24.3: Ejercicios

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Cuál de estas secuencias es geométrica, aritmética, o ninguna o ambas. Escribe la secuencia en la forma habitual\(a_n=a_1+d(n-1)\) si es una secuencia aritmética y\(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\) si es una secuencia geométrica.

1. \(7, 14, 28, 56, \dots\)
2. \(3, -30, 300, -3000, 30000, \dots\)
3. \(81, 27, 9, 3, 1, \dfrac{1}{3}, \dots\)
4. \(-7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, \dots\)
5. \(-6, 2, -\dfrac 2 3, \dfrac 2 9, -\dfrac 2 {27}, \dots\)
6. \(-2, -2\cdot \dfrac 2 3, -2 \cdot \left(\dfrac 2 3\right)^2, -2 \cdot \left(\dfrac 2 3\right)^3, \dots\)
7. \(\dfrac 1 2, \dfrac 1 4, \dfrac 1 8, \dfrac 1 {16}, \dots\)
8. \(2, 2, 2, 2, 2, \dots\)
9. \(5, 1, 5, 1, 5, 1, 5, 1, \dots\)
10. \(-2, 2, -2, 2, -2, 2, \dots\)
11. \(0, 5, 10, 15, 20, \dots\)
12. \(5, \dfrac 5 3, \dfrac 5 {3^2}, \dfrac 5 {3^3}, \dfrac 5 {3^4}, \dots\)
13. \(\dfrac 1 2, \dfrac 1 4, \dfrac 1 8, \dfrac 1 {16}, \dots\)
14. \(\log(2), \log(4), \log(8), \log(16), \dots\)
15. \(a_n=-4^n\)
16. \(a_n=-4n\)
17. \(a_n=2\cdot (-9)^n\)
18. \(a_n=\left(\dfrac 1 3 \right)^n\)
19. \(a_n=-\left(\dfrac 5 7 \right)^n\)
20. \(a_n=\left(-\dfrac 5 7 \right)^n\)
21. \(a_n=\dfrac 2 n\)
22. \(a_n=3n+1\)

Contestar

1. geométrica,\(7 \cdot 2^{n-1}\)
2. geométrica,\(3 \cdot(-10)^{n-1}\)
3. geométrica,\(81\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\)
4. aritmética,\(-7+2(n-1)=-9+2 n\)
5. geométrica,\(-6\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\)
6. geométrica,\(-2\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}\)
7. geométrica,\(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)
8. ambos,\(2=2+0(n-1)=2(1)^{n-1}\)
9. ni
10. geométrica,\(-2(-1)^{n-1}\)
11. aritmética,\(5(n − 1)\)
12. geométrica,\(5\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\)
13. geométrica,\(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\)
14. ni
15. geométrica,\(-4(4)^{n-1}\)
16. aritmética,\(−4 − 4(n − 1) = −4n\)
17. geométrica,\(-18(-9)^{n-1}\)
18. geométrica,\(\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\)
19. geométrica,\(-\dfrac{5}{7}\left(\dfrac{5}{7}\right)^{n-1}\)
20. geométrica,\(-\dfrac{5}{7}\left(-\dfrac{5}{7}\right)^{n-1}\)
21. ni
22. aritmética,\(4+3(n-1)=1+3 n\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Una secuencia geométrica,\(a_n=a_1\cdot r^{n-1}\), tiene las propiedades dadas. Encuentra el término\(a_n\) de la secuencia.

1. \(a_1=3\), y\(r=5\), encontrar\(a_4\)
2. \(a_1=200\), y\(r=-\dfrac 1 2\), encontrar\(a_6\)
3. \(a_1=-7\), y\(r=2\), encontrar\(a_n\) (para todos\(n\))
4. \(r=2\), y\(a_4=48\), encontrar\(a_1\)
5. \(r=100\), y\(a_{4}=900,000\), encontrar\(a_n\) (para todos\(n\))
6. \(a_{1}=20\),\(a_{4}=2500\), encontrar\(a_n\) (para todos\(n\))
7. \(a_1=\dfrac 1 8\), y\(a_6=\dfrac{3^5}{8^6}\), encontrar\(a_n\) (para todos\(n\))
8. \(a_3=36\), y\(a_{6}=972\), encontrar\(a_n\) (para todos\(n\))
9. \(a_{8}=4000\),\(a_{10}=40\), y\(r\) es negativo, encontrar\(a_n\) (para todos\(n\))

Contestar

1. \(375\)
2. \(6.25\)
3. \(-7 \cdot 2^{n-1}\)
4. \(6\)
5. \(\dfrac{9}{10}(100)^{n-1}\)
6. \(20 \cdot(5)^{n-1}\)
7. \(\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{3}{8}\right)^{n-1}\)
8. \(4 \cdot 3^{n-1}\)
9. \(-40000000000\left(-\dfrac{1}{10}\right)^{n-1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor de la serie geométrica finita usando la fórmula [equ:Geométric-series]. Confirme la fórmula ya sea agregando los summands directamente, o alternativamente usando la calculadora.

1. Encuentra la suma\(\sum\limits_{j=1}^4 a_j\) para la secuencia geométrica\(a_j=5\cdot 4^{j-1}\).
2. Encuentra la suma\(\sum\limits_{i=1}^7 a_i\) para la secuencia geométrica\(a_n=\left(\dfrac 1 2\right)^n\).
3. Encuentra:\(\sum\limits_{m=1}^{5} \left(-\dfrac{1}{5}\right)^m\)
4. Encuentra:\(\sum\limits_{k=1}^{6} 2.7\cdot 10^k\)
5. Encuentra la suma de los primeros\(5\) términos de la secuencia geométrica:\[2, 6, 18, 54, \dots \nonumber \]
6. Encuentra la suma de los primeros\(6\) términos de la secuencia geométrica:\[-5, 15, -45, 135, \dots \nonumber \]
7. Encuentra la suma de los primeros\(8\) términos de la secuencia geométrica:\[-1, -7, -49, -343, \dots \nonumber \]
8. Encuentra la suma de los primeros\(10\) términos de la secuencia geométrica:\[600, -300, 150, -75, 37.5, \dots \nonumber \]
9. Encuentra la suma de los primeros\(40\) términos de la secuencia geométrica:\[5, 5, 5, 5, 5, \dots \nonumber \]

Contestar

1. \(425\)
2. \(\dfrac{127}{128}\)
3. \(-\dfrac{521}{3125}\)
4. \(2999997\)
5. \(242\)
6. \(910\)
7. \(-960,800\)
8. \(\dfrac{25,575}{64}\)
9. \(200\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor de la serie geométrica infinita.

1. \(\sum_{j=1}^\infty a_j\), para\(a_j=3\cdot \left(\dfrac 2 3\right)^{j-1}\)
2. \(\sum_{j=1}^\infty 7\cdot \left(-\dfrac 1 5\right)^{j}\)
3. \(\sum_{j=1}^\infty 6\cdot \dfrac 1 {3^j}\)
4. \(\sum_{n=1}^\infty -2\cdot \left(0.8\right)^n\)
5. \(\sum_{n=1}^\infty \left(0.99\right)^n\)
6. \(27+9+3+1+\dfrac 1 3+\dots\)
7. \(-2+1-\dfrac 1 2+\dfrac 1 4-\dots\)
8. \(-6-2-\dfrac 2 3-\dfrac 2 9-\dots\)
9. \(100+40+16+6.4+ \dots\)
10. \(-54+18-6+2- \dots\)

Contestar

1. \(9\)
2. \(-\dfrac{7}{6}\)
3. \(3\)
4. \(-8\)
5. \(99\)
6. \(\dfrac{81}{2}\)
7. \(-\dfrac{4}{3}\)
8. \(-9\)
9. \(\dfrac{500}{3}\)
10. \(-\dfrac{81}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Reescribe el decimal usando una secuencia geométrica infinita, y luego usa la fórmula para series geométricas infinitas para reescribir el decimal como fracción (ver ejemplo 24.2.3).

1. \(0.44444\dots\)
2. \(0.77777\dots\)
3. \(5.55555\dots\)
4. \(0.2323232323\dots\)
5. \(39.393939\dots\)
6. \(0.248248248\dots\)
7. \(20.02002\dots\)
8. \(0.5040504\dots\)

Contestar

1. \(\dfrac{4}{9}\)
2. \(\dfrac{7}{9}\)
3. \(\dfrac{50}{9}\)
4. \(\dfrac{23}{99}\)
5. \(\dfrac{1300}{33}\)
6. \(\dfrac{248}{999}\)
7. \(\dfrac{20000}{999}\)
8. \(\dfrac{560}{1111}\)