3.3: Incertidumbre, valor esperado y juegos justos

Objetivos de aprendizaje

• En esta sección discutimos la noción de incertidumbre. Los preliminares matemáticos discutidos en esta sección forman la base para el análisis de la toma de decisiones individuales en situaciones inciertas.
• El alumno deberá recoger las herramientas de esta sección, ya que las aplicaremos posteriormente.

Como aprendimos en los capítulos “1: La naturaleza del riesgo - pérdidas y oportunidades” y “2: Medición y métricas de riesgo”, el riesgo y la incertidumbre dependen unos de otros. Los orígenes de la distinción se remontan al Sr. Knight, Ver Jochen Runde, “Clarifying Frank Knight's Discussion of the Meaning of Risk and Uncertainty”, Cambridge Journal of Economics 22, núm. 5 (1998): 539—46. quien distinguió entre riesgo e incertidumbre, argumentando que medible la incertidumbre es riesgo. En esta sección, dado que nos enfocamos únicamente en la incertidumbre medible, no distinguiremos entre riesgo e incertidumbre y usaremos los dos términos indistintamente.

Como describimos en “2: Medición y Métricas de Riesgo”, el estudio de la incertidumbre se originó en los juegos de azar. Entonces, cuando jugamos juegos de dados, estamos lidiando con resultados que son inherentemente inciertos. La rama de la ciencia de los resultados inciertos es la probabilidad y la estadística. Observe que el análisis de probabilidad y estadística se aplica sólo si los resultados son inciertos. Cuando un estudiante se registra para una clase pero no asiste a clases magistrales ni realiza ningún trabajo o prueba asignada, solo es posible un resultado: una calificación reprobatoria. Por otro lado, si el alumno asiste a todas las clases y puntúa 100 por ciento en todas las pruebas y tareas, entonces también solo es posible un resultado, una calificación “A”. En estas situaciones extremas, no surge incertidumbre con los resultados. Pero entre estos dos extremos se encuentra el mundo de la incertidumbre. Los estudiantes a menudo investigan sobre el instructor y tratan de tener una “idea” de la oportunidad de que obtendrán una calificación en particular si se registran en un curso de instructor.

A pesar de que cubrimos parte de esta discusión de probabilidad e incertidumbre en “2: Medición y Métricas de Riesgo”, la repetimos aquí para reforzarlo. Determinar la oportunidad, en términos matemáticos, es lo mismo que calcular la probabilidad de un evento. Para calcular una probabilidad empíricamente, repetimos un experimento con resultados inciertos (llamado experimento aleatorio) y contamos el número de veces que ocurre el evento de interés, digamos n, en los N ensayos del experimento. La probabilidad empírica del evento es entonces igual a n/N. Entonces, si uno mantiene un registro del número de veces que una computadora falla en un día y la registra durante 365 días, la probabilidad de que la computadora se estrelle en un día será la suma de todos los bloqueos de computadora a diario (incluidos los ceros por días en que no se bloquea en absoluto) dividido por 365.

Para algunos problemas, la probabilidad puede calcularse mediante deducción matemática. En estos casos, podemos averiguar la probabilidad de obtener una cabeza en un lanzamiento de moneda, dos ases cuando dos cartas se eligen aleatoriamente de una baraja de 52 cartas, y así sucesivamente (ver el ejemplo de los dados en “2: Medición de riesgo y métricas”). No tenemos que realizar un experimento aleatorio para calcular realmente la probabilidad matemática, como es el caso de la probabilidad empírica.

Finalmente, como se sugirió fuertemente antes, la probabilidad subjetiva se basa en las creencias y experiencias de una persona, a diferencia de la probabilidad empírica o matemática. También puede depender del estado de ánimo de una persona. Dado que las creencias no siempre son racionales, estudiar el comportamiento usando probabilidades subjetivas pertenece al ámbito de la economía conductual más que a la economía tradicional basada en la racionalidad.

Así que considera una lotería (un juego de azar) donde varios resultados son posibles con probabilidades definidas. Por lo general, los resultados en una lotería consisten en premios monetarios. Volviendo a nuestro ejemplo de dados de “2: Medición y métricas de riesgo”, digamos que cuando se tira un dado de seis caras, los pagos asociados con los resultados son $1 si aparece un 1, $2 por un 2,..., y $6 por un 6. Ahora bien, si este juego se juega una vez, se puede ganar una y solo una cantidad: $1, $2, y así sucesivamente. No obstante, si el mismo juego se juega muchas veces, ¿cuál es la cantidad que uno puede esperar ganar?

Matemáticamente, la respuesta a cualquier pregunta de este tipo es muy directa y viene dada por el valor esperado del juego.

En un juego de azar, si W ₁, W ₂,..., W _N son los N resultados posibles con probabilidades π ₁, π ₂,..., π _N, entonces el valor esperado del juego (G) es

\ [E (U) =\ suma_ {i= 1} ^ {∞} πi U (Wi) = 12 ×\ ln (2) + 14 ×\ ln (4) +... = \ suma_ {i= 1} ^ {∞} 12i ×\ ln (2i).\]

El cálculo puede extenderse a valores esperados de cualquier situación incierta, digamos pérdidas, siempre que sepamos los números de resultados y sus probabilidades asociadas. Las probabilidades suman a 1, es decir,

\[\sum_{i= 1}^{N} π_i= π_1+ … + π_N =1.\]

Si bien el cálculo del valor esperado es importante, igualmente importante es la noción detrás de los valores esperados. Tenga en cuenta que dijimos que cuando se trata del resultado de un solo juego, solo se puede ganar una cantidad, ya sea $1, $2,..., $6. Pero si el juego se juega una y otra vez, entonces uno puede esperar ganar E (G) = 161+ 162... + 166=$3.50 por juego. A menudo —como en este caso— el valor esperado no es uno de los posibles resultados de la distribución. En otras palabras, la probabilidad de obtener $3.50 en la lotería anterior es cero. Por lo tanto, el concepto de valor esperado es un concepto a largo plazo, y la suposición oculta es que la lotería se juega muchas veces. En segundo lugar, el valor esperado es la suma de los productos de dos números, los resultados y sus probabilidades asociadas. Si la probabilidad de un resultado grande es muy alta entonces el valor esperado también será alto, y viceversa.

El valor esperado del juego se emplea cuando se diseña un juego limpio. Un juego limpio, actuarialmente hablando, es aquel en el que el costo de jugar el juego iguala las ganancias esperadas del juego, por lo que el valor neto del juego es igual a cero. Esperaríamos que la gente esté dispuesta a jugar todos los juegos de valor justo. Pero en la práctica, este no es el caso. No voy a pagar $500 por un resultado afortunado basado en un lanzamiento de moneda, incluso si las ganancias esperadas equivalen a $500. Ningún juego ilustra este punto mejor que la paradoja de San Petersburgo.

La paradoja radica en un juego propuesto en el que se arroja una moneda hasta que aparece “cabeza”. Ahí es cuando termina el juego. El pago del juego es el siguiente: si la cabeza aparece en el primer lanzamiento, entonces se le paga $2 al jugador, si aparece en el segundo lanzamiento entonces se paga $4, si aparece en el tercer lanzamiento, luego $8, y así sucesivamente, de manera que si la cabeza aparece en el n ^º lanzamiento entonces el el pago es de $2 ⁿ. La pregunta es ¿cuánto pagaría un individuo por jugar a este juego?

Intentemos aplicar el principio del valor razonable a este juego, de manera que el costo que un individuo está dispuesto a asumir debe ser igual al valor razonable del juego. El valor esperado del juego\(E(G)\) se calcula a continuación.

El juego puede continuar indefinidamente, ya que la cabeza puede que nunca aparezca en los primeros millones o mil millones de pruebas. No obstante, veamos el pago esperado del juego. Si la cabeza aparece en el primer intento, la probabilidad de que eso suceda es 12, y el pago es de $2. Si sucede en el segundo intento, significa que el primer lanzamiento arrojó una cola (T) y el segundo una cabeza (H). La probabilidad de combinación TH =12×12=14, y el pago es de $4. Entonces, si H aparece en el tercer intento, implica que la secuencia de resultados es TTH, y la probabilidad de que eso ocurra es 12×12×12=18 con un pago de $8. Podemos continuar con este análisis inductivo ad infinitum. Dado que se espera es la suma de todos los productos de los resultados y sus probabilidades correspondientes,

\[E(G)= 12×2+14×4+18×8+…=∞.\]

Es evidente que si bien el valor esperado del juego es infinito, ni siquiera los Bill Gateses y Warren Buffets del mundo darán ni mil dólares para jugar a este juego, y mucho menos miles de millones.

Daniel Bernoulli fue el primero en dar una solución a esta paradoja en el siglo XVIII. Su solución fue que los individuos no miran la riqueza esperada cuando ofertan un precio de lotería, pero la utilidad esperada de la lotería es la clave. Así, si bien la riqueza esperada de la lotería puede ser infinita, la utilidad esperada que proporciona puede ser finita. Bernoulli calificó esto como el “valor moral” del juego. Matemáticamente, la idea de Bernoulli se puede expresar con una función de utilidad, que proporciona una representación del nivel de satisfacción que proporciona la lotería.

Bernoulli\(U(W)=ln(W)\) solía representar la utilidad que esta lotería proporciona a un individuo donde W es el pago asociado a cada evento H, TH, TTH, y así sucesivamente, luego la utilidad esperada del juego es dada por

\ [E (U) =\ suma_ {i= 1} ^ {∞} π i U (W _i) = 12× ln (2) + 14× ln (4) +... =\ suma_ {i= 1} ^ {∞} 12 i \ ln (2i),\]

que se puede demostrar que es igual a 1.39 después de alguna manipulación algebraica. Dado que la utilidad esperada que brinda esta lotería es finita (incluso si la riqueza esperada es infinita), los individuos estarán dispuestos a pagar solo un costo finito por jugar a esta lotería.

La siguiente pregunta lógica a hacer es, ¿Qué pasaría si la utilidad no fuera dada como tronco natural de riqueza por Bernoulli sino algo más? ¿Qué es eso de la función logarítmica natural que conduce a una utilidad finita esperada? Esto nos lleva al tema de la utilidad esperada y su lugar central en la toma de decisiones bajo la incertidumbre en la economía.

Conclusiones clave

• Los estudiantes deben ser capaces de explicar la probabilidad como medida de incertidumbre en sus propias palabras.
• Además, el estudiante también debe ser capaz de explicar que cualquier valor esperado es la suma del producto de probabilidades y resultados y ser capaz de calcular los valores esperados.

Preguntas de Discusión

1. Definir probabilidad. ¿De cuántas maneras se puede llegar a una estimación de probabilidad de un evento? Describir.
2. Explicar la necesidad de funciones de utilidad utilizando como ejemplo la paradoja de San Petersburgo.
3. Supongamos que se enrolla un dado justo de seis caras con los números 1—6. ¿Cuál es el número que esperas obtener?
4. ¿Qué es un juego actuarialmente limpio?