2.3: Dominios de funciones

Esta sección cubre los dominios de función. En el cálculo, utilizaremos dominios para ayudar a identificar cualquier discontinuidades en las funciones y realizar un análisis completo de una función. Los dominios de función también ayudarán a identificar asíntotas verticales, lugares donde una función puede cambiar entre aumentar y disminuir, y lugares donde la concavidad (curvatura general) de una función puede cambiar.

2.3.1 Dominios de funciones

El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas de números reales posibles que dan como resultado una salida de número real para esa función. Los dominios se expresan típicamente usando notación de intervalos, etiquetados con “\(D\):”. Con los dominios, a menudo es más fácil buscar entradas que causen problemas, en lugar de buscar entradas “buenas”. Al hacer una lista de puntos problemáticos, determinaremos el dominio mirando lo que queda. Comenzaremos por mirar el dominio para cada una de nuestras funciones comunes discutidas en la Sección 1.2.

Dominios de funciones de potencia

Para las funciones de potencia, el dominio dependerá del valor del exponente. En la Sección 1.2, dijimos que las funciones de poder tienen la forma\(f(x)=ax^b\) donde\(a\) y\(b\) pueden ser cualquier número real. Empezaremos por mirar dónde podríamos tener problemas con ciertos insumos.

El primer lugar en el que podemos encontrarnos con problemas es si\(b\) es negativo. Esto siempre causará un problema\(x=0\) porque el exponente negativo significa que estaríamos dividiendo por 0 (¡y no podemos hacer eso!).

El segundo lugar donde podemos encontrarnos con problemas es cuando no\(b\) es un número entero. Aquí nos centraremos en los números racionales, es decir, cualquier número que pueda escribirse como fracción. Decir\(b=\frac{p}{q}\) dónde\(p\) y\(q\) son números enteros sin factores comunes. Si\(q\) es extraño, no tendremos ningún problema con ninguna entrada, pero si\(q\) es par podemos tener problemas. Si tratamos de tomar una raíz par de un número negativo (like\(\sqrt{-4}=(-4)^{1/2}\)) no obtenemos un número real. Tendremos este problema con cualquier valor de entrada negativo si\(q\) es par, así que en esta situación, no podemos ingresar ningún número negativo.

Al combinar estos dos puntos problemáticos, podemos encontrar el dominio de cualquier función de potencia con la que probablemente te encuentres:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Power Function Domains

Determine el dominio para cada una de las siguientes funciones de potencia:

\[\begin{array}{lll}{\text{1. }f(x)=x^{2/3}}&{\qquad}&{\text{4. }w(t)=\frac{1}{2}t^{-1/3}} \\ {\text{2. }g(x)=4x^{-2}}&{\qquad}&{\text{5. }y(t)=t^{-3/4}}\\{\text{3. }h(x)=-5x^{8}}&{\qquad}&{\text{6. }z(t)=-2t^{3/4}}\end{array}\nonumber\]

Solución

Para cada uno de estos, necesitamos mirar solo al exponente; la multiplicación escalar de una función no afecta al dominio.

1. Para\(f(x)\),\(b=\frac{2}{3}\). Esto es una fracción, por lo que hay que mirar el denominador. El denominador es 3, un número impar. Esto nos dice que las entradas negativas están bien. Ya que\(b\) es positivo, sabemos que 0 también está bien. Entonces, tenemos
   \[\text{D: }(-\infty, \infty)\]
2. Para\(g(x)\), tenemos\(b=-2\). Se trata de un número entero, así que sólo tenemos que mirar su signo. Es negativo, así que esto nos dice que 0 va a causar problemas. Entonces,
   \[\text{D: }(-\infty,0)\cup(0,\infty)\]
3. Para\(h(x)\),\(b=8\). Este es un número entero positivo, así que no tenemos ninguna entrada de problemas ya que solo podemos encontrarnos con problemas si\(b\) es negativo o una fracción. Entonces,
   \[\text{D: }(-\infty, \infty)\]
4. Para\(w(t)\), tenemos\(b=-\frac{1}{3}\). Es negativo, entonces 0 es un problema, pero es una fracción con un denominador impar, por lo que las entradas negativas están bien. Por lo tanto,
   \[\text{D: }(-\infty,0)\cup(0,\infty)\]
5. Para\(y(t)\),\(b=-\frac{3}{4}\). Esto es negativo, por lo que 0 es un problema. Es una fracción con un denominador par, por lo que las entradas negativas también son un problema. Eso deja
   \[\text{D: }(0,\infty)\]
6. Para\(z(t)\),\(b=\frac{3}{4}\). Esto es positivo, entonces 0 está bien, pero nuevamente es una fracción con un denominador par por lo que las entradas negativas son un problema. Eso significa
   \[\text{D: }[0,\infty)\]
   Observe que el dominio para\(z(t)\) tiene un paréntesis, por lo que incluye 0, pero el dominio para\(y(t)\) tiene un paréntesis por lo que no incluye 0.

Dominios de funciones exponenciales

A continuación en nuestra lista de funciones comunes están las funciones exponenciales, funciones de la forma\(f(x) = b^x\), con\(b>0\) y\(b\neq 1\).. Para funciones exponenciales, podemos usar cualquier entrada de número real y obtener un número real como salida, por lo que el dominio es siempre\((-\infty,\infty)\).

Dominios de funciones logarítmicas

Para las funciones logarítmicas, solo las entradas positivas nos dan salidas de números reales, por lo que el dominio de\(\log_b{(x)}\) es\((0,\infty)\) para cada base válida,\(b\). Tenga en cuenta que 0 no está en el dominio.

Dominios de funciones trigonométricas

El último tipo de función común que discutimos fueron las funciones trigonométricas. Aquí el dominio depende de la función exacta que estés usando; las discutiremos más adelante en este texto.

2.3.2 Dominios para la función combinada

Cuando miramos las funciones combinadas, comenzaremos por mirar el dominio para cada función individual. Si una entrada es un problema para una de las funciones individuales, también será un problema para la función combinada. Adicionalmente, se pueden introducir otros problemas dependiendo de cómo se combinen las funciones. La multiplicación escalar, la suma, la resta y la multiplicación no introducen otros problemas, pero los cocientes y las composiciones sí pueden.

Con cocientes, por cada insumo estamos evaluando una fracción. Podemos toparnos con un nuevo problema si el denominador es 0. Entonces, como parte de determinar el dominio de un cociente, necesitaremos ver cuándo, si alguna parte, el denominador es 0. Echemos un vistazo:

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Quotient Function Domains

Determinar el dominio de\[f(\theta) = \frac{\theta^2 +4}{\sqrt{\theta} - 1}\]

Solución

Primero, veamos cada una de las funciones individuales. El numerador tiene\(\theta^2 +4\). Esta es la adición de dos monomios:\(\theta^2\) y\(4\). La adición no introduce ningún problema. \(\theta^2\)es una función de potencia donde\(b\) es un número entero positivo, por lo que no introduce ningún problema. \(4\)no depende de una entrada, por lo que no introduce ningún problema.

El denominador es\(\sqrt{\theta} -1\). Esta es la diferencia de\(\sqrt{\theta}\) y\(1\). Al igual que con la adición, la diferencia no introduce ningún problema. La función\(1\) no introduce ningún problema. \(\sqrt{\theta}\)es otra forma de escribir\(\theta^{1/2}\). Esta es una función de potencia donde\(b\) es positiva, entonces 0 está bien. Sin embargo,\(b\) es una fracción con un denominador par por lo que las entradas negativas causan un problema.

Hasta el momento, el único problema que tenemos viene de la raíz cuadrada. No obstante, como tenemos un cociente, necesitamos ver si el denominador es alguna vez 0. Haremos esto resolviendo:

\[\sqrt{\theta} -1 = 0\]

Agregar 1 a ambos lados da

\[\sqrt{\theta} = 1\]

Al cuadrar ambos lados nos da\[\theta = 1 ^2 = 1\]

Esto nos dice que también tendremos un problema cuando\(\theta=1\). Todos juntos entonces, tenemos problemas con entradas negativas y con 1, entonces

\[\text{The domain of }f(\theta )\text{ is }\theta \in [0,1)\cup (1,\infty)\]

Observe que en Ejemplo\(\PageIndex{2}\), 0 es parte del dominio aunque tengamos un cociente. Un cociente no significa que 0 como entrada sea un problema, más bien que cualquier entrada que haga el denominador 0 sean problemas.

La composición de las funciones puede cambiar drásticamente los dominios. Con la composición, tendrás que restringir la salida de la función inside para asegurarte de que sea adecuada para ser una entrada de la función externa. Esto puede dar restricciones adicionales en el dominio general.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Domain of a Function Composition

Determinar el dominio de\[f(x) = \sqrt{6-x} + 12x\]

Solución

En general, tenemos la adición de dos funciones,\(\sqrt{6-x}\) y\(12x\). La adición no introduce ningún problema. La segunda función, no\(12x\) tiene entradas problema porque es una función de potencia donde\(b\) es un número entero positivo. Sin embargo, sabemos que la función de raíz cuadrada no puede usar entradas negativas ya que realmente es una función de potencia con\(b=\frac{1}{2}\). Dado que la raíz cuadrada es una composición con\(6-x\) como la función interior, necesitaremos determinar cuándo\(6-x\) es negativo para encontrar qué valores de\(x\) son un problema. Para ello, resolveremos la desigualdad

\[6-x <0\]

Por suerte, esto no es demasiado complicado; vamos\(-x\) a sumar a ambos lados para conseguir\(6<x\), o\(x>6\). Esto nos dice que cualquier entrada mayor a 6 va a ser un problema para\(f(x)\). Entonces, el dominio de\(f(x)\) es\((-\infty,6].\) Utilizamos un corchete a la derecha ya que podemos usar 6 como entrada. Entonces, en conjunto, tenemos que

\[\text{The domain of }f(x)=\sqrt{6-x}+12x\text{ is }x \in (-\infty, 6]\]

La parte más difícil de encontrar dominios es trabajar cuidadosa y metódicamente. Probablemente te diste cuenta de que todos estos ejemplos parecen tener muchísima explicación escrita para los problemas matemáticos. Si bien normalmente no escribimos oraciones completas en nuestro propio trabajo, incluiremos notas como “\(\ln(x)\): problemas con 0 y\(x<0\)”. También mantenemos una lista de puntos problemáticos al costado de la página a medida que trabajamos a través de funciones más complicadas para asegurarnos de que obtenemos todas las entradas del problema para que podamos excluirlas del dominio.