1.1: Números reales

Comenzamos nuestro estudio de los números reales discutiendo las reglas para trabajar con estos números y combinándolos de diversas maneras. En la escuela primaria, normalmente comenzamos aprendiendo formas básicas de combinar números, como suma, resta, multiplicación y división, y luego operaciones más avanzadas como exponentes y raíces. No estaremos revisando cada una de estas operaciones, pero discutiremos cómo estas operaciones interactúan entre sí y cómo determinar qué operaciones deben completarse primero en expresiones matemáticas complicadas.

Probablemente ya estés familiarizado con la frase “orden de operaciones”. Cuando los matemáticos se refieren al orden de las operaciones se refieren a una guía para la cual las operaciones deben calcularse primero en expresiones complicadas:

\[\begin{array}{lll}{\text{1. Parentheses}}&{\qquad}&{\text{3. Multiplication/Division}} \\ {\text{2. Exponents}}&{\qquad}&{\text{4. Addition/Subtraction}}\end{array}\nonumber\]

A menudo aprendemos frases como “Por favor, disculpe a mi querida tía Sally” para ayudar a recordar el orden de estas operaciones, pero esta guía pasa por alto algunos detalles importantes. Echemos un vistazo a cada una de las operaciones con más detalle.

1.1.1: Paréntesis

Hay dos detalles importantes en los que enfocarse con paréntesis: anidación y “paréntesis implícitos”. Primero echemos un vistazo a un ejemplo de paréntesis anidados:

Aquí vemos un conjunto de paréntesis “anidado” dentro de un segundo conjunto de paréntesis. Cuando veamos esto, primero queremos comenzar con el conjunto interior de paréntesis:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Nested Parentheses

Evaluar

\[\label{eq:1}2\times(3+(4\times 2))\]

Solución

Aquí vemos un conjunto de paréntesis “anidado” dentro de un segundo conjunto de paréntesis. Cuando veamos esto, queremos comenzar primero con el conjunto interior de paréntesis.

\[\label{eqn:nested_parentheses_soln1} 2\times(3+(4\times2)) = 2\times(3+(8))\]Una vez que simplifiquemos el conjunto interior de paréntesis a donde contienen solo un número, podemos soltarlos. Entonces, es el momento de comenzar en la siguiente capa de paréntesis:\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:nested_parentheses_soln2} \begin{split} 2\times(3+(8)) & =2\times(3+8)\\ & = 2\times (11) \\ & = 22 \end{split}\end{aligned}\end{align}\] Esto da nuestra respuesta final:

\[2\times (3+(4\times 2))=22\]

A veces esto puede resultar confuso cuando tenemos muchas capas de paréntesis. A menudo, verá que los matemáticos usan ambos paréntesis, “(” y “)”, y corchetes, “[” y “]”. Esto puede hacer que sea un poco más fácil ver dónde comienzan los paréntesis y dónde terminan. Veamos un ejemplo:

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Alternating Parentheses and Brackets

Evaluar

\[(2+(3\times (4+(2-1))-1))+2\]

Solución

\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:parentheses_brackets} \begin{split} (2+(3\times(4+(2-1)) -1)) +2 & = [2+(3\times[4+(2-1)] -1)] +2 \\ & = [2+(3\times[4+(1)]-1)]+2 \\ & = [2+(3\times[4+1]-1)]+2 \\ & = [2+(3\times[5]-1)]+2 \\ & = [2+(3\times 5 -1)] + 2 \\ & = [2+(15-1)]+2 \\ & = [2+(14)]+2 \\ & = [2+14] + 2 \\ & = [16] + 2 \\ & = 16 + 2 =18 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Comenzamos por encontrar el conjunto de paréntesis muy interno:\((2-1)\). La siguiente capa de paréntesis la cambiamos a corchetes:\([4+(2-1)]\). Continuamos alternando entre paréntesis y corchetes hasta encontrar todas las capas. Como antes, comenzamos evaluando primero los paréntesis internos:\((2-1)=(1)=1\). La siguiente capa fue corchetes:\([4+1]=[5]=5\). A continuación, teníamos más paréntesis:\((3\times 5 -1)=(15-1)=(14)=14\). Entonces, tuvimos nuestra capa final:\([2+14]+2=[16]+2=16+2=18\).

Esto da nuestra respuesta final:

\[(2+(3\times (4+(2-1))-1))+2=18\]

Cuando estás trabajando este tipo de problemas a mano, también puedes hacer que los paréntesis sean más grandes a medida que te mudes del centro:\[\label{eqn:sizes_of_parentheses} (2+(3\times(4+(2-1)) -1)) +2 = \bigg[2+\Big(3\times \big[4+(2-1)\big] -1\Big)\bigg] +2\]

Esto puede hacer que sea más fácil ver qué parénteses/corchetes están emparejados. Nunca tienes que cambiar un problema de todos los paréntesis a paréntesis y corchetes, pero puedes alternar entre ellos a tu gusto, siempre y cuando coincidas entre paréntesis “(” con paréntesis “)” y corchetes “[” con corchetes “]”.

Hay una cosa más de la que hay que tener cuidado con los paréntesis, y eso es el paréntesis “implícito”. Los paréntesis implícitos son una manera fácil de tener problemas, especialmente si estás usando una calculadora para ayudarte a evaluar una expresión. Entonces, ¿qué son paréntesis implícitos? Son paréntesis que no necesariamente están escritos, sino que están implícitos. Por ejemplo, en una fracción, hay un conjunto de paréntesis implícitos alrededor del numerador y un conjunto de paréntesis implícitos alrededor del denominador:

\[ \frac{3+4}{2+5} = \frac{(3+4)}{(2+5)}\label{implied_parentheses_fraction}\]

Casi nunca verás el segundo formulario escrito, sin embargo el primer formulario puede meterte en problemas si estás usando una calculadora. Si ingresa\(3+4\div 2+5\) en una calculadora, primero hará la división y luego las dos adiciones ya que solo puede seguir el orden de operaciones (enumerado anteriormente). Esto te daría una respuesta de 10. No obstante, a continuación se muestra el trabajo para encontrar la respuesta real.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Implied Parentheses in a Fraction

Evaluar la expresión en\(\eqref{implied_parentheses_fraction}\).

Solución

Primero, volvamos y busquemos\(\eqref{implied_parentheses_fraction}\). Es posible que hayas notado que las fracciones anteriores tienen\(\eqref{implied_parentheses_fraction}\) junto a ellas en el lado derecho de la página. Esto nos dice que\(\eqref{implied_parentheses_fraction}\) se refiere a esta expresión. Ahora que sabemos lo que estamos viendo, vamos a evaluarlo:
\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:implied_parentheses_fraction_solution} \begin{split} \frac{3+4}{2+5} & = \frac{(3+4)}{(2+5)} \\ & = \frac{(7)}{(7)} \\ & = \frac{7}{7} \\ & = 1 \end{split}\end{aligned}\end{align}\] Esto refleja lo que obtendríamos en una calculadora si entráramos\((3+4) \div (2+5)\), dándonos nuestra respuesta final:

\[\frac{3+4}{2+5}=1\]

Como puedes ver, dejar los paréntesis implícitos cambia drásticamente nuestra respuesta. Otro lugar en el que podemos tener paréntesis implícitos es bajo operaciones raíz, como raíces cuadradas:

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Implied Parenthesis Under a Square Root

Evaluar

\[\sqrt{12\times 3}-20\]

Solución

\[\begin{align}\begin{aligned}\sqrt{12\times 3}-20&=\sqrt{(12\times 3)}-20 \\ &=\sqrt{(36)}-20 \\ &=6-20 \\ &=-14 \end{aligned}\end{align}\]

Esto da nuestra respuesta final:

\[\sqrt{12\times 3}-20=-14\]

La mayoría de las calculadoras\(\sqrt{(}\) se mostrarán al presionar el botón de raíz cuadrada; observe que esto le da el paréntesis de apertura, pero no el paréntesis de cierre. Asegúrese de poner el paréntesis de cierre en el lugar correcto. Si lo dejas apagado, la calculadora asume que todo después\(\sqrt{(}\) está bajo la raíz de lo contrario. Esto también se aplica a otros tipos de raíces, como las raíces cúbicas. En la expresión en Ejemplo\(\PageIndex{4}\), sin paréntesis de cierre, nos daría una calculadora\(\sqrt{(}12\times 3 - 20 = \sqrt{(}36 -20 = \sqrt{(}16 = 4\).

Veremos otro ejemplo de un problema común con paréntesis implícitos en la siguiente sección.

1.1.2: Exponentes

Con los exponentes, hay que tener cuidado para aplicar únicamente el exponente al término inmediatamente anterior al mismo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Applying an Exponent

Evaluar

\[2+3^{3}\]

Solución

\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:applying_exponent} \begin{split} 2+3^3 & = 2 + 27 \\ & = 29 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Observe que solo cubicamos la\(3\) y no la expresión\(2+3\), dándonos una respuesta final de

\[2+3^{3}=29\]

Esto parece relativamente sencillo, pero hay un caso especial en el que es fácil confundirse, y se relaciona con paréntesis implícitos.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Applying an Exponent When there is a Negative

Evaluar

\[-4^{2}\]

Solución

\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:applying_exponent_negative} \begin{split} -4^2 & = - (4^2) \\ & = - (16) \\ &=-16 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Aquí, nuestra respuesta final es

\[-4^{2}=-16\]

Observe dónde colocamos el paréntesis implícito en el problema. Dado que los exponentes sólo aplican al término inmediatamente anterior a ellos, sólo el\(4\) es cuadrado, no\(-4\). Dar el paso extra para incluir estos paréntesis implícitos ayudará a reforzar este concepto para ti; te obliga a tomar una decisión clara para mostrar cómo se está aplicando el exponente. Si quisiéramos cuadrar\(-4\), escribiríamos\((-4)^2\) en vez de\(-4^2\).

Tenga en cuenta que no llevamos esto al extremo;\(12^2\) todavía significa “tomarlo\(12\) y cuadrarlo”, en lugar de\(1\times (2^2)\).

También es importante señalar que todas las operaciones de raíz, como las raíces cuadradas, cuentan como exponentes, y deben hacerse después de paréntesis pero antes de la multiplicación y división.

1.1.3: Multiplicación y División

En nuestra lista original para el orden de las operaciones, enumeramos multiplicación y división en la misma línea. Esto se debe a que los matemáticos consideran que la multiplicación y la división están en el mismo nivel, es decir, que uno no tiene prioridad sobre el otro. Esto significa que no debes hacer todos los pasos de multiplicación y luego todos los pasos de división. En cambio, debes hacer multiplicación/división de izquierda a derecha.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Multiplication/Division: Left to Right

Evaluar

\[6\div 2\times 3+1\times 8\div 4\]

Solución

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 6 \div 2 \times 3 + 1 \times 8 \div 4 & = 3 \times 3 + 1 \times 8 \div 4 \\ & = 9 + 1 \times 8 \div 4 \\ & = 9 + 8 \div 4 \\ & = 9 + 2 \\ & = 11 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Como esta expresión no tiene paréntesis ni exponentes, buscamos multiplicación o división, comenzando por la izquierda. Primero, nos encontramos\(6\div 2\), lo que da\(3\). A continuación, tenemos\(3 \times 3\), dando 9. La siguiente operación es una suma, así que la saltamos hasta que no tengamos más multiplicación o división. Eso quiere decir que tenemos a\(1 \times 8=8\) continuación. Nuestro último paso en este nivel es\(8 \div 4=2\). Ahora, solo nos queda adición:\(9+2 = 11\). Nuestra respuesta final es

\[6\div 2\times 3+1\times 8\div 4=11\]

Tenga en cuenta que obtenemos una respuesta diferente, incorrecta, de 3 si hacemos toda la multiplicación primero y luego toda la división.

1.1.4: Suma y resta

Al igual que con la multiplicación y división, la suma y la resta están en el mismo nivel y deben realizarse de izquierda a derecha:

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Addition/Subtraction: Left to Right

Evaluar\[1-3+6\]

Solución

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 1-3+6 & = -2 + 6 \\ & = 4 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Al hacer suma y resta en el mismo nivel, de izquierda a derecha, obtenemos una respuesta final de

\[1-3+6=4\]

Nuevamente, tenga en cuenta que si hacemos toda la suma y luego toda la resta, obtenemos una respuesta incorrecta de\(-8\).

1.1.5: Resumen: Orden de Operaciones

Ahora que hemos refinado algunas de las ideas sobre el orden de las operaciones, vamos a resumir lo que tenemos:

1. Paréntesis (incluyendo paréntesis implícitos)
2. Exponentes
3. Multiplicación/División (de izquierda a derecha)
4. Sumación/resta (de izquierda a derecha)

Repasemos un ejemplo que usa todas nuestras reglas.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\): Order of Operations

Evaluar\[-2^2 + \sqrt{6-2} - 2 (8 \div 2 \times (1+1))\]

Solución

Como esto es más complicado que nuestros ejemplos anteriores, hagamos una tabla que muestre cada paso a la izquierda, con una explicación a la derecha:

\(-2^2 + \sqrt{6-2} - 2 (8 \div 2 \times (1+1))\)=	Tenemos un poco de todo aquí, así que escribamos primero los paréntesis implícitos.
\(= -2^2 + \sqrt{(6-2)} - 2 (8 \div 2 \times (1+1))\)	Hemos anidado paréntesis en el extremo derecho, así que vamos a trabajar en el conjunto interior.
\(= -2^2 + \sqrt{(6-2)} - 2 (8 \div 2 \times 2)\)	No hay más paréntesis anidados, así que vamos a trabajar en el conjunto de paréntesis en el extremo izquierdo.
\(= -2^2 + \sqrt{4} - 2 (8 \div 2 \times 2)\)	Ahora, trabajaremos en el otro conjunto de paréntesis. Este conjunto sólo tiene multiplicación y división, así que trabajaremos de izquierda a derecha dentro de los paréntesis.
\(= -2^2 + \sqrt{4} - 2 (4 \times 2)\)	Ahora, vamos a completar ese conjunto de paréntesis.
\(= -2^2 + \sqrt{4} - 2 (8)\)	Vamos a reescribir ligeramente para deshacernos por completo de todos los paréntesis.
\(= -2^2 + \sqrt{4} - 2 \times 8\)	Ahora, trabajaremos en exponentes, de izquierda a derecha.
\(= -4 + \sqrt{4} - 2 \times 8\)	Solo cuadramos 2, y no\(-2\). Las raíces cuadradas son realmente exponentes, así que nosotros nos encargaremos de eso a continuación.
\(= -4 + 2 - 2 \times 8\)	Terminamos con exponentes; tiempo para multiplicación/división.
\(= -4 + 2 - 16\)	Ahora, solo quedan sumas y restas, así que trabajaremos de izquierda a derecha.
\(= -2 - 16\)	¡Casi ahí!
\(=-18\)

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Nuestra respuesta final es

\[-2^{2}+\sqrt{6-2}-2(8\div 2\times (1+1))=-18\]

1.1.6: Cómputos con Números Racionales

Los números racionales son números reales que se pueden escribir como una fracción, como\(\frac{1}{2}\),\(\frac{5}{4}\), y\(-\frac{2}{3}\). Se puede notar que\(\frac{5}{4}\) es un tipo especial de número racional, llamado fracción impropia. Se llama impropio porque el valor en el numerador,\(5\), es mayor que el número en el denominador,\(4\). A menudo, a los estudiantes se les enseña a escribir estas fracciones impropias como números mixtos:\(\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}\). Esto sí ayuda a dar una estimación rápida del valor; podemos ver rápidamente que está entre 1 y 2. Sin embargo, escribir como un número mixto puede dificultar los cálculos y puede generar cierta confusión cuando se trabaja con expresiones complicadas; puede ser tentador ver\(1 \frac{1}{4}\) como\(1\times \frac{1}{4}\) más que\(\frac{5}{4}\). Por esta razón, dejaremos todas las fracciones impropias como fracciones impropias.

Con las fracciones, la multiplicación y los exponentes son dos de las operaciones más fáciles de trabajar, mientras que la suma y la resta son más complicadas. Empecemos por mirar cómo trabajar con la multiplicación de fracciones.

Ejemplo\(\PageIndex{10}\): Multiplication of Fractions

Evaluar\[\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times 2\]

Solución

Con la multiplicación de fracciones, trabajaremos igual que hacemos con cualquier otro tipo de número real y multiplicaremos de izquierda a derecha. Al multiplicar dos fracciones juntas, multiplicaremos sus numeradores juntos (los tops) y multiplicaremos los denominadores juntos (los fondos). \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \times 2 & = \frac{1\times 2}{4 \times 3} \times 2 \\ & = \frac{2}{12} \times 2 \\ & = \frac{1}{6} \times 2 \\ & = \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} \\ & = \frac{1\times 2}{6 \times 1} \\ & = \frac{2}{6} \\ & = \frac{1}{3} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Después de cada paso, buscamos ver si podemos simplificar alguna fracción. Después de la primera multiplicación, obtenemos\(\frac{2}{12}\). Ambos\(2\) y\(12\) tienen\(2\) como factor (ambos son divisibles por\(2\)), así podemos simplificar dividiendo cada uno por 2, dándonos\(\frac{1}{6}\). Antes de hacer la segunda multiplicación, transformamos el número entero, 2, en una fracción escribiéndolo como\(\frac{2}{1}\). Entonces, podemos calcular la multiplicación de las dos fracciones, dándonos\(\frac{2}{6}\). Podemos simplificar esto porque 2 y 3 tienen 2 como factor común, así que nuestra respuesta final es

\[\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}\times 2=\frac{1}{3}\]

A continuación, veamos la exponenciación de una fracción.

Ejemplo\(\PageIndex{11}\): Exponentiation of a Fraction

Evaluar\[\bigg( \frac{1+2}{5} \bigg) ^2\]

Solución

Con la exponenciación, necesitamos aplicar el exponente tanto al numerador como al denominador. Esto le da a\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \bigg(\frac{1+2}{5} \bigg)^2 & = \bigg(\frac{(1+2)}{(5)}\bigg)^2 \\[6pt] & = \bigg(\frac{(3)}{(5)}\bigg)^2 \\[6pt] & = \bigg(\frac{3}{5} \bigg)^2 \\[6pt] & = \frac{3^2}{5^2} \\[6pt] & = \frac{9}{25} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]
Notice que tuvimos cuidado de incluir los paréntesis implícitos alrededor del numerador y alrededor del denominador. Esto ayuda a garantizar que estamos siguiendo correctamente el orden de las operaciones al trabajar primero dentro de cualquier paréntesis, antes de aplicar el exponente. No podemos simplificar nuestra fracción en ningún momento ya que 3 y 5 no comparten ningún factor. Esto nos da nuestra respuesta final de

\[\left(\frac{1+2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}\]

Con la división de fracciones, vamos a construir a partir de la multiplicación. Por ejemplo, si queremos dividir un número por 2, sabemos que en cambio podríamos multiplicarlo por\(\frac{1}{2}\) porque dividir algo en dos partes iguales es lo mismo que dividirlo por la mitad. Estos números son recíprocos; 2 se puede escribir como\(\frac{2}{1}\) y si lo volteamos, obtenemos\(\frac{1}{2}\), su recíproco. Esto funciona para cualquier fracción; si queremos dividir por\(\frac{5}{6}\), en cambio podemos multiplicar por su recíproco,\(\frac{6}{5}\).

La suma y resta de fracciones puede ser un poco más complicada. Con una fracción, podemos pensar en trabajar con piezas de un todo. El denominador nos dice en cuántas piezas dividimos el ítem, y el numerador nos dice cuántas piezas estamos usando. Por ejemplo, nos\(\frac{3}{4}\) dice que dividimos el artículo en 4 piezas y estamos usando 3 de ellas. Para sumar o restar fracciones, necesitamos trabajar con piezas que sean todas del mismo tamaño, por lo que nuestro primer paso será conseguir un denominador común. Esto lo haremos multiplicando por 1 de manera furtiva. Multiplicar por 1 no cambia el significado de nuestra expresión, pero nos permitirá asegurarnos de que todas nuestras piezas sean del mismo tamaño.

Ejemplo\(\PageIndex{12}\): Addition and Subtraction of Fractions

Evaluar\[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\]

Solución

Ya que solo tenemos suma y resta, trabajaremos de izquierda a derecha. Esto quiere decir que nuestro primer paso es restar\(\frac{1}{3}\) de\(\frac{1}{2}\). Los denominadores son diferentes, por lo que aún no tenemos piezas que sean todas del mismo tamaño. Para asegurarnos de que nuestras piezas sean todas del mismo tamaño, multiplicaremos cada término por 1; multiplicaremos\(\frac{1}{2}\) por\(\frac{3}{3}\) y multiplicaremos\(\frac{1}{3}\) por\(\frac{2}{2}\). Ya que estamos multiplicando por el factor “faltante” para cada uno, ambos tendrán el mismo denominador. Una vez que tengan el mismo denominador, podemos combinar los numeradores:

\[\begin{align}\begin{aligned}\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}&=\frac{1}{2}\times\frac{3}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{2}{2}+\frac{1}{4} \\ &=\frac{3}{6}-\frac{2}{6}+\frac{1}{4} \\ &=\frac{3-2}{6}+\frac{1}{4} \\ &=\frac{1}{6}+\frac{1}{4} \\ &=\frac{1}{6}\times\frac{2}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{3}{3} \\ &=\frac{2}{12}+\frac{3}{12} \\ &=\frac{2+3}{12}\\ &=\frac{5}{12}\end{aligned}\end{align}\]

Después de combinar las dos primeras fracciones, tuvimos que encontrar un denominador común para las dos fracciones restantes. Aquí, encontramos el denominador común más pequeño posible. Esto lo hicimos al mirar cada denominador y factorizarlos. El primer denominador, 6, tiene 2 y 3 como factores; el segundo denominador, 4 tiene 2 como factor repetido desde entonces\(4=2\times2\). Esto significa que nuestro denominador común necesitaba tener 3 como factor y 2 como factor doble:\(3\times 2 \times 2 = 12\). No tenemos que encontrar el denominador común más pequeño, pero a menudo mantiene los números más manejables. En cambio, podríamos haber hecho:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{1}{6} + \frac{1}{4} & = \frac{1}{6} \times \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{6}{6} \\[6pt] & = \frac{4}{24} + \frac{6}{24} \\[6pt] & = \frac{4+6}{24} \\[6pt] & = \frac{10}{24} \\[6pt] & = \frac{5}{12} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Todavía terminamos con la misma respuesta final:

\[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}\]

Al igual que las fracciones, también puede ser difícil trabajar con decimales. Tenga en cuenta que todos los decimales repetidos y todos los decimales de terminación se pueden escribir como fracciones:\(0.\overline{333} = \frac{1}{3}\) y\(2.1 = 2 + \frac{1}{10} = \frac{20}{10} + \frac{1}{10} = \frac{21}{10}\). Puedes convertirlas en fracciones o puedes trabajar con ellas como decimales. Al sumar o restar decimales, asegúrese de alinear los números en el punto decimal. Al multiplicar, primero multiplique como si no hubiera decimales, alineando el último dígito de cada número. Entonces, como tu paso final coloca el punto decimal para que tenga el número apropiado de dígitos después de él. Por ejemplo,

\[\begin{array}{c} \phantom{\times999}1.2\\ \underline{\times\phantom{99}1.1\phantom{.}5}\\ \phantom{\times999.}6\phantom{.}0\\ \phantom{\times9}1\phantom{.}2 \\ \underline{\phantom{\times}1\phantom{.}2\phantom{.9.}}\\ \phantom{\times 1} 1.3\phantom{.}8 \phantom{.} 0 \end{array}\]
Debido a que 1.2 tiene un dígito después del decimal y 1.15 tiene 2 dígitos después del decimal, necesitamos un total de\(1+2=3\) dígitos después del decimal en nuestra respuesta final, dándonos 1.380, o 1.38. Es importante señalar que colocamos el punto decimal antes de dejar caer el cero al final; nuestra respuesta final tendría un significado bastante diferente de lo contrario.

1.1.7: Cómputos con Unidades

Hasta el momento, sólo hemos mirado ejemplos sin ningún contexto para ellos. No obstante, en el cálculo verás muchos problemas que se basan en un problema del mundo real. Este tipo de problemas vendrán con unidades, ya sea que el problema se centre en longitudes, tiempo, volumen o área. Con estos problemas, es importante incluir unidades como parte de tu respuesta. Al trabajar con unidades, primero debe asegurarse de que todas las unidades sean consistentes; por ejemplo, si encuentra el área de un cuadrado y un lado se mide en pies y el otro lado en pulgadas, necesitará convertir para que ambos lados tengan las mismas unidades. Podrías usar medidas que sean ambas en pies o ambas en pulgadas, cualquiera te dará una respuesta significativa. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo\(\PageIndex{13}\): Determining Volume

Determine el volumen de un sólido rectangular que tenga un ancho de 8 pulgadas, una altura de 3 pulgadas y una longitud de 0.5 pies.

Solución

Primero, necesitamos obtener todas nuestras medidas en las mismas unidades. Dado que dos de las dimensiones se dan en pulgadas, comenzaremos convirtiendo la tercera dimensión en pulgadas también. Ya que hay 12 pulgadas en un pie, obtenemos

\[\begin{align}\begin{aligned}0.5\text{ ft}\times\frac{12\text{ in}}{1\text{ ft}}&=\frac{0.5\times 12\text{ ft}\times\text{in}}{1\text{ ft}} \\&=\frac{6\text{ ft}\times\text{in}}{1\text{ ft}}\\ &=6\text{ in}\end{aligned}\end{align}\]

En el último paso simplificamos nuestra fracción. Podemos simplificar\(\frac{6}{1}\) como\(6\), y podemos simplificar\(\frac{\text{ ft} \times \text{ in}}{\text{ft}}\) como en. Esto significa que sabemos que nuestro sólido rectangular tiene 8 pulgadas de ancho, 3 pulgadas de alto y 6 pulgadas de largo. El volumen es entonces

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} V &= (8 \text{ in})\times (3 \text{ in}) \times (6 \text{ in})\\ &= (8 \times 3 \times 6) \times (\text{ in} \times \text{ in} \times \text{ in}) \\ & = (24 \times 6)\times (\text{ in} \times \text{ in} \times \text{ in}) \\ & = 144 \text{ in}^3 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Dado que las tres medidas están en pulgadas y se están multiplicando, terminamos con unidades de pulgadas en cubos, dándonos una respuesta final de

\[V=144\text{ in}^{3}\]

Las unidades también pueden darte pistas sobre cómo se calcula un número. Por ejemplo, la velocidad de un automóvil a menudo se mide en mph, o millas por hora. Escribimos estas unidades en forma de fracción como\(\frac{\text{miles}}{\text{hour}}\), lo que nos dice que en nuestros cálculos deberíamos estar dividiendo una distancia por un tiempo. A veces, sin embargo, un problema comenzará con unidades, pero la respuesta final no tendrá unidades, es decir, no tiene unidades. Encontraremos ejemplos de esto cuando discutamos las funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas se pueden calcular como una relación de longitudes laterales de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo con una pierna de 3 pulgadas de largo y una hipotenusa de 5 pulgadas, la relación entre la longitud de la pierna y la longitud de la hipotenusa es\(\frac{3 \text{ in}}{5 \text{ in}}=\frac{3}{5}\). Dado que ambos lados se miden en pulgadas, las unidades se cancelan cuando calculamos la relación. Veríamos la misma respuesta final si el triángulo tuviera un tramo de 3 millas y una hipotenusa de 4 millas; son triángulos similares, por lo que las proporciones son las mismas.

En esta sección, hemos examinado cómo trabajar con operaciones matemáticas básicas y cómo estas operaciones interactúan entre sí. En la siguiente sección hablaremos sobre cómo hacer reglas u operaciones especializadas mediante el uso de funciones. En los ejercicios que siguen a esta sección, continuamos nuestro trabajo con orden de operaciones y practicamos estas reglas en situaciones con un poco más de contexto. Tenga en cuenta que las respuestas a todos los problemas de ejemplo están disponibles al final de este libro para ayudarlo a medir su nivel de comprensión. Si tu profesor lo permite, es una buena idea verificar la respuesta a cada pregunta a medida que la completes; esto te permitirá ver si entiendes las ideas y te impedirá practicar estas reglas incorrectamente.