1.5.1: Ejercicios 1.5

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Términos y Conceptos

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Explicar la relación entre funciones logarítmicas y funciones exponenciales.

Responder: Para la misma base, son inversos el uno del otro.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

¿Qué preguntas respondes cuando evalúas\(\log_5{(25)}\)?

Responder: \(25\) is \(5\) raised to what power?

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

¿Cuál es el valor de la base para\(\ln{(x)}\)?

Responder: \(e\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Explica por qué los logaritmos ayudan a resolver declaraciones exponenciales.

Responder: Los logaritmos ayudan a resolver declaraciones exponenciales porque logaritmos y exponenciales son funciones inversas.

Problemas

Evaluar la declaración dada en ejercicios\(\PageIndex{5}\) —\(\PageIndex{8}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\displaystyle \log_3{(81)}\)

Responder: \(4\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\displaystyle \ln{(e^{5.7})}\)

Responder: \(5.7\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\displaystyle e^{-\ln{(x})}\)

Responder: \(\displaystyle \frac{1}{x}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\displaystyle 4^{\log_2{(2^2)}}\)

Responder: \(\displaystyle 16\)

Escribir la declaración dada como un logaritmo sencillo simplificado en los ejercicios\(\PageIndex{9}\) —\(\PageIndex{12}\).

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\displaystyle 4 \log_3{(2x)}-\log_3{(y^2)}\)

Responder: \(\displaystyle \log_3{\Big( \frac{16x^4}{y^2}\Big)}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\displaystyle \frac{2}{3} \ln{(x)} + 3\ln{(2y)}\)

Responder: \(\displaystyle \ln{(8x^{2/3}y^3)}\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

\(\displaystyle (2x)\log_2{(3)}+ \log_2{(5)}\)

Responder: \(\displaystyle \log_2{(5 (3^{2x}))}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

\(\displaystyle 3\ln{(xy)}-2\ln{(x^2y)}\)

Responder: \(\displaystyle \ln{\Big( \frac{y}{x} \Big)}\)

En ejercicios\(\PageIndex{13}\) —\(\PageIndex{17}\), resolver el problema dado para\(x\), si es posible. Si un problema no se puede resolver, explique por qué.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

\(\displaystyle 5^x = 25\)

Responder: \(\displaystyle x=2\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

\(\displaystyle 5^x = -5\)

Responder: No es posible; no podemos elevar un número positivo a una potencia y obtener un número negativo.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

\(\displaystyle 5^x = 0\)

Responder: No es posible; no podemos elevar un número positivo a una potencia y obtener un cero.

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

\(\displaystyle 5^x = 0.2\)

Responder: \(x=-1\)

Ejercicio\(\PageIndex{17}\)

\(\displaystyle 5^x = 1\)

Responder: \(x=0\)

En ejercicios\(\PageIndex{18}\) —\(\PageIndex{25}\), resolver el problema dado para\(x\).

Ejercicio\(\PageIndex{18}\)

\(\displaystyle 3^{x-6} =2\)

Responder: \(x=6+\log_3{(2)}\)

Ejercicio\(\PageIndex{19}\)

\(\displaystyle 4^{2x-5} = 3\)

Responder: \(\displaystyle x=\frac{5+\log_4{(3)}}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{20}\)

\(\displaystyle 2^{5x+6} = 4\)

Responder: \(\displaystyle x=\frac{-4}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{21}\)

\(\displaystyle 6^{x+\pi} = 2\)

Responder: \(\displaystyle x=\log_6{(2)} - \pi\)

Ejercicio\(\PageIndex{22}\)

\(\displaystyle \bigg( \frac{1}{6}\bigg)^{-3x-2}=36^{x+1}\)

Responder: \(\displaystyle x=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{23}\)

\(\displaystyle -15=-8\ln{(3x)}+7\)

Responder: \(\displaystyle x=\frac{1}{3} e^{11/4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{24}\)

\(\displaystyle 2^x=3^{x-1}\)

Responder: \(\displaystyle x=-\frac{\ln{(3)}}{\ln{(2)} -\ln{(3)}}\)

Ejercicio\(\PageIndex{25}\)

\(\displaystyle 8= 4\ln{(2x+5)}\)

Responder: \(\displaystyle x=\frac{e^2-5}{2}\)