24.1: Serie Geométrica Finita

Ahora estudiamos otra secuencia, la secuencia geométrica, que será análoga a nuestro estudio de la secuencia aritmética en la sección 23.2. Ya hemos encontrado ejemplos de secuencias geométricas en el Ejemplo 23.1.1 (b). Una secuencia geométrica es una secuencia para la cual multiplicamos un número constante para obtener de un término al siguiente, por ejemplo:

\[5,\underset{\times 4}{\hookrightarrow } 20,\underset{\times 4}{\hookrightarrow } 80,\underset{\times 4}{\hookrightarrow } 320,\underset{\times 4}{\hookrightarrow } 1280, \dots \nonumber \]

Definición: Secuencia geométrica

Una secuencia\(\{a_n\}\) se denomina secuencia geométrica, si cualquiera de dos términos consecutivos tienen una relación común\(r\). La secuencia geométrica está determinada por\(r\) y el primer valor\(a_1\). Esto se puede escribir recursivamente como:

\[a_n=a_{n-1}\cdot r \quad \quad \text{for }n\geq 2 \nonumber \]

Alternativamente, tenemos la fórmula general para el término\(n\) th de la secuencia geométrica:

\[\label{EQU:geometric-sequence-general-term} \boxed{a_n=a_1\cdot r^{n-1}}\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Determinar si la secuencia es una secuencia geométrica, o aritmética, o ninguna o ambas. Si se trata de una secuencia geométrica o aritmética, entonces encuentre la fórmula general para\(a_n\) en la forma\(\ref{EQU:geometric-sequence-general-term}\) o [equ:Aritmética-secuencia-general-término].

1. \(3, 6, 12, 24, 48, \dots\)
2. \(100, 50, 25, 12.5, \dots\)
3. \(700, -70, 7, -0.7, 0.07, \dots\)
4. \(2, 4, 16, 256, \dots\)
5. \(3, 10, 17, 24, \dots\)
6. \(-3, -3, -3, -3, -3, \dots\)
7. \(a_n=\left(\dfrac{3}{7}\right)^n\)
8. \(a_n=n^2\)

Solución

1. Calcular el cociente de dos términos consecutivos siempre da el mismo número\(6\div 3=2\),,\(12\div 6=2\)\(24\div 12=2\), etc. por lo tanto la relación común es\(r=2\), lo que demuestra que se trata de una secuencia geométrica. Además, el primer término es\(a_1=3\), de manera que la fórmula general para el término\(n\) th es\(a_n=3\cdot 2^{n-1}\).
2. Vemos que la relación común entre dos términos es\(r=\dfrac 1 2\), por lo que se trata de una secuencia geométrica. Ya que el primer término es\(a_1=100\), tenemos el término general\(a_n=100\cdot \left(\dfrac 1 2\right)^{n-1}\).
3. Dos términos consecutivos tienen una relación de\(r=-\dfrac 1 {10}\), y el primer término es\(a_1=700\). El término general de esta secuencia geométrica es\(a_n=700\cdot \left(-\dfrac 1 {10}\right)^{n-1}\).
4. El cociente de los dos primeros términos es\(4\div 2=2\), mientras que el cociente de los dos siguientes términos lo es\(16\div 4=4\). Dado que estos cocientes no son iguales, no se trata de una secuencia geométrica. Además, la diferencia entre los dos primeros términos es\(4-2=2\), y los dos siguientes términos tienen una diferencia\(16-4=12\). Por lo tanto, esto tampoco es una secuencia aritmética.
5. El cociente del primer par de términos no es igual\(\dfrac{10}{3}\neq \dfrac{17}{10}\), por lo que no se trata de una secuencia geométrica. La diferencia de dos términos cualesquiera es\(7=10-3=17-10=24-17\), de manera que esto es parte de una secuencia aritmética con diferencia común\(d=7\). La fórmula general es\(a_n=a_1+d\cdot (n-1)=3+7\cdot (n-1)\).
6. El cociente común es\(r=(-3)\div (-3)=1\), por lo que esta es una secuencia geométrica con\(a_n=(-3)\cdot 1^{n-1}\). Por otro lado, la diferencia común es\((-3)-(-3)=0\), por lo que esta es también una secuencia aritmética con\(a_n=(-3)+0\cdot (n-1)\). Por supuesto, ambas fórmulas se reducen a la expresión más simple\(a_n=-3\).
7. Escribiendo el primer par de términos de la secuencia\(\left\{\left(\dfrac 3 7 \right)^n\right\}\), obtenemos:

\[\left(\dfrac 3 7 \right)^1, \left(\dfrac 3 7 \right)^2, \left(\dfrac 3 7 \right)^3, \left(\dfrac 3 7 \right)^4, \left(\dfrac 3 7 \right)^5, \dots \nonumber \]

Así, obtenemos de un término a otro multiplicando\(r=\dfrac 3 7\), de manera que esta es una secuencia geométrica. El primer término es\(a_1=\dfrac 3 7\), así que\(a_n=\dfrac 3 7 \cdot \left(\dfrac 3 7 \right)^{n-1}\). Esta es claramente la secuencia dada, ya que podemos simplificarla como

\[a_n=\dfrac 3 7 \cdot \left(\dfrac 3 7 \right)^{n-1} =\left(\dfrac 3 7 \right)^{1+n-1}=\left(\dfrac 3 7 \right)^{n} \nonumber \]

8. Escribimos los primeros términos en la secuencia\(\{n^2\}_{n\geq 1}\):

\[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dots \nonumber \]

Calculando los cocientes de términos consecutivos, obtenemos\(4\div 1 =4\) y\(9\div 4=2.25\), para que esta no sea una secuencia geométrica. También la diferencia de términos consecutivos es\(4-1=3\) y\(9-4=5\), para que ésta tampoco sea una secuencia aritmética.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la fórmula general de una secuencia geométrica con la propiedad dada.

1. \(r=4\), y\(a_5=6400\)
2. \(a_1=\dfrac{2}{5}\), y\(a_{4}=-\dfrac{27}{20}\)
3. \(a_{5}=216\),\(a_{7}=24\), y\(r\) es positivo

Solución

1. Ya que\(\{a_n\}\) es una secuencia geométrica, lo es\(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\). Eso lo sabemos\(r=4\), así que todavía tenemos que encontrar\(a_1\). Usando\(a_5=64000\), obtenemos:

\[6400=a_5=a_1\cdot 4^{5-1}=a_1\cdot 4^4=256\cdot a_1 \,\, \stackrel{(\div 256)}{\implies} \,\, a_1=\dfrac{6400}{256}=25 \nonumber \]

Por lo tanto, la secuencia viene dada por la fórmula,\(a_n=25\cdot 4^{n-1}\).

2. La secuencia geométrica\(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\) tiene\(a_1=\dfrac{2}{5}\). Calculamos\(r\) usando la segunda condición.

\[\begin{aligned} -\dfrac{27}{20}=a_4=a_1\cdot r^{4-1}=\dfrac{2}{5}\cdot r^3 & \stackrel{(\times \frac{5}{2})}{\implies} & r^3= -\dfrac{27}{20}\cdot \dfrac 5 2= -\dfrac{27}{4}\cdot \dfrac 1 2=\dfrac{-27}8 \\ & \stackrel{(\text{take }\sqrt[3]{\,\,})}{\implies} & r=\sqrt[3]{\dfrac{-27}8}=\dfrac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{-3}{2}\end{aligned}\nonumber \]

Por lo tanto,\(a_n=\dfrac 2 5 \cdot \left(\dfrac {-3} 2\right)^{n-1}\).

3. La pregunta no proporciona\(a_1\) ni\(r\) en la fórmula\(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\). Sin embargo, obtenemos dos ecuaciones en las dos variables\(a_1\) y\(r\):

\ [\ left\ {\ begin {array} {c}
{2 1 6 = a _ {5} = a _ {1}\ cdot r ^ {5 - 1}}\\
{2 4 = a _ {7} = a _ {1}\ cdot r ^ {7 - 1}}
\ end {array}\ quad\ Longrightarrow\ left\ {\ begin {array} {c}
216=a_ {1}\ cdot r^ {4}\\
24=a_ {1}\ cdot r^ {6}
\ end {array}\ derecho. \ derecho. \ nonumber\]

Para resolver esto, necesitamos eliminar una de las variables. Al observar las ecuaciones de la derecha, vemos dividir la ecuación superior por la ecuación inferior se cancela\(a_1\).

\[\dfrac{216}{24}=\dfrac{a_1\cdot r^4}{a_1\cdot r^6} \,\, \implies \,\, \dfrac{9}{1}=\dfrac{1}{r^2} \,\,\stackrel{(\text{take reciprocal})}\implies \,\, \dfrac{1}{9}=\dfrac{r^2}{1} \,\, \implies \,\, r^2= \dfrac 1 9 \nonumber \]

Para obtener\(r\) tenemos que resolver esta ecuación cuadrática. En general, de hecho hay dos soluciones:

\[r=\pm\sqrt{\dfrac 1 9}=\pm\dfrac 1 3 \nonumber \]

Ya que el problema afirma que\(r\) es positivo, vemos que necesitamos tomar la solución positiva\(r=\dfrac 1 3\). \(r=\dfrac 1 3\)Volviendo a enchufar a cualquiera de las dos ecuaciones, podemos resolver para\(a_1\). Por ejemplo, usando la primera ecuación\(a_5=216\), obtenemos:

\[\begin{aligned} && 216=a_5=a_1\cdot \bigg(\dfrac 1 3\bigg)^{5-1}=a_1\cdot \bigg(\dfrac 1 3\bigg)^{4}=a_1\cdot \dfrac 1 {3^4}=a_1\cdot \dfrac 1 {81} \\ && \quad \stackrel{(\times 81)}\implies \quad a_1=81\cdot 216 = 17496\end{aligned} \nonumber \]

Entonces, finalmente llegamos a la fórmula general para el término\(n\) th de la secuencia geométrica,\(a_n=17496\cdot \left(\dfrac 1 3\right)^{n-1}\).

Podemos encontrar la suma de los primeros\(k\) términos de una secuencia geométrica usando otro truco, que es muy diferente al que usamos para la secuencia aritmética.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Considera la secuencia geométrica\(a_n=8\cdot 5^{n-1}\), esa es la secuencia:

\[8, 40, 200, 1000, 5000, 25000, 125000, \dots \nonumber \]

Queremos agregar los primeros\(6\) términos de esta secuencia. \[8+ 40+ 200+ 1000+ 5000+ 25000=31248 \nonumber \]

Solución

En general, puede ser mucho más difícil simplemente agregar los términos como lo hicimos anteriormente, y necesitamos usar un mejor método general. Para ello, multiplicamos\((1-5)\) a la suma\((8+ 40+ 200+ 1000+ 5000+ 25000)\) y simplificamos esto usando la ley distributiva:

\[\begin{aligned} (1-5)\cdot (8+ 40+ 200+ 1000+ 5000+ 25000) &= 8-40+ 40-200+ 200-1000+ 1000-5000 + 5000-25000+ 25000-125000\\ &= 8-125000 \end{aligned} \nonumber \]

En la segunda y tercera líneas anteriores, tenemos lo que se llama una suma telescópica, que se puede cancelar excepto por el primer y último término. Dividiendo por\((1-5)\), obtenemos:

\[8+ 40+ 200+ 1000+ 5000+ 25000=\dfrac{8-125000}{1-5}=\dfrac{-124992}{-4}=31248 \nonumber \]

El ejemplo anterior generaliza a la configuración más general comenzando con una secuencia geométrica arbitraria.

Observación: Serie geométrica

Dejar\(\{a_n\}\) ser una secuencia geométrica, cuyo término\(n\) th viene dado por la fórmula\(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\). Asumimos además eso\(r\neq 1\). Entonces, la suma\(a_1+a_2+\dots+a_{k-1}+a_k\) viene dada por:

\[\label{EQU:geometric-series} \boxed{\sum_{i=1}^k a_i =a_1\cdot \dfrac{1-r^k}{1-r}}\]

Prueba

Multiplicamos\((1-r)\) a la suma\((a_1+a_2+\dots+a_{k-1}+a_k)\):

\[\begin{aligned} (1-r)\cdot (a_1+a_2+\dots+a_k) &= (1-r)\cdot (a_1 \cdot r^0+a_1\cdot r^1+\dots+a_1\cdot r^{k-1}) \\ &= a_1 \cdot r^0-a_1\cdot r^1+a_1\cdot r^1-a_1\cdot r^2+\dots+a_1 \cdot r^{k-1}-a_1\cdot r^k \\ &= a_1\cdot r^0-a_1\cdot r^k \\&= a_1\cdot (1-r^k)\end{aligned} \nonumber \]

Dividiendo por\((1-r)\), obtenemos

\[a_1+a_2+\dots+a_k=\dfrac{a_1\cdot (1-r^k)}{(1-r)}=a_1\cdot \dfrac{1-r^k}{1-r} \nonumber \]

Esta es la fórmula que queríamos probar.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor de la serie geométrica.

1. Encuentra la suma\(\sum\limits_{n=1}^6 a_n\) para la secuencia geométrica\(a_n=10\cdot 3^{n-1}\).
2. Determinar el valor de la serie geométrica:\(\sum\limits_{k=1}^{5} \left(-\dfrac{1}{2}\right)^k\)
3. Encuentra la suma de los primeros\(12\) términos de la secuencia geométrica\[-3, -6, -12, -24, \dots \nonumber\]

Solución

1. Necesitamos encontrar la suma\(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\), y lo haremos usando la fórmula proporcionada en la ecuación\(\ref{EQU:geometric-series}\). Ya que\(a_n=10\cdot 3^{n-1}\), tenemos\(a_1=10\) y\(r=3\), para que

\[\sum_{n=1}^6 a_n = 10\cdot \dfrac{1-3^6}{1-3} = 10\cdot \dfrac{1-729}{1-3}=10\cdot \dfrac{-728}{-2}=10\cdot 364=3640 \nonumber \]

2. Nuevamente, utilizamos la fórmula para la serie geométrica\(\sum_{k=1}^n a_k=a_1\cdot \dfrac{1-r^n}{1-r}\), ya que\(a_k=\left(-\dfrac 1 2\right)^k\) es una serie geométrica. Podemos calcular el primer término\(a_1=-\dfrac 1 2\), y la proporción común también lo es\(r=-\dfrac 1 2\). Con esto, obtenemos:

\[\begin{aligned} \sum_{k=1}^{5} \left(-\dfrac 1 2\right)^k & = \left(-\dfrac 1 2\right) \cdot \dfrac{1-(-\frac 1 2)^5}{1-(-\frac 1 2)}\\& =\left(-\dfrac 1 2\right) \cdot \dfrac{1-\left((-1)^5 \frac {1^5} {2^5}\right)}{1-(-\frac 1 2)}\\&= \left(-\dfrac 1 2\right) \cdot \dfrac{1-(- \frac {1} {32})}{1-(-\frac 1 2)}\\& = \left(-\dfrac 1 2\right) \cdot \dfrac{1+ \frac {1} {32}}{1+\frac 1 2}\\& = \left(-\dfrac 1 2\right) \cdot \dfrac{ \frac {32+1} {32}}{\frac {2+1} 2} \\ &= \left(-\dfrac 1 2\right) \cdot \dfrac{ \frac {33} {32}}{\frac {3} 2} \\&= \left(-\dfrac 1 2\right) \cdot \dfrac {33} {32}\cdot \dfrac 2 3 \\&= -\dfrac 1 2 \cdot \dfrac {11} {16}\\&=-\dfrac {11}{32}\end{aligned} \nonumber \]

3. Nuestra primera tarea es encontrar la fórmula para las series geométricas proporcionadas\(-3, -6, -12, -24, \dots\). El primer término es\(a_1=-3\) y la proporción común es\(r=2\), así que eso\(a_n=(-3)\cdot 2^{n-1}\). La suma de los primeros\(12\) términos de esta secuencia viene dada nuevamente por la ecuación\(\ref{EQU:geometric-series}\):

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^{12} (-3)\cdot 2^{i-1}&=(-3)\cdot \dfrac{1-2^{12}}{1-2}\\&=(-3)\cdot \dfrac{1-4096}{1-2}\\&=(-3)\cdot \dfrac{-4095}{-1} \\ &= (-3)\cdot 4095\\& = -12285 \end{aligned} \nonumber \]