9.1: Superficies de Respuesta

Una de las formas más efectivas de pensar en una optimización es visualizar cómo cambia la respuesta de un sistema cuando aumentamos o disminuimos los niveles de uno o más de sus factores. Llamamos a una gráfica de la respuesta del sistema en función de los niveles factoriales una superficie de respuesta. La superficie de respuesta más simple tiene un factor y se dibuja en dos dimensiones colocando las respuestas en el eje y y los niveles del factor en el eje x. La curva de calibración en la Figura\(\PageIndex{1}\) es un ejemplo de una superficie de respuesta de un factor. También podemos definir matemáticamente la superficie de respuesta. La superficie de respuesta en la Figura\(\PageIndex{1}\), por ejemplo, es

\[A = 0.008 + 0.0896C_A \nonumber\]

donde A es la absorbancia y C _A es la concentración del analito en ppm.

Figura\(\PageIndex{1}\). Una curva de calibración es un ejemplo de una superficie de respuesta de un factor. Las respuestas (absorbancia) se trazan en el eje y y los niveles de factores (concentración de analito) se representan en el eje x.

Para un sistema de dos factores, como el análisis cuantitativo para vanadio descrito anteriormente, la superficie de respuesta es un plano plano o curvo en tres dimensiones. Como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\), colocamos la respuesta en el eje z y los niveles de factores en el eje x y el eje y. La figura\(\PageIndex{2a}\) muestra un diagrama de estructura de alambre pseudo-tridimensional para un sistema que obedece a la ecuación

\[R = 3.0 - 0.30A + 0.020AB \nonumber\]

donde R es la respuesta, y A y B son los factores. También podemos representar una superficie de respuesta de dos factores usando la gráfica de nivel bidimensional en la Figura\(\PageIndex{2b}\), que usa un gradiente de color para mostrar la respuesta en una cuadrícula bidimensional, o usando la gráfica de contorno bidimensional en la Figura\(\PageIndex{2c}\), que usa líneas de contorno para mostrar la superficie de respuesta.

Figura\(\PageIndex{2}\). Tres ejemplos de una superficie de respuesta de dos factores que se muestran como (a) una gráfica de estructura de alambre pseudo-tridimensional, (b) una gráfica de nivel bidimensional y (c) una gráfica de contorno bidimensional. Llamamos a la pantalla en (a) una superficie de respuesta pseudo-tridimensional porque mostramos la presencia de tres dimensiones en la superficie plana y bidimensional de la página.

Las superficies de respuesta en la Figura\(\PageIndex{2}\) cubren un rango limitado de niveles de factores (0 ≤ A ≤ 10, 0 ≤ B ≤ 10), pero podemos extender cada una a valores más positivos o más negativos porque no hay restricciones sobre los factores. La mayoría de las superficies de respuesta de interés para un químico analítico tienen restricciones naturales impuestas por los factores, o tienen límites prácticos establecidos por el analista. La superficie de respuesta en la Figura\(\PageIndex{1}\), por ejemplo, tiene una restricción natural en su factor debido a que la concentración del analito no puede ser menor que cero; es decir,\(C_A \ge 0\).

Si tenemos una ecuación para la superficie de respuesta, entonces es relativamente fácil encontrar la respuesta óptima. Desafortunadamente, rara vez conocemos detalles útiles sobre la superficie de respuesta. En cambio, debemos determinar la forma de la superficie de respuesta y ubicar su respuesta óptima realizando experimentos apropiados. El enfoque de este capítulo se centra en métodos experimentales útiles para caracterizar una superficie de respuesta. Estos métodos experimentales se dividen en dos amplias categorías: métodos de búsqueda, en los que un algoritmo guía una búsqueda sistemática de la respuesta óptima, y métodos de modelado, en los que se utiliza un modelo teórico o un modelo empírico de la superficie de respuesta para predecir la respuesta óptima.