3.2: Intersecciones

En muchos problemas en el cálculo integral estarás encontrando el área encerrada por, o entre, varias funciones. Como parte de encontrar el área, deberá identificar dónde se cruzan las funciones, es decir, los pares de\((x,y)\) coordenadas donde se cruzan las curvas. Los puntos de intersección de dos funciones,\(f(x)\) y\(g(x)\), son los pares de\((x,y)\) coordenadas para los cuales la entrada,\(x\), da como resultado el mismo valor de salida de ambas funciones. En esta sección, abordaremos tres métodos diferentes para encontrar los puntos de intersección para dos gráficas. Los dos primeros métodos que discutiremos dependen en gran medida de estas habilidades que aprendiste en la sección anterior donde aprendiste a resolver para variables.

Tenga en cuenta que si bien en su mayoría hemos estado usando notación de funciones como\(f(x)\), aquí a menudo indicaremos la salida de la función como\(y\). Una razón por la que estamos usando\(y\) aquí es que algunas de nuestras funciones se definirán implícitamente. Cuando una función se define implícitamente, significa que la salida de la función no está aislada; hemos visto esto antes con la forma de pendiente de punto de una línea. Cuando se aísla la salida, decimos que nuestra función se define explícitamente, como en forma de intercepción de pendiente.

3.2.1 Sustitución

La sustitución se usa más comúnmente cuando una o ambas funciones se definen implícitamente, o cuando ambas funciones tienen un término en común. Con este método, resolveremos una ecuación para una de las variables y luego sustituiremos la solución por la segunda ecuación y resolveremos por la variable restante. En este curso, sólo nos interesan las soluciones de números reales. Aquí, es cuestión de preferencia personal a la hora de elegir con qué función trabajar inicialmente, y qué variable resolver. Sin embargo, recomendamos comenzar con la ecuación que es “más simple”; si una ecuación es lineal y la otra es cuadrática, normalmente es menos complicado comenzar con la función lineal. Echemos un vistazo a un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Points of Intersection: Substitution

Encuentra los puntos de intersección para\(4x^2+y^2=4\) y\(y-1=2(x-1)\).

Solución

Aquí, la primera ecuación,\(4x^2+y^2=4\) es cuadrática en ambos\(x\) y en\(y\), pero la segunda ecuación,\(y-1=2(x-1)\) es lineal en ambos\(x\) y en\(y\). Debido a esto, iniciaremos nuestro trabajo con la segunda ecuación.

Adicionalmente, en la segunda ecuación ya\(y\) está casi aislada, por lo que primero aislaremos\(y\) en esta ecuación.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} y-1 & = 2(x-1) \\ y & = 2(x-1)+1 \\ & = 2x-2+1 \\ & = 2x-1 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora que nos hemos\(y\) aislado, reemplazaremos cada uno\(y\) en la ecuación\(4x^2+y^2 = 4\) con\(2x-1\). Como cuando evaluamos funciones, nos aseguraremos de poner paréntesis alrededor del término\((2x-1)\),, para que podamos simplificar correctamente. \[\begin{split} 4x^2 + y^2 & = 4\\ 4x^2 + (2x-1)^2 & = 4 \\ 4x^2 + (4x^2 - 4x +1 ) & = 4 \\ 8x^2 -4x -3 & = 0 \\ \end{split}\]

Esto no parece que sea probable que factorial muy bien, así que usaremos la fórmula cuadrática:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} x & = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4(8)(-3)}}{2(8)} \\[6pt] & = \frac{4 \pm \sqrt{16+96}}{16} \\[6pt] & = \frac{4\pm \sqrt{112}}{16} \\[6pt] & = \frac{4 \pm 4 \sqrt{7}}{16} \\[6pt] & = \frac{1 + \sqrt{7}}{4}, \frac{1 - \sqrt{7}}{4} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Esto sólo nos da las\(x\) coordenadas; también necesitamos las\(y\) coordenadas. Para obtener las\(y\) coordenadas correspondientes, utilizaremos la ecuación lineal donde ya resolvimos\(y\) en términos de\(x\). Podríamos usar la forma anterior de esta ecuación, o incluso podríamos usar la ecuación cuadrática, pero cualquiera de estas requeriría más trabajo. La primera\(y\) coordenada es:

\[\begin{align}\begin{aligned} y&=2x-1 \\ &=2\left(\frac{1+\sqrt{7}}{4}\right)-1 \\ &=\frac{1+\sqrt{7}}{2}-\frac{2}{2} \\ &=\frac{-1+\sqrt{7}}{2}\end{aligned}\end{align}\]

La segunda\(y\) coordenada es:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} y & = 2x -1 \\ & = 2\Bigg(\frac{1 - \sqrt{7}}{4}\Bigg) -1 \\[6pt] & =\frac{1 - \sqrt{7}}{2} - \frac{2}{2} \\[6pt] & = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora, tenemos ambos puntos de intersección:

\[\left(\frac{1+\sqrt{7}}{4},\frac{-1+\sqrt{7}}{2}\right)\text{ and }\left(\frac{1-\sqrt{7}}{4},\frac{-1-\sqrt{7}}{2}\right)\]

A veces, podemos ser un poco creativos sobre el uso de la sustitución. Dependiendo de las ecuaciones con las que estés trabajando, a veces puede ser más rápido no resolver para una variable por completo, sino para un término que aparece en ambas ecuaciones. Echemos un vistazo a un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Points of Intersection: Substitution

Encuentra todos los puntos de intersección de\(x-4=y^2\) y\(x^2-4x=-y^2\).

Solución

Aquí podemos ver que el único lugar “fácil” para comenzar resolviendo sería resolver para\(x\) en la primera ecuación, pero una vez que sustituimos en la segunda ecuación, las cosas se volverán desordenadas rápidamente. Sin embargo, ambas ecuaciones tienen un\(y^2\) término, y ningún otro\(y\) término. Esto significa que podemos ahorrar algo de trabajo resolviendo para\(y^2\) en una ecuación y sustituyendo en\(y^2\) en la otra ecuación. Dado que la primera ecuación ya\(y^2\) se ha aislado, realmente solo tenemos que hacer la sustitución. Vamos a sustituir\(x-4\) en la segunda ecuación en el lugar de\(y^2\):

\[\begin{align}\begin{aligned}x^{2}-4x&=-y^{2} \\ x^{2}-4x&=-(x-4) \\ x^{2}-4x&=-x+4 \\ x^{2}-3x-4&=0 \\ (x-4)(x+1)&=0 \\ x&=-1,4\end{aligned}\end{align}\]

Ahora que tenemos nuestras\(x\) coordenadas, necesitamos encontrar las\(y\) coordenadas correspondientes. Usaremos la primera ecuación, ya que es un poco más sencillo trabajar con ella. Sustituir en nos\(x=4\) da\(0=y^2\), o\(y=0\). Sustituyendo en\(x=-1\) da\(-5=y^2\). Aquí, esto nos da una respuesta imaginaria para\(y\), por lo que no obtenemos un punto de intersección adicional. El único punto de intersección para estas ecuaciones es

\[(4,0)\]

3.2.2 Equiparar las funciones

El siguiente método que discutiremos funciona bien cuando ambas funciones son explícitas, o se dan en notación de funciones. Para este método, primero resolveremos cada ecuación para la misma variable, estableceremos las dos iguales a cada una y resolveremos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Points of Intersection: Equating

Encuentra todos los puntos de intersección de\(f(x)=x^2+1\) y\(g(x)=x+1\).

Solución

Aquí, ambas ecuaciones se dan usando la notación de funciones; esto significa que realmente nos\(f(x)\) dice el valor de la\(y\) coordenada at\(x\), para que podamos reemplazarla con\(y\):\(y=x^2+1\). De igual manera, nos\(g(x)\) dice el valor de la\(y\) coordenada en\(x\) para la otra función:\(y=x+1\). Dado que\(y\) está aislado en ambos, estableceremos los dos iguales entre sí y resolveremos para\(x\):
\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} x^2+1 & = x + 1 \\ x^2 -x &= 0 \\ x(x-1)&=0 \\ x&= 0,1 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora, sólo tenemos que encontrar las\(y\) coordenadas. Podemos usar cualquiera\(f(x)\) o\(g(x)\) para hacer esto;\(g(x)\) es más sencillo así que lo usaremos. Eso lo conseguimos\(g(0) = 1\) y\(g(1)=2\). Por lo tanto, tenemos dos puntos de intersección:

\[(0,1)\text{ and }(1,2)\]

3.2.3 Eliminación

El tercer método que discutiremos es un poco diferente a los otros métodos que hemos visto. Este método también requiere fuertes habilidades de álgebra. La principal ventaja de este método no será obvia hasta la siguiente sección de este libro, porque es la más útil cuando tenemos un sistema de dos o más ecuaciones lineales. Aquí, solo mostraremos cómo usarlo con dos variables, pero la idea se extiende muy bien (esto significa que es fácil adaptar este método a otras situaciones más complicadas). Para la eliminación, tomaremos cada ecuación, multiplicaremos la ecuación completa por una constante y sumaremos las ecuaciones juntas de tal manera que se elimine una variable.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Points of Intersection: Elimination

Encuentra todos los puntos de intersección de\(2x+3y=2\) y\(-x+y=4\).

Solución

Primero intentaremos eliminar\(x\) de ambas ecuaciones. La primera ecuación tiene\(2x\) y la segunda tiene\(-x\). Si multiplicamos la segunda ecuación por\(2\) y la agregamos a la primera, los\(x\) términos cancelarán:

\[\begin{align}\begin{aligned}2x+3y&=2 \\ +2(-x+y&=4)\end{aligned}\end{align}\]

o:

\[\begin{align}\begin{aligned}2x+3y&=2 \\ +(-2x+2y&=8) \\ \hline 5y&=10\end{aligned}\end{align}\]

Observe que alineamos nuestras variables y tratamos esto como un gran problema de adición. Mantener las variables alineadas hace que nuestro trabajo sea más fácil de seguir.

Ahora, podemos tomar el resultado y resolver fácilmente para\(y\), conseguir\(y=2\). Ahora podemos usar\(y\) para encontrar\(x\). Cualquiera de las dos ecuaciones funcionará, pero usaremos la segunda:\(-x+(2) = 4\), o\(x=-2\). Esto le da uso a un punto de intersección en

\[(-2,2)\]

La eliminación es un método particularmente flexible. Para ilustrar esto, volveremos a resolver el problema, pero esta vez eliminaremos\(y\) primero.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Points of Intersection: Elimination

Encuentra todos los puntos de intersección de\(2x+3y=2\) y\(-x+y=4\).

Solución

La primera ecuación tiene\(3y\) y la segunda tiene\(y\). Multiplicaremos la primera ecuación por\(-\frac{1}{3}\) y la agregaremos a la segunda ecuación:

\[\begin{align}\begin{aligned}-\frac{1}{3}(2x+3y&=2) \\ +\quad (-x+y&=4) \\ \hline -\frac{5}{3}x&=\frac{10}{3}\end{aligned}\end{align}\]

Resolver nos\(-\frac{5}{3}x = \frac{10}{3}\) da\(x=-2\), y sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones nos da\(y=2\). Obtenemos el mismo punto de intersección:

\[(-2,2)\]

Adicionalmente, podríamos haber multiplicado la segunda ecuación,\(-x+y=4\), por\(3\) y restado de la primera para eliminar\(y\) primero. Con la eliminación, lo mejor es hacer un poco de planeación para averiguar qué variable será la más fácil de eliminar primero, y qué combinaciones mantendrán los números simples.

3.2.4 Graficar

Ahora, discutiremos brevemente un método común utilizado por los estudiantes: graficar. Si bien graficar es una excelente manera de ayudar a determinar cuántos puntos de intersección existen y las coordenadas aproximadas, no te dará un conjunto exacto de coordenadas, a menos que uses una calculadora o computadora. En el cálculo, es necesario tener los valores exactos. En ejemplo\(\PageIndex{1}\), terminamos con dos puntos de intersección:\((\frac{1 + \sqrt{7}}{4}, \frac{-1 + \sqrt{7}}{2})\) y\((\frac{1 - \sqrt{7}}{4}, \frac{-1 - \sqrt{7}}{2})\). Si hubiéramos graficado para encontrar estos puntos, no habríamos encontrado las coordenadas exactas, y en el mejor de los casos habríamos terminado con aproximaciones. Por esta razón, no recomendamos confiar únicamente en graficar para encontrar puntos de intersección. En ocasiones las coordenadas serán números enteros y la gráfica será fácil de leer, pero como en este ejemplo, muchas veces es imposible obtener la respuesta que necesitas de la gráfica.