac{\frac{\pi}{12}}{2}\), y ya calculamos los valores de la función trigonométrica de\(\alpha=\dfrac{\pi}{12}\) en el Ejemplo 18.1.1 (c). Para que obtengamos:

\ [\ begin {alineado}
\ tan\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {24}\ derecha) &=\ tan\ izquierda (\ dfrac {\ frac {\ pi} {12}} {2}\ derecha)\\
&=\ dfrac {1-\ cos\ frac {\ pi} {12}} {\ sin\ frac {\ pi} {12}}\
&=\ dfrac {1-\ frac {\ sqrt {2} +\ sqrt {6}} {4}} {\ frac {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}} {4}}\\
&=\ dfrac {\ frac {4-\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {4}} {\ frac {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}} {4}}\
&=\ dfrac {4-\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {4}\ cdot\ dfrac {4} {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}}\\
&=\ dfrac {4-\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}}
\ end {alineado}\ nonumber\]

Podemos racionalizar el denominador multiplicando el numerador y el denominador por\((\sqrt{6}+\sqrt{2})\).

\ [\ begin {alineado}
\ tan\ izquierda (\ dfrac {\ pi} {24}\ derecha) &=\ dfrac {4-\ sqrt {2} -\ sqrt {6}} {\ sqrt {6} -\ sqrt {2}}\ cdot\ dfrac {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}} {\ sqrt {6} +\ sqrt {2}}\\
&=\ dfrac {4\ sqrt {6} +4\ sqrt {2} -\ sqrt {12} -\ sqrt {4} -\ sqrt {36} -\ sqrt {12}} {6-2}\\
&=\ dfrac {4\ sqrt {6} +4\ sqrt {2} -2\ sqrt {12} -2-6} {4}\
&=\ dfrac {4\ sqrt {6} +4\ sqrt {2} -4\ sqrt {3} -8} {4}\\
&=\ sqrt {6} +\ sqrt {2} -\ sqrt {3} -2
\ end {alineado}\ nonumber\]

Aunque usamos la primera fórmula para\(\tan\dfrac{\alpha}{2}\) de la proposición, también podríamos haber usado las otras dos fórmulas.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentre las funciones trigonométricas de\(2\alpha\) cuándo\(\alpha\) tiene las propiedades a continuación.

\(\sin(\alpha)=\dfrac{3}{5}\), y\(\alpha\) está en el cuadrante II
\(\tan(\alpha)=\dfrac{12}{5}\), y\(\alpha\) está en el cuadrante III

Solución

De\(\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1\), encontramos que\(\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)\), y como\(\alpha\) está en el segundo cuadrante,\(\cos(\alpha)\) es negativo, por lo que

\[\begin{aligned} \cos(\alpha)&=-\sqrt{1-\sin^2(\alpha)}\\&=-\sqrt{1-\Big(\dfrac{3}{5}\Big)^2}\\&=-\sqrt{1-\dfrac{9}{25}} \\ &= -\sqrt{\dfrac{25-9}{25}}\\&=-\sqrt{\dfrac{16}{25}}\\&=-\dfrac{4}{5},\end{aligned} \nonumber \]

\[\tan(\alpha)=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{-4}{5}}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5}{-4}=-\dfrac{3}{4} \nonumber \]

A partir de esto podemos calcular la solución tapando estos valores en las fórmulas de doble ángulo.

\[\begin{aligned} \sin(2\alpha)&= 2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{(-4)}{5}=\dfrac{-24}{25}\\ \cos(2\alpha)&= \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) =\Big(\dfrac{-4}{5}\Big)^2-\Big(\dfrac{3}{5}\Big)^2=\dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}\\ \tan(2\alpha)&=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\dfrac{2\cdot\left(\frac{-3}{4}\right)}{1-\left(\frac{-3}{4}\right)^2}=\dfrac{\frac{-3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\dfrac{\frac{-3}{2}}{\frac{16-9}{16}}=\dfrac{-3}{2}\cdot \dfrac{16}{7}=\dfrac{-24}{7}\end{aligned} \nonumber \]

Similar al cálculo en la parte (a), primero calculamos\(\sin(\alpha)\) y\(\cos(\alpha)\), que son ambos negativos en el tercer cuadrante. Recordemos de la ecuación [equ:Sin2+cos2=1] que\(\sec^2\alpha=1+\tan^2\alpha\), donde\(\sec\alpha=\dfrac{1}{\cos\alpha}\). Por lo tanto,

\[\sec^2\alpha=1+\Big(\dfrac{12}{5}\Big)^2=1+\dfrac{144}{25}=\dfrac{25+144}{25}=\dfrac{169}{25} \implies \sec\alpha=\pm\dfrac{13}{5} \nonumber \]

Ya que\(\cos(\alpha)\) es negativo (en el cuadrante III), así es\(\sec(\alpha)\), para que obtengamos,

\[\cos\alpha=\dfrac{1}{\sec\alpha}=\dfrac{1}{-\frac{13}{5}}=-\dfrac{5}{13} \nonumber \]

Además\(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\), y\(\sin\alpha\) es negativo (en el cuadrante III), tenemos

\[\begin{aligned} \sin\alpha &=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}\\&=-\sqrt{1-\Big(-\dfrac{5}{13}\Big)^2} \\&= -\sqrt{1-\dfrac{25}{169}} \\ &= -\sqrt{\dfrac{169-25}{169}}\\&=-\sqrt{\dfrac{144}{169}}\\&=-\dfrac{12}{13}\end{aligned} \nonumber \]

Así, obtenemos la solución de la siguiente manera:

\[\begin{aligned} \sin(2\alpha)&= 2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot \dfrac{(-12)}{13}\cdot \dfrac{(-5)}{13} =\dfrac{120}{169}\\ \cos(2\alpha)&= \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha) =\Big(\dfrac{-5}{13}\Big)^2-\Big(\dfrac{-12}{13}\Big)^2=\dfrac{25}{169}-\dfrac{144}{169}=\dfrac{-119}{169}\\ \tan(2\alpha)&=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\dfrac{2\cdot\frac{12}{5}}{1-\left(\frac{12}{5}\right)^2}=\dfrac{\frac{24}{5}}{1-\frac{144}{25}}=\dfrac{\frac{24}{5}}{\frac{25-144}{25}}\\ &= \dfrac{24}{5}\cdot \dfrac{25}{-119}=\dfrac{120}{-119}\end{aligned} \nonumber \]