1.2: Introducción a las funciones

Esta sección introduce ideas y notación para funciones. Gran parte del trabajo en cálculo se basa en gran medida en comprender el significado de una función y una comprensión adecuada de la notación de funciones. Aquí hablaremos sobre estas ideas y trabajaremos a través de varios ejemplos que involucran la notación de funciones y cómo se relacionan con el cálculo.

1.2.1: ¿Qué es una función?

En matemáticas, buscamos patrones que ayuden a explicar el mundo que nos rodea. Los matemáticos suelen utilizar funciones para expresar estos patrones de manera sucinta. Por ejemplo, aprendemos en geometría que el área de un cuadrado con lados de longitud de 2 pulgadas está\(2\times 2=4\) adentro\(^2\). Del mismo modo, si el cuadrado tiene lados de 3 pulgadas de longitud, su área está\(3\times 3 = 9\) adentro\(^2\). Esto nos muestra un patrón para determinar el área de un cuadrado: si conocemos la longitud lateral, simplemente multiplicamos la longitud lateral por sí mismo para obtener el área. En lugar de escribir cómo se ve esta regla para todo tipo de longitudes de lado diferentes, podemos expresar el patrón como una función:

\[\begin{align}\begin{aligned}A(x)&=x\times x \\  &=x^{2} \end{aligned}\label{area}\end{align}  \]

Esta función nos dice que el área de un cuadrado con lados de longitud\(x\) tiene un área de\(x^2\). Esto es mucho más compacto que escribir una mesa con todo tipo de diferentes longitudes y áreas laterales.

1.2.2: Notación de funciones

Aquí decimos que\(x\) es la entrada de la función\(A(x)\) (leída como “\(A\)de\(x\)”), y esa\(x^2\) es la salida correspondiente. Observe que ya que llegamos a elegir el “nombre” de la función,\(A\), usamos algo que tiene algún significado para nuestro ejemplo; nuestra función nos da área, así que llamar a la función\(A\) hace que sea más claro que si hubiéramos elegido algo así como\(l(x)\), donde podrías estar tentado a pensar\(l\) por la longitud.

Los matemáticos suelen usar letras como\(f\)\(g\),, y\(h\) para nombrar sus funciones, pero puedes nombrar tus funciones como quieras. De hecho, algunas funciones con las que quizás ya estés familiarizado tienen nombres más largos, como\(\sin\) para la función seno o\(\cos\) para la función coseno. Del mismo modo, los matemáticos suelen utilizar\(x\) para representar la entrada de la función, pero puedes elegir el nombre que quieras. En nuestro ejemplo anterior, podríamos usar\(l\) como nuestro insumo para representar “longitud”, dándonos\(A(l) = l^2\). Esto se ve un poco diferente a usar\(A(x)\), pero proporciona el mismo significado para los matemáticos: toma tu entrada y cuadrácela

A menudo, los matemáticos usarán “la función\(A\)” y “la función\(A(x)\)” indistintamente. Ambos nos dicen usar la misma regla que se muestra en\(\eqref{area}\), pero la segunda nos da un bit de información agregado; nos dice que para la función\(A\),\(x\) es nuestra variable de entrada. Para nuestra función de ejemplo, esta información no es particularmente útil porque la única letra en el lado derecho de nuestra función es\(x\), pero algunas funciones tendrán otras letras que no son variables de entrada. Nos encontraremos con esto bastante a menudo en cálculo. Por ejemplo, supongamos que queremos saber la altura de una pelota que ha sido lanzada al aire. La física (y el cálculo) nos da una función para esto:

\[ h(t)=h_0+v_0 t +\frac{1}{2}a t^2\label{height}\]

Como el lado izquierdo tiene\(h(t)\), sabemos que\(t\) es nuestra variable de entrada, pero tenemos muchas otras letras en el lado derecho. Todas estas letras tienen significado para este problema:\(h_0\) es la altura inicial de la pelota,\(v_0\) es la velocidad a la que fue arrojada, y\(a\) es la aceleración debida a la gravedad. Si bien todos tienen significado y pueden cambiar en función de la instancia particular de que se lanza una pelota, se consideran parámetros de la función, y no variables de entrada. ¿Por qué? Bueno, en cuanto se lance la pelota,,\(h_0\)\(v_0\), y\(a\) no va a cambiar por esa pelota. Sólo cambia el tiempo que la pelota ha estado en el aire; la pelota tiene una altura diferente después de\(t=2000\) segundos que después de solo\(t=2\) segundos. Por lo tanto, solo\(t\) es una variable de entrada para esta función. Si bien puede no parecer un gran problema escribir\(A\) en lugar de\(A(x)\), podemos ver que escribir\(h\) en lugar de\(h(t)\) podría generar confusión, así que es bueno tener cuidado e incluir esa variable de entrada cuando no está perfectamente clara.

1.2.3: Evaluar una función

Ahora que estamos familiarizados con el motivo por el que usamos funciones veamos cómo evaluar una función. Empezaremos evaluando una función para un solo valor.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Evaluating a Function at a Point

Determinar el valor de\(f(-2)\) if\(f(x)=x^2+4x-10\).

Solución

Primero, notamos que el lado izquierdo nos dice que nuestro insumo es\(x\). Como queremos determinar el valor de\(f(-2)\), reemplazaremos cada uno del\(x\) lado derecho con\((-2)\). \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} f(-2) & = (-2)^2+4(-2)-10 \\ & = (4) + 4(-2)-10 \\ & = 4-8-10=-14 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Entonces, encontramos que

\[f(-2)=-14\]

Es bueno notar que la pregunta en Ejemplo se\(\PageIndex{1}\) puede escribir de varias maneras diferentes. Todos los siguientes requieren el mismo trabajo, pero están redactados de formas ligeramente diferentes:

• Determinar el valor de\(f(-2)\)

• Determinar el valor de\(f(x)\) for\(x=-2\)

• Evaluar\(f(-2)\)

• Evaluar\(f\) en\(-2\)

Probablemente haya más formas de hacer esta pregunta, pero estas son algunas de las más comunes. Veamos un ejemplo donde la función tiene parámetros.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Evaluating a Function with Parameters

Usando la fórmula de altura en ecuación\(\eqref{height}\), determinar la altura de una pelota 5 segundos después de que fue lanzada.

Solución

Primero, asegurémonos de que tenemos la ecuación correcta. La\(\eqref{height}\) etiqueta está al lado\(h(t)=h_0+v_0t+\frac{1}{2}a t^2\), así que eso nos dice que estamos trabajando con esa función. El lado izquierdo nos dice que\(t\) es nuestra variable de entrada ya que se llama a la función\(h(t)\). Eso significa que tenemos que sustituir\((5)\) por\(t\) todas partes\(t\) aparece en la función:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} h(5) & = h_0 + v_0 (5) + \frac{1}{2} a (5)^2 \\ & = h_0 + 5 v_0 + \frac{1}{2} a (25) \\ & = h_0 + 5 v_0 + \frac{25}{2}a \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Observe que nuestra respuesta incluye los tres parámetros. Esto es de esperar porque no se nos dieron valores para estos parámetros, así que los dejaremos como letras en lugar de inventar números para usar. Esto nos da la flexibilidad para determinar la altura después de 5 segundos para una variedad de valores de parámetros, y da una respuesta final de

\[h(5)=h_{0}+5v_{0}+\frac{25}{2}a\]

Observe que en Ejemplo\(\PageIndex{1}\), reemplazamos\(x\) no solo con\(-2\), sino con\((-2)\) y en Ejemplo\(\PageIndex{2}\) reemplazamos por\(t\)\((5)\). Esto ayuda en un par de formas. Primero, se asegura de que no nos perdamos ningún paréntesis implícito cuando cuadramos\(x\) en Ejemplo\(\PageIndex{1}\). Segundo, se asegura de que reemplazemos\(x\) y\(t\) con toda la entrada. Esto se vuelve muy importante en el cálculo. En el cálculo diferencial, pasarás mucho tiempo mirando qué tan rápido cambian las salidas de función cuando la entrada solo cambia un poquito. Esto lo harás observando un cociente de diferencia para la función. La forma general de cociente de diferencia para la función\(f(x)\) que va a utilizar es:

\[\label{eqn:difference_quotient} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]

Observe que el numerador comienza con\(f(x+h)\). Esto significa que cada\(x\) en el lado derecho necesita ser reemplazada con\(x+h\). Aquí, los paréntesis marcan una gran diferencia incluso con una función simple como\(p(x)=x^2\). Si incluimos los paréntesis, obtenemos que

\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:p(x+h)} \begin{split} p(x+h) & = (x+h)^2 \\ & = (x+h)\times (x+h) \\ & = x^2+2xh+h^2 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Sin embargo, si no incluimos los paréntesis, obtendríamos\(x+h^2\), que es una respuesta muy diferente (e incorrecta). Veamos un ejemplo de encontrar un cociente de diferencia para una función más complicada.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding a Difference Quotient

Encuentra el cociente de diferencia para\(g(t) = 2t^2-3t+1\)

Solución

Aquí tenemos una función llamada\(g\), con\(t\) como su entrada. Eso quiere decir que en nuestro cociente de diferencia, tendremos\(g\) en lugar de\(f\) y\(t\) en lugar de\(x\), pero\(h\) seguirá siendo\(h\). Entonces, nuestro cociente de diferencia se verá como\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{g(t+h)-g(t)}{h} & = \frac{\big[2(t+h)^2-3(t+h)+1\big] - \big[2t^2-3t+1 \big]}{h} \\ & = \frac{\big[2(t^2+2th+h^2)-3(t+h)+1\big] - \big[2t^2-3t+1 \big]}{h} \\ & = \frac{\big[2t^2+4th+2h^2-3t-3h+1\big] - \big[2t^2-3t+1 \big]}{h} \\ & = \frac{2t^2+4th+2h^2-3t-3h+1- \big[2t^2-3t+1 \big]}{h} \\ & = \frac{2t^2+4th+2h^2-3t-3h+1- 2t^2+3t-1 }{h} \\ & = \frac{4th+2h^2-3h}{h} \\ & = 4t+2h-3 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Aquí hay algunas cosas importantes para notar. Primero, cuando\(t\) reemplazamos por\((t+h)\) en el primer término, incluimos esos paréntesis para asegurarnos de que usamos toda la entrada. Segundo, de la línea 3 a la línea 5, dejamos caer todos los paréntesis; cuando hicimos esto nos aseguramos de distribuir lo negativo a todo dentro del segundo conjunto de paréntesis, y no sólo al primer término. Terminamos con una respuesta final de

\[\frac{g(t+h)-g(t)}{h}=4t+2h-3\]

1.2.4: Tipos comunes de funciones

Hay varios tipos diferentes de funciones que se usan comúnmente en el cálculo. En esta sección, describiremos brevemente cada uno. Posteriormente, hablaremos sobre cómo podemos combinarlos de diferentes maneras, qué tipos de entradas pueden tomar estas funciones y cómo son sus gráficas.

Funciones de alimentación

Una función de potencia es cualquier función que involucra una variable elevada a una potencia:

\[\label{eqn:power_function} f(x)= a x ^ b\]

Aquí, el lado izquierdo nos dice que\(x\) es la variable;\(a\) y\(b\) son parámetros que pueden ser cualquier número real. Porque\(a\) y\(b\) puede ser cualquier cosa, este es un tipo de función muy general, lo que significa que las propiedades de la función pueden ser muy diferentes en función de estos valores de\(a\) y\(b\).

Un monomio es un tipo especial de función de potencia donde\(b\) es un entero no negativo; esto significa que\(b\) puede ser 0, 1, 2, 3, etc. llamamos\(b\) el grado de la función. \(f(x) = 2x\)tiene grado 1,\(g(x) = 45x^{13}\) tiene grado 13, y\(h(x)=12 = 12x^0\) tiene grado 0. Posteriormente, veremos que el grado nos ayuda a determinar rápidamente la forma de la función cuando la graficamos.

Si tomamos uno o más monomios y los sumamos juntos, obtenemos un polinomio. Eso quiere decir que\(f(x) = 2x\)\(g(x) = 45x^{13}\),, y no solo\(h(x)=12 = 12x^0\) son monomios, sino también polinomios, y si los sumamos todos juntos obtenemos un nuevo polinomio:\(p(x) = 45x^{13}+2x+12\). Podríamos obtener un polinomio diferente tomando la diferencia (restándolos):\(q(x)=-45x^{13}-2x-12\). Hay muchos más polinomios que podríamos hacer a partir de las tres funciones con varias combinaciones de suma y resta.

Tradicionalmente, los polinomios se escriben primero con el monomio de mayor grado porque para grandes valores de\(x\) éste se convierte en el término más importante. El monomio de grado más alto también nos dice el grado del polinomio:\(p(x)\) y\(q(x)\) ambos tienen grado 13. Si el grado del polinomio es 3, como con\(r(\theta) = 4\theta^3 + 2 \theta^2 - 5\theta +2\), podemos llamarlo función cúbica, y si el grado es 2, lo llamamos función cuadrática. Si el grado es 1, como con\(n(t) = 5t-2\), simplemente lo llamamos función lineal, y si el grado es 0, decimos que es una función constante. Todos estos cuatro tienen nombres especiales porque se acostumbran muy a menudo en matemáticas.

Funciones raíz

Posteriormente, hablaremos más sobre la importancia de las funciones raíz, pero por ahora nos centraremos en lo que buscan línea en su forma general. Una función raíz es cualquier función que parece\(f(x) = x^{1/n}\) donde\(n\) es un número natural (un entero positivo, o contando número como 1, 2, 3, 4, etc.). Esto significa que las funciones raíz son un tipo especial de función de potencia. La función raíz más utilizada es la función raíz cuadrada,\(f(x)= x^{1/2}\). Lo más probable es que hayas visto esto escrito de una forma diferente:\(f(x) = \sqrt{x}\). Hay muchas otras funciones raíz como la función raíz cúbica (\(g(x) = x^{1/3}=\sqrt[3]{x}\)) y la cuarta función raíz (\(h(x) = x^{1/4} = \sqrt[4]{x}\)). En general, decimos que\(x^{1/n}\) es la\(^{th}\) raíz n de\(x\), así se\(x^{1/7}\) llamaría la séptima raíz de\(x\). Estas a veces pueden ser complicadas de evaluar. Probablemente lo sepas\(9^{1/2} = \sqrt{9} = 3\) porque\(3^2=9\), pero pocas personas conocen una buena aproximación para\(5^{1/2}\). En estas situaciones, suele ser mejor dejar tu respuesta como\(5^{1/2}\) o en\(\sqrt{5}\) lugar de usar una calculadora para convertirla en decimal porque es más precisa (y más rápida de escribir que 2.2360679775).

Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales tienen la forma\(f(x) = b^x\), con\(b>0\) y\(b\neq 1\). Observe que como una función de potencia, una función exponencial involucra a un exponente, pero hay una gran diferencia. Para una función de potencia, la variable de entrada,\(x\) es la base con un parámetro como exponente. Para una función exponencial, los roles se intercambian: la base es un parámetro y la variable de entrada es el exponente.

Funciones logarítmicas

Los logaritmos o funciones logarítmicas son bastante importantes en muchas aplicaciones del cálculo porque cada función logarítmica es la inversa de una función exponencial. Tienen la forma\(f(x) = \log_b{(x)}\). Al igual que con exponenciales, necesitamos\(b>0\) y\(b\neq1\). Hay dos logaritmos de uso muy común. La primera es\(\log_{10}{(10)}\), leída como “log base 10 de\(x\).” A veces verás esto escrito como solo\(\log{(x)}\) en lugar de\(\log_{10}{(x)}\). El segundo logaritmo de uso común es\(\log_{e}{(x)}\), “log base\(e\) of\(x\)”, también conocido como el logaritmo natural (comúnmente escrito como\(\ln{(x)}\)).

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones que relacionan los ángulos de un triángulo con la longitud de los lados en ese triángulo. También se pueden usar para describir muchos fenómenos naturales como las ondas (sonido, luz y ondas de agua) y el movimiento armónico (movimiento que repite el mismo patrón una y otra vez, también conocido como movimiento cíclico). Las funciones trigonométricas que se utilizan más comúnmente son seno (\(\sin{(x)}\)), coseno (\(\cos{(x)}\)) y tangente (\(\tan{(x)}\)). Hablaremos de estas funciones y su aplicación más adelante en este texto.

1.2.5: Combinar funciones

Si bien cada uno de estos tipos de funciones tiene su propio conjunto de usos especiales, a menudo se necesitan combinaciones de estas funciones para modelar eventos con precisión. Para esta sección, usaremos tres funciones diferentes para ayudar a proporcionar ejemplos de cómo podemos combinar y modificar funciones:

\[\label{eqn:combine_fncts_f} f(x) = 3x^2\]

\[\label{eqn:combine_fncts_g} g(x) = x-4\]

\[\label{eqn:combine_fncts_h} h(x) = \sqrt{x} + 6\]

En el cálculo diferencial es muy importante poder reconocer cómo se combinan las funciones. La forma en que se combinan impacta en gran medida cómo se toma la derivada de la función. Este texto no abarcará derivados, pero son uno de los temas más importantes en el cálculo, por lo que poder reconocer estos métodos de combinación será bastante útil en el cálculo.

Multiplos escalares de funciones

La primera forma en que podemos modificar funciones es con la multiplicación escalar. Esto simplemente significa multiplicar la función por una constante (un número). Por ejemplo,

• \(4f(x)=4(3x^2) = 12x^2\);

• \(4g(x) = 4(x-4) = 4x-16\);

• \(4h(x) = 4(\sqrt{x} + 6) = 4\sqrt{x} + 24\).

No hay nada especial en el número\(4\), podríamos multiplicar por cualquier cosa: números negativos, números positivos, números enteros, fracciones, decimales, o incluso cero (aunque eso haría un resultado bastante aburrido). Observe que para cada uno de estos usamos paréntesis alrededor de toda la función cuando multiplicamos. Esto asegura que realmente multiplicamos toda la función por\(4\), y no solo parte de la función. Esto es particularmente importante con\(g(x)\) y\(h(x)\) puesto que cada uno ya tenía dos términos y tuvimos que distribuir el\(4\) a ambos términos.

Sumas y diferencias de funciones

Una forma de combinar funciones es sumarlas (sumas) o restarlas (diferencias) entre sí. Por ejemplo, la suma de\(f(x)\) y\(g(x)\) es\(f(x)+g(x) = 3x^2 + x-4\). Es agradable trabajar con sumas por muchas razones; los matemáticos usan sumas de funciones para obtener mejores y mejores aproximaciones cuando se trabaja con datos complicados, y con sumas el orden no cambia el resultado. Si lo hicimos\(g(x)+f(x)\) en lugar de\(f(x)+g(x)\), obtenemos\(g(x)+f(x) = x-4 + 3x^2\); si reorganizamos los términos para que el grado más alto venga primero, obtenemos\(3x^2 +x-4\) que es exactamente lo mismo que\(f(x)+g(x)\).

Con diferencias, hay que ser un poco más cuidadosos porque el orden va a marcar la diferencia. Echemos un vistazo:

• \(f(x)-g(x) = 3x^2-(x-4) = 3x^2 -x +4\)

• \(g(x)-f(x) = x-4-(3x^2) = x-4 -3x^2 = -3x^2 + x -4\)

Aquí vemos eso\(f(x)-g(x)\) y nos\(g(x)-f(x)\) dan resultados diferentes. Al igual que con la multiplicación escalar, volvimos a tener cuidado de poner paréntesis alrededor de toda la función cuando escribimos la segunda función. Esto se debe a que restarlo realmente implica multiplicarlo por\(-1\) y queremos asegurarnos de distribuir ese negativo a toda la función.

Tanto con sumas como con diferencias, podemos usar tantas funciones como queramos:\[f(x)-h(x)- g(x) = 3x^2 - (x-4) - (\sqrt{x} + 6) = 3x^2 -x + 4 -\sqrt{x} -6 = 3x^2 -x -\sqrt{x} -2\]

También podemos mezclar entre suma y resta:\[h(x) + g(x) - f(x) = \sqrt{x} + 6 + x-4 - (3x^2) = -3x^2 + x + \sqrt{x} +2\]

Productos de Funciones

Otra forma de combinar funciones es a través de productos (multiplicación) de funciones. Al igual que con las sumas de funciones, el orden no hace la diferencia, entonces\(f(x)g(x)=g(x)f(x)\). No vamos a mostrar los detalles aquí, pero trata de verificarlo por tu cuenta. (Nota: es común que los libros de texto de matemáticas de nivel universitario indiquen una propiedad como esta sin mostrar los detalles. Esto significa que el autor (es) cree que usted es capaz de trabajar a través de los pasos por su cuenta, y trabajar a través de estas declaraciones es una buena manera de verificar que usted entiende los pasos involucrados.) Con productos de funciones, de nuevo vamos a querer usar paréntesis para asegurarnos de que estamos usando toda la función como una unidad. Esto es particularmente importante cuando la función tiene múltiples términos:

• \(g(x)f(x) = (x-4)(3x^2) = (x)(3x^2) - 4(3x^2) = 3x^3 -12x^2\)

• \(h(x)g(x) = (\sqrt{x} + 6) (x-4) = (\sqrt{x})(x-4) + 6(x-4) = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 6x -24\)

Cocientes de Funciones

A continuación, podemos combinar funciones mediante división. Llamamos a la función\(\frac{f(x)}{g(x)}\) el cociente de\(f\) y\(g\). Al igual que con las diferencias, el orden importa aquí; el cociente de\(f\) y\(g\) es diferente al cociente de\(g\) y\(f\). (Recordatorio: este es otro buen lugar para intentar verificar una propiedad por su cuenta. Mostrar que las cosas son diferentes puede ser tan útil como demostrar que son iguales.) Recuerda que con las fracciones hemos implícito paréntesis alrededor de todo el numerador y alrededor de todo el denominador así que no necesitamos incluir explícitamente esos paréntesis aquí. Normalmente no tendremos que preocuparnos por mucha simplificación con cocientes de funciones; más adelante veremos cómo identificar cuándo podemos simplificar, pero por ahora es más seguro no simplificar este tipo de combinaciones. Veamos algunos ejemplos:

• \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{3x^2}{x-4}\)

• \(\displaystyle \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{x-4}{3x^2}\)

• \(\displaystyle \frac{h(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x} + 6}{x-4}\)

Composición de las funciones

La última forma en que podemos combinar funciones es bastante diferente. Con todos nuestros métodos anteriores, podríamos tomar la salida de una función y usar la aritmética para combinarla con la salida de otra función. Por ejemplo, si quisiéramos saber\(f(4) + g(4)\) pero no nos importaba la función\(f(x)+g(x)\) en general, podríamos simplemente encontrar\(f(4)\) (\(f(4)=3(4^2) = 3 (16) = 48\)) y\(g(4)\) (\(g(4) = (4)-4 = 0\)) y agregarlos juntos:\(f(4) + g(4) = 48 + 0 =48\). Con la composición de funciones, vamos a utilizar la salida de una función como entrada para otra función. La composición de\(f(x)\) con\(g(x)\) se escribe como\(f(g(x))\), o como\((f \circ g)(x)\), usando notación matemática y se lee como “f de g de x”. Si nos fijamos en la notación, vemos que la función\(f\) va a tomar\(g(x)\) como variable de entrada. \(g(x)\)a veces se denominará la función “interior” y\(f(x)\) como la función “exterior” porque\(g(x)\) va “dentro” de\(f\). Como ejemplo, veamos\(f(g(4))\) (“f de g de 4”). Esto nos dice que queremos encontrar el valor de\(f\) cuando ingresamos\(g(4)\). Bueno, sabemos desde arriba que el valor de\(g(4)\) es\(0\), así que veamos qué pasa cuando\(0\) ingresamos en\(f\). Eso lo conseguiríamos\(f(0) = 3(0^2) = 3(0) = 0\). Para mostrar este trabajo usando solo notación matemática, escribiríamos

\[\begin{align}\begin{aligned}\label{eqn:function_composition_at_a_point} \begin{split} f(g(4)) & = f(0) \text{, since } g(4)=0 \\ & = 3(0^2) \\ & = 3(0) \\ & = 0 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Eso es genial si solo nos importa un punto, pero ¿y si queremos saber\(f(g(x))\) cómo se ve en varios puntos diferentes?

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Composing of Two Functions

Usando\(f(x)\) y\(g(x)\) desde arriba, determinar\(j(x) = f(g(x))\).

Solución

Ya que\(g(x)\) es nuestro aporte, necesitamos reemplazar cada\(x\) entrada\(f\) con\((x-4)\). Esto nos da\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} j(x) = f(g(x)) & = f(x-4) \\ & =3(x-4)^2 \\ & = 3(x-4)(x-4) \\ & = 3 (x^2 - 8x + 16) \\ & = 3x^2 - 24x + 48 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Nuestro resultado final es

\[j(x)=3x^{2}-24x+48\]

Podemos verificar que esto concuerda con el único punto que miramos antes:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} j(4) & = 3 (4^2) - 24(4) + 48 \\ & = 3(16)-24(4) + 48 \\ & = 48 - 96 + 48 \\ & = 0 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

La composición de funciones es otro lugar donde el orden puede marcar la diferencia. Echemos un vistazo a\(g(f(x))\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Composing Two Functions

Usando\(f(x)\) y\(g(x)\) desde arriba, determinar\(k(x) = g(f(x))\).

Solución

Ya que\(f(x)\) es nuestro aporte, necesitamos reemplazar cada\(x\) entrada\(g\) con\((3x^2)\). Esto nos da\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} k(x) = g(f(x)) & = g(3x^2) \\ & = (3x^2)-4 \\ & = 3x^2-4 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Nuestro resultado final es

\[k(x)=3x^{2}-4\]

Eso podemos ver\(j(x)\) y\(k(x)\) son funciones muy distintas; ya vimos eso\(j(4) =0\), y podemos verlo\(k(4) = 3(4)^2 -4 = 3(16) -4 = 48-4=44\).

La composición de funciones no se limita al uso de diferentes funciones para la función interna y la función externa. Podríamos mirar composiciones como\(f(f(x))\),\(g(g(x))\), o\(h(h(x))\). Trabajamos con estos de la misma manera que trabajamos con\(f(g(x))\) y\(g(f(x))\); reemplazamos cada función\(x\) en el exterior con toda la función interna. Tampoco se restringe la composición de funciones a solo dos funciones; podríamos mirar composiciones con muchas capas. Echemos un vistazo a un ejemplo con 3 capas.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Composing Three Functions

Usando\(f(x)\) y\(g(x)\) desde arriba, determinar\(m(x) = f(g(g(x)))\).

Solución

Con múltiples capas de composición, normalmente es más fácil comenzar primero en la capa interna y luego salir. Aquí la función más externa es\(f(x)\), luego\(g(x)\) en el medio, y\(g(x)\) en el interior. Ya sabemos lo que\(g(x)\) parece por sí mismo, y la primera composición con la que nos encontramos es\(g(g(x))\). Llamemos a esto\(m_{inside}(x)\):\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} m_{inside}(x) = g(g(x)) & = g(x-4) \\ & = (x-4)-4 \\ & = x-4 -4 \\ & = x-8 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Al igual que antes, tomamos la función inside,\((x-4)\) y la usamos para reemplazar cada función\(x\) en el exterior. Ahora, ya hemos hecho la primera capa de composición. Ya podemos escribir\(m(x) = f(g(g(x)) = f(m_{inside}(x))\). Ahora tenemos una última composición de la que preocuparnos, con\(m_{inside}\) como la función interior y\(f\) como la función externa:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} m(x) = f(m_{inside}(x)) & = f(x-8) \\ & = 3(x-8)^2 \\ & = 3(x-8)(x-8) \\ & = 3(x^2 -16x +64) \\ & = 3x^2 - 48x+192 \end{split}\end{aligned}\end{align}\] Esto da nuestro resultado final:

\[m(x)=3x^{2}-38x+192\]

Múltiples combinaciones de funciones

Hemos hablado de muchas formas diferentes de combinar funciones. Es importante tener en cuenta que todos los métodos de combinación se pueden mezclar entre sí. Podríamos crear una combinación como\(f(x)[g(x) + h(x)]\) donde sumamos\(g\)\(h\) y luego multiplicamos el resultado con\(f\), o una combinación como\(g(2f(x))\) donde multiplicamos\(f\) por un escalar y luego usar eso como el entrada para\(g\). Como cuando trabajamos con números, debemos seguir usando nuestras mismas reglas de orden de operaciones cuando trabajamos con funciones. Por ejemplo, en la combinación\([f(x) + g(x)][h(g(x))]\) necesitaríamos completar las combinaciones dentro de cada conjunto de corchetes antes de multiplicar los resultados.