3.3: Descomposición de fracciones y fracciones parciales

En el cálculo, te encontrarás con muchas situaciones en las que necesitas simplificar fracciones; en el cálculo diferencial, cuando tomas una derivada de un cociente de dos funciones, el resultado será un cociente aún más complicado que requerirá simplificación. Adicionalmente, cuando se trabaja con funciones racionales (funciones que son un cociente de dos polinomios), la simplificación puede ayudar a identificar las características clave de la función. En el cálculo integral y al trabajar con transformadas inversas de Laplace en ecuación diferencial, necesitarás tomar una fracción y dividirla en varias fracciones más simples a través de un proceso llamado descomposición parcial de fracciones. En esta sección, discutiremos muchas de las habilidades que necesitará al trabajar con fracciones en cálculo.

3.3.1 Simplificación de fracciones

Cuando los matemáticos hablan de simplificar fracciones pueden estar refiriéndose a combinar fracciones que se están agregando en una sola fracción, eliminando cualquier factor común del numerador y denominador, y/o reescribir fracciones que tengan fracciones anidadas en el numerador o denominador. Primero, discutiremos cómo combinar múltiples fracciones.

Al sumar o restar fracciones, el primer paso es obtener un denominador común. Esto se basa en las ideas que aprendemos sobre las fracciones cuando éramos niños; el denominador nos dice en cuántas piezas dividimos el ítem y el numerador nos dice cuántas piezas estamos usando. Por ejemplo,\(\frac{2}{3}\) significa que dividimos el artículo en 3 piezas y estamos usando 2 de ellas. Antes de poder combinar fracciones, necesitamos asegurarnos de que todas las piezas sean del mismo tamaño teniendo el mismo denominador. Como vimos en la Sección 1.1, podemos asegurarnos de que son denominadores son los mismos multiplicando por 1 de manera astuta; por ejemplo si queremos sumar\(\frac{2}{3}\) y\(\frac{1}{8}\), podemos multiplicar por\(\frac{8}{8}\) y por\(\frac{3}{3}\) respectivamente. Ya que estamos multiplicando por el factor “faltante” para cada uno, ambos tendrán el mismo denominador:\(\frac{16}{24}\) y\(\frac{3}{24}\). Podemos hacer lo mismo incluso cuando nuestra fracción contiene variables.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Combining Fractions

Simplificar\(\displaystyle \frac{3}{x+2} - \frac{x+1}{x-2}\).

Solución

Primero, vamos a multiplicar por los factores faltantes. Multiplicaremos el primer término por\(\displaystyle \frac{x-2}{x-2}\) y el segundo término por\(\displaystyle \frac{x+2}{x+2}\). Esto nos da:

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{3}{x+2} - \frac{x+1}{x-2} & = \frac{3}{x+2}\times\frac{x-2}{x-2} - \frac{x+1}{x-2}\times\frac{x+2}{x+2} \\[6pt] & = \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)} \\[6pt] & = \frac{3x-6}{x^2-4} - \frac{x^2+3x+2}{x^2-4} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Observe que cuando multiplicamos tuvimos cuidado de incluir paréntesis ya que sabemos que tenemos paréntesis implícitos cuando trabajamos con fracciones. Ahora que ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos combinarlas. Debemos hacerlo con cuidado; estamos restando así que tendremos que distribuir correctamente lo negativo.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{3x-6}{x^2-4} - \frac{x^2+3x+2}{x^2-4} & = \frac{3x-6-(x^2+3x+2)}{x^2-4} \\[6pt] & = \frac{-x^2-8}{x^2-4} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Nuestra respuesta final es

\[\frac{3}{x+2}-\frac{x+1}{x-2}=\frac{-x^{2}-8}{x^{2}-4}\]

Simplificar una fracción también puede significar que estamos buscando factores comunes del numerador y del denominador. Si examinamos el resultado de nuestro ejemplo anterior, vemos que se puede factorizar el denominador:\(x^2-4=(x+2)(x-2)\). No obstante, el numerador es irreducible. Esto significa que no tiene factores lineales, por lo que el numerador y el denominador no tienen factores en común y no se pueden simplificar más.

Este tipo de simplificación puede resultar confuso para los estudiantes; es realmente tentador ver una fracción como\(\dfrac{x^2+1}{x+1}\) y “simplificarla” tachando a las que hay. Sin embargo, esto no es correcto porque ignora los paréntesis implícitos:\(\dfrac{(x^2+1)}{(x+1)}\). El uno está atado al resto de los términos y no puede separarse de esta manera. Esto se vuelve un poco más claro si intentas sustituir en un número por\(x\), como\(x=2\). Veamos un ejemplo donde sí tenemos factores comunes.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Simplifying a Fraction

Simplificar\(\dfrac{2x^3+10x^2+12x}{2x^3-8x}\).

Solución

El primer paso aquí es factorizar tanto el numerador como el denominador. No vamos a mostrar esos pasos aquí, pero debes verificar nuestro resultado. Una vez que hayamos factorizado ambos, veremos si tenemos algún factor común; si lo hacemos podemos eliminarlos tanto del numerador como del denominador. \[\begin{split} \frac{2x^3+10x^2+12x}{2x^3-8x} & = \frac{2x(x+3)(x+2)}{2x(x+2)(x-2)} \\ & = \frac{x+3}{x-2}\text{, } x \neq0,-2 \end{split}\]

Vemos que tanto el numerador como el denominador tienen\(2x\) y\(x+2\) como factores; esto significa que podemos eliminar estos términos. Observe que tenemos que agregar una restricción de dominio. La forma original de la fracción no se define en\(x=0\) o\(x=2\) ya que ambos valores forman el denominador\(0\). Para tener realmente el mismo significado que la función original, debemos señalar que no podemos usar estos valores de\(x\). Es por ello que tenemos la nota adicional de\(x\neq0,-2\) como parte de nuestra solución. No hay otros factores comunes, así que nuestra respuesta final es

\[\frac{2x^{3}+10x^{2}+12x}{2x^{3}-8x}=\frac{x+3}{x-2},\:x\neq 0,-2\]

Ahora, echemos un vistazo a simplificar cuando tenemos fracciones complejas. Aquí, complejo no significa que estemos trabajando con números imaginarios, más bien que tengamos una fracción anidada dentro de una fracción. Cuando tenemos fracciones complejas, el primer paso es asegurarnos de que todo el numerador esté lo más simplificado posible y que todo el denominador esté lo más simplificado posible. Trabajaremos tres ejemplos diferentes que ya tienen numeradores simplificados y denominadores simplificados, pero no descuiden este primer paso ya que es fundamental para trabajar correctamente estos problemas.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Complex Fractions

Simplificar\(\displaystyle \frac{x+1}{\frac{x-1}{x^2}}\).

Solución

Nuevamente, tenga en cuenta que tanto el numerador como el denominador están lo más simplificados posible. Aquí, la fracción anidada está en el denominador. Al dividir por una fracción, en cambio podemos multiplicar por el recíproco (pensar en dividir un número por\(\frac{1}{2}\); equivale a multiplicar por\(\frac{2}{1}\)).

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{x+1}{\frac{x-1}{x^2}} & = (x+1) \div \frac{x-1}{x^2} \\[6pt] & = (x+1) \times \frac{x^2}{x-1} \\[6pt] & = \frac{(x+1)(x^2)}{x-1} \\[6pt] & = \frac{x^3+x^2}{x-1} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

No hay factores comunes, así que terminamos, y nuestra respuesta final es

\[\frac{x+1}{\frac{x-1}{x^{2}}}=\frac{x^{3}+x^{2}}{x-1}\]

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Complex Fractions

Simplificar\(\displaystyle \frac{\frac{2}{x+1}}{x+2}\).

Solución

Aquí, la fracción anidada está en el numerador. Para este caso, podemos simplemente reescribir un poco; en lugar de dividir por\(x+2\), podemos multiplicar por\(\frac{1}{x+2}\). Esto es análogo a multiplicar por la mitad en lugar de dividir por 2; ambos tienen el mismo significado.

\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{\frac{2}{x+1}}{x+2} & = \frac{2}{x+1} \div (x+2) \\[6pt] & = \frac{2}{x+1} \times \frac{1}{x+2} \\[6pt] & = \frac{2(1)}{(x+1)(x+2)} \\[6pt] & = \frac{2}{x^2+3x+2} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]No hay factores comunes, así que hemos terminado.

\[\frac{\frac{2}{x+1}}{x+2}=\frac{2}{x^{2}+3x+2}\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Complex Fractions

Simplificar\(\displaystyle \dfrac{\phantom{x} \frac{x}{x+1}\phantom{x}}{\frac{x-2}{x-1}}\).

Solución

Aquí usaremos las ideas de ambos ejemplos anteriores. Multiplicaremos el numerador por el recíproco del denominador:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{\phantom{x} \frac{x}{x+1} \phantom{x}}{\frac{x-2}{x-1}} & = \frac{x}{x+1} \div \frac{x-2}{x-1} \\[6pt] & =\frac{x}{x+1} \times \frac{x-1}{x-2} \\[6pt] & = \frac{(x)(x+1)}{(x-1)(x-2)} \\[6pt] & = \frac{x^2+1}{x^2-3x+2} \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

No hay factores comunes, así que hemos terminado.

\[\frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x-2}{x-1}}=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-3x+2}\]

3.3.2 Descomposición parcial de la fracción

Nuestro siguiente tema es la descomposición parcial de la fracción. Con la descomposición parcial de la fracción, nuestro objetivo es tomar una fracción con un numerador polinomio y un denominador polinómico y escribirla como la suma de varias fracciones que tienen denominadores más simples. Por ejemplo, podemos escribir\(\frac{6x+16}{x^2+5x+6}\) como\(\frac{2}{x+3} + \frac{4}{x+2}\) (este es un buen lugar para practicar tu fracción combinando habilidades verificando que estas son iguales). En muchas situaciones, particularmente cuando se realiza la integración, es mucho más fácil trabajar con esta segunda forma. Para ello, nuestro primer paso es factorizar el denominador. Cuando factorizamos, terminaremos con factores lineales y/o factores cuadráticos irreducibles. Estos factores sólo pueden aparecer una vez, o pueden repetirse (por ejemplo, para\(x^2+2x+1\), decimos\(x+1\) se repite dos veces desde entonces\(x^2+2x+1 = (x+1)^2\)).

Con nuestra descomposición, queremos escribir la fracción original como la suma de muchas fracciones; necesitaremos una fracción por cada factor. Si se repite un factor, necesitará una fracción por cada vez que se repita. Los factores serán los denominadores de las nuevas fracciones. Recuerde, los factores utilizados para hacer los nuevos denominadores de fracciones deben combinarse, a través de la multiplicación, para darnos el denominador original. Para los factores lineales, el numerador será una constante y para los factores cuadráticos el numerador será lineal. Una vez que hayamos determinado cómo estamos dividiendo (“descomponiendo”) nuestra fracción original, usaremos nuestras habilidades de álgebra para determinar exactamente cómo son los numeradores. Veamos algunos ejemplos; en todos nuestros ejemplos ya se factorizará el denominador; en la práctica muchas veces necesitarás hacer la factorización como tu primer paso.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Partial Fraction Decomposition: Linear Factors

Realizar una descomposición parcial de la fracción en\(\displaystyle \frac{3}{(x+1)(x-2)}\).

Solución

Como el denominador tiene dos factores, estaremos descomponiéndonos en dos fracciones. Cada término es lineal, por lo que cada una de nuestras nuevas fracciones tendrá un numerador constante. Usaremos\(A\) y\(B\) como los numeradores por ahora, y resolveremos para estos dos valores más adelante. Hasta el momento, tenemos:

\[ \frac{3}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}\label{pf}\]

No importa qué fracción venga primero, ni importa qué letras usemos en los numeradores, siempre y cuando no usemos la misma letra dos veces. Nuestro siguiente paso es determinar los valores apropiados para\(A\) y\(B\). Para hacerlo más fácil, vamos a multiplicar todo en ecuación\(\eqref{pf}\) por\((x+1)\) y por\((x-2)\). Esto eliminará todas las fracciones. \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} (x+1)(x-2)\Bigg[\frac{3}{(x+1)(x-2)} \Bigg] &= (x+1)(x-2)\Bigg[\frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}\Bigg] \\[2ex] \frac{3(x+1)(x-2)}{(x+1)(x-2)}&= \frac{A(x+1)(x-2)}{x+1} + \frac{B(x+1)(x-2)}{x-2} \\[2ex] 3 & = A(x-2) + B(x+1) \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Puede que tengas la tentación de distribuir por el lado derecho, pero será más fácil de resolver para\(A\) y\(B\) si no lo hacemos.Si tenemos los valores correctos de\(A\) y\(B\), esta última afirmación,\(3=A(x-2) + B(x+1)\), es cierto para todos los valores de \(x\). Vamos a explotar esto. Ahora mismo, estamos multiplicando\(A\) por\((x-2)\). Podemos hacer desaparecer este\(A\) término si sustituimos en\(x=2\). Cuando hacemos esto, obtenemos:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 3 &= 0 + B(2+1) \\ 3 &= 3B \\ B &= 1 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Podemos utilizar una técnica similar sustituyendo\(x=-1\) y haciendo\(B\) desaparecer:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 3 &= A(-1-2) + 0 \\ 3 &= A(-3) \\ A &= -1 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora que tenemos los valores de\(A\) y\(B\), podemos completar la descomposición:

\[\frac{3}{(x+1)(x-2)} =\frac{-1}{x+1}+\frac{1}{x-2}\]

Con la descomposición parcial de la fracción, el orden de los tiempos depende de usted. Podríamos haber comenzado este problema con

\[\frac{3}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}\]

en lugar de

\[\frac{3}{(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-2}\]

Los valores para\(A\) y\(B\) serían diferentes, pero la respuesta final sería la misma.

Como señalamos anteriormente, podemos tener factores repetidos en nuestro denominador, y cuando lo hagamos necesitaremos una fracción separada por cada vez que se repita. Todas estas fracciones tendrán este factor repetido en el denominador, pero elevado a una potencia superior cada vez: en la primera fracción solo tendremos el factor, en la segunda fracción tendremos el factor al cuadrado, en la tercera tendremos el factorizado en cubos, etcétera Echemos un vistazo a un ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Partial Fraction Decomposition: Repeated Factors

Realizar una descomposición parcial de la fracción en\(\displaystyle \frac{5x^3+16x^2+16x+6}{(x+2)(x+1)^3}\).

Solución

Aquí, el denominador ya está factorizado para nosotros, por lo que el primer paso ya está completo. Vemos que tenemos un factor que sólo se repite una vez,\(x+2\), y otro factor que se repite tres veces,\(x+1\). Esto significa que nos descompondremos en cuatro fracciones, con denominadores de\(x+2\),\(x+1\),\((x+1)^2\), y\((x+1)^3\). Dado que ambos factores son lineales, cada fracción tendrá una constante en el numerador. Entonces, la descomposición se verá así:

\[\frac{5x^3+16x^2+16x+6}{(x+2)(x+1)^3} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} + \frac{D}{(x+1)^3}\]

Al igual que en el ejemplo anterior, vamos a multiplicar ambos lados por el denominador de la fracción original,\((x+2)(x+1)^3\). Esto eliminará las fracciones. \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} (x+2)(x+1)^3 \Bigg[ \frac{5x^3+16x^2+16x+6}{(x+2)(x+1)^3} \Bigg] = \phantom{(x+2)(x+1)^3\Bigg[\frac{A}{x+2} + \frac{A}{x+2} \Bigg]}\\[2ex] = (x+2)(x+1)^3\Bigg[\frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^2} + \frac{D}{(x+1)^3}\Bigg] \end{split}\end{aligned}\end{align}\]Entonces,\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} \frac{(5x^3+16x^2+16x+6)(x+2)(x+1)^3 }{(x+2)(x+1)^3} = \phantom{(x+2)(x+1)^3\Bigg[\frac{A}{x+2} + \frac{A}{x+2} \Bigg]}\\[2ex] = \frac{A(x+2)(x+1)^3 }{x+2} + \frac{B(x+2)(x+1)^3 }{x+1} + \frac{C(x+2)(x+1)^3 }{(x+1)^2} + \frac{D(x+2)(x+1)^3 }{(x+1)^3} \end{split}\end{aligned}\end{align}\] por último,\[5x^3 + 16x^2+16x+6 = A(x+1)^3 + B(x+2)(x+1)^2 + C(x+2)(x+1) + D(x+2)\]

Ahora, usaremos el mismo método que usamos en el ejemplo anterior;\(x\) al elegir valores apropiados de para sustituir en nuestra ecuación, podremos eliminar términos. Cada término excepto el\(A\) término está siendo multiplicado por\((x+2)\), así que si sustituimos\(x=-2\), los\(D\) términos\(B\)\(C\),, y todos se convertirán en cero:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5(-2)^3 + 16(-2)^2 + 16(-2) + 6 & = A(-2+1) \\ 5(-8) + 16(4) +16(-2) + 6 & = A(-1) \\ -40+64-32+6 &= -A \\ -2 & = -A \\ A &= 2 \end{split}\end{aligned}\end{align}\] Siguiente, sustituyendo \(x=-1\), podemos encontrar el valor para\(D\):\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5(-1)^2+16(-1)^2 + 16(-1)+6 & = D(-1+2) \\ 5(-1) + 16(1) + 16(-1) + 6 &= D(1) \\ -5+16-16+6 & = D \\ 1 & = D \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora tenemos valores para\(A\) y para\(D\), pero lamentablemente nuestro método no va a funcionar para ayudarnos a encontrar\(B\) y\(C\) ya que cada uno de estos términos se multiplica por ambos factores. Tomaremos un enfoque similar, sin embargo. Señalamos que estas afirmaciones son ciertas para todos los valores de\(x\), por lo que podemos elegir algunos valores fáciles de trabajar con los que sustituirlos. Actualmente, contamos con\[5x^3+16x^2+16x+6 = 2(x+1)^3 + B(x+2)(x+1)^2 + C(x+2)(x+1) + (x+2)\]

Empezaremos sustituyendo en\(x=0\) ya que esto mantiene la aritmética fácil. Obtenemos\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5(0)^3 + 16(0)^2 + 16(0) + 6 &= 2(0+1)^3 + B(0+2)(0+1)^2 + C(0+2)(0+1) + (0+2) \\ 6 & = 2(1)^3 + B(2)(1)^2 + C(2)(1) + 2 \\ 6 & = 2 +2B + 2C + 2 \\ 2 &= 2B + 2C \\ 1 & = B + C \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Esto no nos da suficiente información para encontrar valores para\(B\) y\(C\), entonces necesitaremos otra ecuación. Para obtener esta ecuación, sustituiremos\(x=1\):\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5(1)^3 + 16(1)^2 + 16(1) + 6 & = 2(1+1)^3 + B(1+2)(1+1)^2 + C(1+2)(1+1) + (1+2) \\ 5+16+16+6 & = 2(2^3) + B(3)(2)^2 + C(3)(2) + 3 \\ 43 & = 16 + 12B + 6C + 3 \\ 24 & = 12B + 6C \\ 4 & = 2B + C \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ahora, tenemos dos ecuaciones:\(1 = B+C\) y\(4=2B+C\). Ahora podemos usar los métodos que aprendimos al encontrar puntos de intersección; tenemos dos ecuaciones con 2 valores que necesitamos encontrar. Usaremos la eliminación para resolver ya que ambas ecuaciones tienen\(C\) con el mismo coeficiente, pero puedes usar cualquiera de los métodos que aprendimos. Vamos a restar\(1=B+C\) de\(4=2B+C\) para conseguir\(3=B\). Podemos sustituir\(B=3\) en\(1=B+C\) y resolver\(C\) para conseguir\(C=-2\). Por último, tenemos:

\[\frac{5x^{3}+16x^{2}+16x+6}{(x+2)(x+1)^{3}}=\frac{2}{x+2}+\frac{3}{x+1}+\frac{-2}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(x+1)^{3}}\]

Como puede ver, la descomposición parcial de la fracción puede ser un proceso tedioso. Los mayores problemas que encuentran las personas al realizar una descomposición parcial de fracciones son los errores de álgebra/aritmética y los errores de copia. Estos errores suelen ser causados por el apresuramiento; con un proceso como fracciones parciales, es mejor trabajar lenta, cuidadosa y metódicamente para evitar estos errores, para que no tengas que empezar de nuevo desde el principio.

Aún no hemos terminado con las descomposiciones parciales de fracciones. Hemos cubierto cómo lidiar con factores lineales, incluso con repeticiones, pero aún no hemos visto cómo trabajar con factores cuadráticos irreducibles. Al igual que con los factores lineales, nos descompondremos en una fracción por factor. La diferencia está en el numerador. Para los factores cuadráticos irreducibles, los numeradores necesitan ser lineales. Echemos un vistazo:

Ejemplo\(\PageIndex{8}\): Partial Fraction Decomposition: Quadratic Factors

Realizar una descomposición parcial de la fracción en\(\displaystyle \frac{5x^2-x+2}{(x-1)(x^2+1)}\).

Solución

Vamos a sumergirnos y comenzar nuestra descomposición. Tenemos dos factores, por lo que nos descompondremos en dos fracciones:\[\frac{5x^2-x+2}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1}\]

Como siempre, el factor lineal obtiene una constante en el numerador. Los factores cuadráticos obtienen un numerador lineal. Multiplicaremos por el denominador de la fracción original para eliminar las fracciones:

\[\begin{align}\begin{aligned}(x-1)(x^{2}+1)\left[\frac{5x^{2}-x+2}{(x-1)(x^{2}+1)}\right]&=(x-1)(x^{2}+1)\left[\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}\right] \\ \frac{(5x^{2}-x+2)(x-1)(x^{2}+1)}{(x-1)(x^{2}+1)}&=\frac{A(x-1)(x^{2}+1)}{x-1}+\frac{(Bx+C)(x-1)(x^{2}+1)}{x^{2}+1} \\ 5x^{2}-x+2&=A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-1)  \end{aligned}\end{align}\]

Observe los paréntesis alrededor\(Bx+C\) en la última línea; sin estos paréntesis no estaríamos multiplicando correctamente. Comenzaremos con nuestro método favorito y sustituto\(x=1\) para eliminar el\(Bx+C\) término:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5(1)^2-(1)+2 & = A((1)^2 +1) +(B(1)+C)(1-1) \\ 5(1)-1+2 & = A(1+1) + 0 \\ 6 & = 2A \\ A &= 3 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Encontrar\(B\) y\(C\) será bastante rápido. Ya tenemos un valor para\(A\), y si sustituimos\(x=0\), podemos eliminar\(B\) (ya que se multiplica por\(x\)). Echemos un vistazo:\[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5(0)^2 -(0) + 2 & = A(0^2 +1) + (B(0) + C)(0-1) \\ 2 & = A(1) +(C)(-1) \\ 2 & = A-C \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Ya que sabemos\(A=3\), obtenemos\(C=1\). Ahora que sabemos\(A\) y\(C\), podemos sustituir en un tercer valor\(x\) para encontrar\(B\), o podemos simplificar ambos lados para encontrar\(B\). Mostraremos este segundo método. \[\begin{align}\begin{aligned}\begin{split} 5x^2-x+2 &= A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1) \\ 5x^2-x+2 &= (3)(x^2+1) + (Bx+(1))(x-1) \\ 5x^2-x+2 & = 3x^2+3 + Bx^2 - Bx +x -1 \\ 5x^2-x+2 &= (3+B)x^2 + (-B+1)x + 2 \end{split}\end{aligned}\end{align}\]

Usando los\(x^2\) términos, tenemos\(5x^2 = (3+B)x^2\), así\(5=3+B\), o\(B=2\). Obtenemos el mismo resultado si coincidimos con los\(x\) términos. En total, tenemos:

\[\frac{5x^{2}-x+2}{(x-1)(x^{2}+1)}=\frac{3}{x-1}+\frac{2x+1}{x^{2}+1}\]

Por último, podríamos tener una fracción con repetidos cuadráticos irreducibles. No mostraremos la solución completa para uno de estos, pero mostraremos la configuración inicial. Al igual que con los factores lineales repetidos necesitaremos una fracción por cada vez que se repita la cuadrática, y al igual que en el ejemplo anterior, cada uno tendrá un numerador lineal. Por ejemplo, tendríamos la siguiente descomposición:

\[\frac{2x+6}{(x^2+4)^2(x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} + \frac{Dx+E}{(x^2+4)^2}\]

Entonces resolveríamos para\(A\),\(B\),\(C\)\(D\), y\(E\) usando los mismos métodos que hemos utilizado en nuestros otros ejemplos.