8: Modelos de Valor Presente

Introducción

Imagínate viajando por todo el país conduciendo un auto de lujo o un tractor. Alternativamente, imagínate tirando de un arado con un auto de lujo o un tractor. Si bien tanto un automóvil de lujo como un tractor pueden proporcionar servicios de transporte y tracción, no son igualmente adecuados para las dos asignaciones.

Una palabra que usan los economistas para describir las actividades que una empresa puede realizar pero con una eficiencia desigual es ventaja comparativa. Los autos de lujo son perfectamente adecuados para viajar a través del país pero no para tirar de un arado. Un tractor está bien diseñado para tirar de un arado pero no para viajes de larga distancia.

De igual manera, existen varios tipos diferentes de modelos fotovoltaicos, pero están diseñados para responder a diferentes tipos de preguntas. Cada modelo tiene una ventaja comparativa para responder a un tipo particular de pregunta. En lo que sigue examinamos algunos de los modelos fotovoltaicos más importantes y las preguntas que se pueden utilizar para responder.

Modelos de Valor Presente Neto

En un modelo estático (atemporal), las ganancias describen la diferencia entre costos y rendimientos. En un modelo PV, un concepto equivalente se llama Valor Presente Neto (VAN). El VPN mide la diferencia en dólares actuales entre las salidas de efectivo y las entradas de efectivo. Los modelos de VPN revelan si los beneficios actuales de una inversión superan sus costos actuales. La diferencia importante entre los modelos de VAN y los cálculos de ganancias es que las ganancias pueden incluir devoluciones no monetarias y gastos como aumentos en el inventario y depreciación. Los números que ingresan a los modelos PV además de la tasa de descuento y los exponentes sobre la tasa de descuento del dólar son medidas de flujo de caja donde el valor de liquidación de la inversión al final de su vida económica se trata como si se hubiera convertido a efectivo.

Supongamos que una inversión en un retador requiere una salida de V0 dólares y genera un flujo de caja positivo de R ₁ dólares un periodo después más el valor de liquidación de la inversión S ₁. Por ahora, supongamos que la tasa de descuento, o la tasa de cambio entre dólares presentes y futuros para el defensor, es r por ciento, y representa el costo de oportunidad de sacrificar al defensor para invertir en el retador. Para determinar si los beneficios de esta inversión superan los costos, encontramos el VPN definido como:

\ [\ label {8.1} N P V=-V_ {0} +\ frac {R_ {1} +S_ {1}} {(1+r)}\]

Supongamos que una inversión desafiante cuesta $100 y devuelve R ₁ = $100 y S ₁ = $20 en el periodo uno mientras que la inversión defensora podría ganar r igual al 10%. Entonces el VPN de esta inversión sería:

\ [N P V=-100+\ frac {\ $ 100+\ $20} {1.1} =\ $9.09 \ etiqueta {8.2}\]

Para esta inversión, el VPN es positivo, y el valor actual de los beneficios en efectivo supera el valor actual de los costos en efectivo. Otra forma de describir este resultado es que el retador obtuvo una tasa de retorno mayor que el defensor. ¿Cuánto más? El tipo de cambio para el retador es de ($100 + $20)/$100 = 1.20 frente a $110/$100 = 1.10 para el defensor.

Pero, ¿qué significa decir que el retador obtuvo una tasa de retorno superior a la del defensor? Una inversión es un compromiso que haces con un proyecto. Si el proyecto te paga más que la tasa de rendimiento del defensor, entonces el VPN de la inversión es positivo. En nuestro ejemplo el proyecto paga a razón del 20%. En los modelos de VPN, piense en la tasa de descuento como la tasa ganada por la inversión defensora. Y si el VPN es positivo, el retador obtendrá una tasa de rendimiento superior a la que podría ganarse al continuar invirtiendo en el defensor.

Por supuesto, las inversiones pueden ser mucho más complicadas de lo descrito anteriormente. Por ejemplo, una inversión puede generar flujos de efectivo (positivos y negativos) para n periodos (R ₁, _R2,, R _n) en lugar de solo un periodo. Además, la mayoría de los activos de capital generan un valor de liquidación positivo o negativo (S _n) al final de su vida económica que debe ser contabilizado explícitamente.

Usando subíndices para indicar los períodos de tiempo en los que ocurren los flujos de efectivo, escribimos un modelo de VPN más completo como:

\ [N P V=-V_ {0} +\ frac {R_ {1}} {(1+r)} +\ frac {R_ {2}} {(1+r) ^ {2}} ++\ frac {R_ {n}} {(1+r) ^ {n}} +\ frac {S_ {n}} {(1+r) ^ {n}} \ etiqueta {8.3}\]

Modelos de Tasa Interna de Retorno (IRR)

Supongamos que los flujos de caja representados en la Ecuación\ ref {8.3} están determinados en gran medida por el mercado o por otras fuentes de información y son conocidos. Pero, ¿dónde encontramos r, el costo de oportunidad del capital, la tasa de rendimiento que se obtiene sobre el defensor? La respuesta es que fijamos el VPN del flujo de caja que describe al defensor igual a cero y resolvemos para la tasa de descuento a la que luego nos referimos como la tasa interna de rendimiento del defensor o su TIR. En tal modelo, la TIR será igual al ROE del defensor o su ROA dependiendo del enfoque del modelo PV. Para aclarar la distinción entre los flujos de efectivo asociados a las inversiones desafiantes y defensivas adoptamos la siguiente notación: superindicamos el flujo de caja para el retador con la letra minúscula “c” y el flujo de caja para el defensor con la letra minúscula “d”.

\ [N P V^ {d} =-V_ {0} ^ {d} +\ frac {R_ {1} ^ {d} +S_ {1} ^ {d}} {(1+r)} \ etiqueta {8.4}\]

Ahora establezca NPV ^d igual a cero. Tal modelo PV en el que el VAN se establece igual a cero se denomina modelo de Tasa Interna de Retorno (IRR), y r es la tasa a la que se intercambian dólares entre periodos de tiempo para el defensor. Debido a que el VPN es cero en este modelo, r es exactamente la tasa de retorno ganada sobre la inversión defensora, la tasa a la que los dólares futuros ganados en la inversión se intercambian por dólares actuales. Por último, la tasa interna de rendimiento que se obtiene sobre el defensor es lo que se sacrifica para invertir en el retador, e iguala el costo de oportunidad en el modelo VPN. (El cálculo de la TIR del defensor en modelos multiperíodo puede ser mucho más complejo). Para ilustrar, resolvemos por la tasa de rendimiento ganada sobre el defensor o la TIR en el modelo anterior. La TIR es igual a:

\ [r=\ frac {R_ {1} ^ {d}} {V_ {0} ^ {d}} -1 \ etiqueta {8.5}\]

Siguiente Sustituir la TIR del defensor por el modelo VPN del retador:

\ [N P V^ {c} =-V_ {0} ^ {c} +\ frac {R_ {1} ^ {c} +S_ {1} ^ {c}} {(1+r)} \ etiqueta {8.6}\]

Si el VPN del retador es positivo, se prefiere al retador al defensor. ¿Por qué? Porque el intercambio de dólares futuros por dólares actuales al mismo tipo de cambio que el defensor deja al inversionista con un valor presente neto positivo.

Modelos de Oferta Máxima (Venta Mínima)

Diferentes tipos de preguntas de inversión crearon la necesidad de diferentes tipos de modelos fotovoltaicos. Los modelos de puja máxima y venta mínima asumen que r es conocido y el VAN es cero. Los modelos luego resuelven el precio de compra de una inversión en un modelo de precio máximo de oferta, o el precio de venta en un modelo de precio mínimo de venta. En un modelo de puja máxima, el precio de venta que equipara el VPN a cero indica cuánto puede pujar el comprador por la inversión y aún así ganar la tasa IRR r sobre el defensor. O, desde la perspectiva del vendedor, el precio mínimo de venta es el precio más bajo que un vendedor puede aceptar a cambio del flujo de caja generado por la inversión y aún así ganar la tasa IRR r ganada en el defensor.

Para ilustrar, comenzar asumiendo que se conoce r, la TIR del defensor, así como el flujo de caja que puede ganar el retador. Ahora evalúe al retador estableciendo el VPN igual a cero y encontrando el precio máximo de puja (venta mínima) :

\ [N P V^ {c} =-V_ {0} ^ {c} +\ frac {R_ {1} ^ {c} +S_ {1} ^ {c}} {(1+r)} =0 \ etiqueta {8.7}\]

El precio máximo de puja (mínimo de venta) es:

\ [V_ {0} ^ {c} =\ frac {R_ {1} ^ {c} +S_ {1} ^ {c}} {(1+r)} \ etiqueta {8.8}\]

El modelo de equilibrio

Supongamos que el inversionista conoce el costo de inversión, su valor de liquidación, y la TIR del defensor r pero no conoce la cantidad de rendimientos del retador que se requeriría si la inversión tuviera que obtener una tasa de rendimiento igual a eso disponible en el defensor. La firma puede encontrar la cantidad requerida para devolver las ganancias de equilibrio estableciendo el modelo de VPN en cero y resolviendo R ₁ de la siguiente manera:

\ [\ label {8.9} N P V^ {c} =-V_ {0} ^ {c} +\ frac {R_ {1} ^ {c} +S_ {1} ^ {c}} {(1+r)} =0\]

y el monto de las ganancias de equilibrio es:

\ [R_ {1} ^ {c} = (1+r) V_ {0} ^ {c} -S_ {1} ^ {c} \ etiqueta {8.10}\]

Si r fuera 10%, el valor de liquidación era cero, y la inversión inicial de eran $100, entonces el retorno de equilibrio sería de $100 (1.1) = $110, el monto que se requeriría ganar la inversión para alcanzar el punto de equilibrio. El punto de equilibrio aquí tiene un significado específico que es ganar la TIR del defensor.

El modelo equivalente de anualidad (AE)

Una anualidad es un producto financiero vendido por instituciones financieras. La esencia de una anualidad es que un individuo paga en un fondo que se invierte y crece hasta algún punto en el tiempo en que la inversión se devuelve al inversionista como un flujo constante de pagos por un período de tiempo determinado. En este libro definimos un concepto relacionado, un equivalente de anualidad. Un equivalente de anualidad es un flujo constante de pagos cuyo valor actual es equivalente a algún otro flujo de pagos que puede no ser constante. El modelo equivalente de anualidad encuentra una anualidad asociada a una inversión. Una anualidad es como un promedio ajustado por tiempo. Supongamos que a continuación deseamos encontrar el equivalente de anualidad asociado al modelo de VPN generalizado:

(8.11)

Consideremos ahora un modelo alternativo en el que el VAN ^A es igual al VPN ^A en la Ecuación\ ref {8.11}:

(8.12)

El valor para R en la Ecuación\ ref {8.12} es el flujo de caja equivalente a anualidad que produce VAN ^A en la Ecuación\ ref {8.11}.

Debido a que los equivalentes de anualidad aparecen en tantos contextos, incluidos los préstamos de pago constante, los pagos de beneficios de jubilación y otros, adoptamos una notación para describirlos. Factorizando R en la Ecuación\ ref {8.12} escribimos:

(8.13)

La notación es igual a la expresión entre corchetes en la Ecuación\ ref {8.13} y representa la suma de una serie uniforme de pagos de $1 descontados por una tasa de r para n periodos. Obviamente, existe una correlación directa entre los NPV y los equivalentes de anualidades, y ambos se utilizan para clasificar las inversiones.

Para ilustrar, supongamos que el VPN fue de 10 mil dólares, las cuotas mensuales fueron por 5 años, y la tasa de descuento fue de 3 por ciento. El AE para esta inversión es igual a $179.69 y

Modelos de Vida Óptima

Los modelos de vida óptima preguntan ¿cuál es la vida óptima de esta inversión? El modelo de vida óptimo se puede escribir como:

(8.14)

o en tiempo continuo como:

(8.15)

La solución óptima tiene un significado específico en el contexto del modelo de vida óptimo. Es ese valor de n el que maximiza el VPN. Formalmente, la solución emplea cálculos para optimizar el VPN. En los modelos discretos que se emplean con mayor frecuencia en la práctica, el valor óptimo se encuentra a través de ensayo y error o mediante cálculos repetidos de valores alternativos para n.

Un modelo de vida óptimo relacionado pregunta: ¿cuál es el valor óptimo de n que maximiza el VPN si hay reemplazos para la inversión? En este caso, el VAN ^S es la suma de los NPV de las inversiones individuales. Dicho modelo de reemplazo se describe a continuación:

(8.16)

El modelo Payback

Si bien los modelos fotovoltaicos generalmente se deducen cuidadosamente y los datos requeridos para resolverlos son explícitos, a veces los tomadores de decisiones solo quieren una estimación de “ball park” de la conveniencia de una estrategia financiera. En tales casos, los tomadores de decisiones están dispuestos a sacrificar el rigor y la precisión por aproximaciones. Cuando este es el caso, a menudo se emplea el modelo de recuperación de la inversión. Para obtener una aproximación, asume que la tasa de descuento en los modelos PV es cero. En otras palabras, el modelo de recuperación de la inversión asume que los dólares presentes y futuros se valoran de la misma manera, una suposición muy poco realista. Entonces el modelo de amortización calcula el número de periodos requeridos para obtener el valor presente de la inversión. El número de periodos requeridos para obtener el valor de la inversión es el periodo de amortización, criterio utilizado para clasificar las inversiones. Se supone que todo el flujo de caja después del periodo de amortización no influye en el criterio. Para ilustrar, n es el periodo de amortización en el modelo de amortización que sigue.

(8.17)

Y si los flujos de efectivo periódicos son constantes podemos expresar el periodo de amortización como:

Para ilustrar, considere una salida inicial de $5,000 con entradas de efectivo de $1,000 al mes. En este caso, el periodo de amortización sería de 5 meses. Si las entradas de efectivo se pagaran anualmente, entonces el resultado sería de 5 años. De manera más general, los flujos de efectivo no serán iguales entre sí. Si $10,000 es la inversión de salida inicial, y las entradas de efectivo son $1,000 al año uno, $6,000 al año dos, $3,000 al año tres y $5,000 al año cuatro, entonces el período de amortización sería de tres años, ya que los tres primeros años son iguales a la salida inicial.

A pesar de su popularidad, el modelo de recuperación de la inversión no es recomendable por varias razones. Principalmente, ignorar el valor temporal del dinero básicamente trata a una inversión intertemporal como si se tratara de un problema de ganancias estáticas. Además, trata los flujos de efectivo obtenidos después del periodo de amortización como si no tuvieran valor alguno. En suma, en muchos aspectos no da cuenta adecuadamente de elementos importantes del problema de la inversión.

Ranking Inversiones

Preguntas Los modelos fotovoltaicos responden. Puede ser útil categorizar los modelos fotovoltaicos en tipos similares reconociendo las preguntas que pueden responder. El primer tipo responde a la pregunta: cuál es el precio de equilibrio de tal manera que el VPN es cero. En esta categoría se incluyen modelos de puja máxima (venta mínima), modelos de equilibrio y modelos equivalentes a anualidad. Un segundo tipo de modelo responde a la pregunta: ¿cuál es la vida óptima de la inversión? Estos modelos encuentran el periodo de tiempo que maximiza el VPN. El tercer tipo de modelo fotovoltaico, y el más popular, son los modelos fotovoltaicos que clasifican las inversiones. Responden a la pregunta: ¿qué inversión se prefiere? Los dos modelos PV de clasificación más populares son los modelos NPV e IRR. En una encuesta, alrededor del 75% de los directores financieros de las grandes corporaciones utilizaron modelos IRR y NPV casi por igual (Graham y Harvey, 2001). Alrededor del 50% utilizó modelos de recuperación de la inversión.

La ventaja del modelo VPN es que podemos experimentar con varios IRR diferentes para averiguar qué tan sensible es el VPN del retador a las tasas de descuento alternativas o IRR. Como descubriremos en capítulos posteriores, la consistencia entre los rankings de VPN e IRR solo existe bajo medidas homogéneas de tamaño, término, impuestos y otras medidas.

Existen formas alternativas y más fáciles de clasificar las inversiones como el modelo de recuperación de la inversión. Aquí no se recomiendan porque no reconocen una propiedad fundamental de los modelos fotovoltaicos: los dólares en diferentes periodos de tiempo se valoran de manera diferente e ignoran los flujos de efectivo después del periodo de amortización.

Problemas de ranking de inversión más complicados. Cuando describimos el modelo VPN, la tasa de descuento era igual a la TIR del defensor. Cuando la firma está considerando la adopción de dos inversiones mutuamente excluyentes, entonces qué inversión es la defensora y cuál es la retadora es una decisión arbitraria. Si la decisión de presupuestación de capital es reemplazar una inversión existente con una de dos inversiones mutuamente excluyentes, entonces típicamente el defensor es la inversión en su lugar. Entonces, el problema de inversión se convierte en calcular el VAN de las dos inversiones desafiantes y seleccionar la que tiene el mayor VPN.

Los problemas de clasificación más complicados implican reemplazar a un defensor por una versión más reciente de la misma inversión. Tal inversión podría ser cuándo reemplazar una cohorte de pollos en crecimiento u otro ganado cultivado para el sacrificio por una nueva cohorte. En este caso, hay múltiples defensores iguales a una misma inversión a varias edades diferentes. Esta clase de modelos de VPN y su criterio correspondiente se conoce como modelos de reemplazo y es el foco del Capítulo 10.

Considerar el problema de inversión que involucra la fuente de financiamiento de menor costo. Hemos decidido una inversión, pero tenemos formas alternativas de financiar la inversión y queremos encontrar la fuente de financiamiento de menor costo. En este problema, designamos a una de las fuentes de financiamiento como el retador y a la otra como el defensor. Luego comparamos los IRR de las dos fuentes de financiamiento. En este caso, se prefiere la fuente de financiamiento con la TIR más pequeña y se utiliza como tasa de descuento para encontrar el VPN de la nueva inversión potencial.

Se pueden imaginar fácilmente problemas de inversión más complicados donde la designación del defensor no siempre es clara. En estas circunstancias, nos hacemos la pregunta ¿dependen los rankings de qué inversión se selecciona como defensor? La respuesta depende de si las inversiones que se clasifican se comparan o no utilizando unidades homogéneas. Si las inversiones se ajustan para que las unidades sean consistentes, entonces clasificarlas por sus NPV dará como resultado los mismos rankings, independientemente de qué inversión se elija como defensor.

TIR, ROA y ROE

Hasta el momento, se ha introducido el costo de oportunidad del capital sin especificar de qué capital se está invirtiendo. ¿Es capital social, capital de deuda o una combinación de deuda y capital social? ¿O importa? La respuesta corta es que sí importa como demostraremos en el Capítulo 12. Si el foco está en el rendimiento sobre el patrimonio, entonces la tasa de descuento representa el retorno sobre el patrimonio neto (ROE). En este modelo, los costos por intereses sobre la deuda se restan del flujo de caja incluido en el modelo. Si el foco está en el retorno de los activos (ROA), entonces el costo de la inversión se resta al inicio del modelo y los rendimientos reflejan un retorno a los activos y los costos de interés son irrelevantes ya que el activo se trata como si se hubiera comprado al inicio de la inversión.

Los dos enfoques, ROE versus ROA, representan dos escuelas de pensamiento en el análisis de inversiones. El enfoque ROA se centra en los rendimientos generados por los activos de la firma. El enfoque ROE se centra en los rendimientos generados por el capital invertido de la firma netos de cualquier pago de intereses sobre la deuda.

La diferencia entre los dos enfoques importa porque la mayoría de las empresas dependen de una combinación de deuda y capital para financiar activos. Reducido a su esencia, la cuestión es si el costo de oportunidad del capital refleja la tasa de rendimiento de los activos o patrimonio de la firma. Ahora describimos los dos enfoques con más detalle.

Resumen y Conclusiones

En este capítulo se revisaron varios tipos diferentes de modelos fotovoltaicos. Se diferencian porque están diseñados para responder a diferentes tipos de preguntas. Algunos modelos PV, NPV e IRR, nos ayudan a clasificar las inversiones alternativas. Otros, como los modelos AE, se pueden usar para encontrar el momento óptimo para reemplazar una inversión, o cuáles serán los pagos periódicos de nuestros préstamos. Y aún otros modelos PV como los modelos de oferta máxima ( venta mínima) nos ayudan a conocer el máximo (mínimo) que podemos ofrecer para comprar (vender) una inversión y aún así ganar la TIR de nuestro defensor. Finalmente, otros modelos fotovoltaicos, como las fórmulas de capitalización y los modelos de recuperación de la inversión, ofrecen a lo sumo una regla general cruda para evaluar y tomar decisiones de inversión.

Independientemente del tipo de modelo PV, todos tienen una medida en común: es el costo de oportunidad de una inversión defensora representada por la tasa de descuento. La tasa de descuento es el ROA o el ROE del defensor que debe sacrificarse para adquirir la inversión nueva o desafiante. Esta construcción de modelos fotovoltaicos enfatiza el importante papel de los costos de oportunidad en la construcción de modelos fotovoltaicos y nos recuerda que nos enfocamos en la oportunidad más que en los costos directos al tomar decisiones económicas aplicadas.

Preguntas

1. Explicar la conexión entre las preguntas de inversión y los modelos PV correspondientes.
2. Supongamos que encontraste el precio máximo de puja para una compra que estás considerando. ¿Qué concluirías de tus cálculos?
3. Supongamos que encontró que el AE de una inversión alcanzó su máximo al año 10 mientras que su VPN alcanzó su máximo a los 15 años. ¿Cómo interpretarías tus resultados?
4. Al encontrar la medida ROE en la Ecuación\ ref {8.22}, se contabilizó explícitamente la deuda utilizada para financiar la inversión. Sin embargo, al encontrar la medida ROA en la Ecuación\ ref {8.21}, no se contabilizó la deuda utilizada para financiar la inversión. Explicar la diferencia entre los dos enfoques.
5. Al comparar los ROA y ROE, concluimos que el ROE > ROA siempre que el ROA sea mayor que la tasa de interés promedio de la deuda utilizada para financiar una inversión. Por favor, explique estos hallazgos y brinde un ejemplo sobre estos resultados. Refiérase a las tasas fundamentales de devolución de identidad al formular su respuesta.
6. Proporcione modelos fotovoltaicos numéricos en los que encuentre IRR y NPV de una inversión utilizando ROA-IRR y ROE-IRR, AE, precio máximo de oferta y período de amortización de la inversión. Defiende tu elección de una tasa de descuento.
7. Explicar cómo el principio de “vida de la inversión” garantiza que toda la actividad económica asociada a una inversión será captada por su flujo de caja.
8. La mayoría de las veces, no identificamos las tasas de descuento en los modelos fotovoltaicos como ROE o ROA. En cambio parece que preferimos identificar el ROA del defensor con la letra “r”. ¿Por qué tendemos a preferir ROA a las medidas ROE? ¿Se puede describir un caso en el que sería importante evaluar los proyectos utilizando el ROE del defensor en lugar de su ROA?
9. Supongamos que estaba considerando una inversión que podría ser financiada por dos instituciones financieras diferentes. Así, la única diferencia entre los proyectos fue su flujo de caja asociado a su uso del capital de deuda. ¿Cómo procedería a clasificar las dos inversiones?
10. En un capítulo anterior, calculamos las tasas de rendimiento sobre el patrimonio neto y las tasas de rendimiento de los activos para HQN para el año 2018 para toda la firma. Pero este cálculo fue por sólo un año e incluyó elementos no monetarios en el cálculo. ¿Qué diferencia hay entre las IRR calculadas como ROA o ROE para toda la empresa versus las IRR calculadas como ROA o ROE en un modelo PV?
11. Supongamos que clasificaste a dos retadores usando sus IRR y encontrando sus NPV usando la TIR del defensor. ¿Qué concluirías si el ranking TIR y VPN proporcionaran un ranking conflictivo?