6.6: Apéndice - Más exposiciones, menos riesgo

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Supongamos que el riesgo de dos grupos está bajo consideración por una aseguradora. Un grupo está compuesto por 1,000 unidades y el otro está compuesto por 4,000 unidades. Cada grupo anticipa incurrir en pérdidas del 10 por ciento dentro de un periodo determinado, como un año. Por lo tanto, el primer grupo espera tener cien pérdidas, y el segundo grupo espera 400 pérdidas. Este ejemplo demuestra una distribución binomial, una donde solo existen dos posibles resultados: pérdida o no pérdida. El promedio de un binomio es igual al tamaño de la muestra multiplicado por la probabilidad de éxito. Aquí, definiremos el éxito como una reclamación por pérdidas y utilizaremos los siguientes símbolos:

n = tamaño de la muestra
p = probabilidad de “éxito”
q = probabilidad de “falla” = 1 — p
n × p = media

Para el Grupo 1 en nuestra muestra, la media es de cien:

\((1,000) × (.10) = 100\)

Para el Grupo 2, la media es 400:

\((4,000) × (.10) = 400\)

La desviación estándar de una distribución es una medida de riesgo o dispersión. Para una distribución binomial, la desviación estándar es

\[n×p×q.\]

En nuestro ejemplo, las desviaciones estándar del Grupo 1 y del Grupo 2 son 9.5 y 19, respectivamente.

\((1,000)×(.1)×(.9) =9.5\)

\((4000)×(.1)×(.9) =19\)

Así, mientras que la media, o el número esperado de pérdidas, se cuadruplicó con el cuadruplicado del tamaño de la muestra, la desviación estándar sólo se duplicó. A través de esta ilustración, se puede ver que la desviación proporcional de los resultados reales de los esperados disminuye con el aumento del tamaño de la muestra. La dispersión relativa se ha reducido. El coeficiente de variación (la desviación estándar dividida por la media) se utiliza a menudo como medida relativa del riesgo. En el ejemplo anterior, el Grupo 1 tiene un coeficiente de variación de \(\frac{9.5}{100}\), o 0.095. El grupo 2 tiene un coeficiente de variación de\(\frac{19}{400}= 0.0475\), indicando el riesgo reducido.

Tomando el extremo, consideremos a un individuo (n =1) que intenta retener el riesgo de pérdida. La persona incurrirá o no incurrirá en una pérdida, y aunque la probabilidad de pérdida sea solo del 10 por ciento, ¿cómo sabe esa persona si será el desafortunado de cada diez? Utilizando la distribución binomial, la desviación estándar (riesgo) de ese individuo es una medida de riesgo mucho mayor que la de la aseguradora. El coeficiente de variación del individuo es\(\frac{.3}{.1}= 3\), demostrando este mayor riesgo. Más específicamente, el riesgo es 63 veces (\(\frac{3}{.0475}\)) el de la aseguradora, con 4,000 unidades expuestas a pérdida.