6.3: Energía Libre de Iones en Solución
- Page ID
- 69722
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Volviendo a nuestro modelo continuo de la energía libre de solvatación, y aplicarlo a la solvatación de un ion. Como se discutió anteriormente,\(\Delta G_{\text{sol}}\) requerirá formar una pequeña cavidad en el agua y activar las interacciones entre el ión y el agua. Podemos calcular la energía para solvatar un ion en un medio dieléctrico como el trabajo reversible necesario para cargar el ion desde una carga de 0 hasta su valor final\(q\) dentro del medio dieléctrico:
\[w = \int_{0}^{q} \Phi_{\text{ion}} dq\]
A medida que crecemos la carga, inducirá una respuesta del medio dieléctrico (una polarización) que escala con potencial electrostático:\(\Phi = q / 4\pi \varepsilon r\). Tomamos el ion para ocupar una cavidad esférica con radio\(a\). Si bien podemos colocar una carga puntual en el centro de la esfera, se resuelve más fácilmente asumiendo que la carga\(q\) se distribuye uniformemente sobre la superficie de la esfera. Entonces el potencial electrostático en la superficie de la esfera es\(q/4\pi \varepsilon a\) y el trabajo resultante es
\[w = \dfrac{q^2}{8\pi \varepsilon b}\nonumber\]
De manera similar, podemos calcular la energía que se necesita para transferir un ion de un medio con\(\varepsilon_1\) a otro con\(\varepsilon_2\). Primero descargamos el ion en medio 1, transferimos y recargamos el ion en medio 2. El trabajo resultante, el Born transfiere energía, es
\[\Delta w = \dfrac{q^2}{8\pi a} \left (\dfrac{1}{\varepsilon_2} - \dfrac{1}{\varepsilon_1} \right ) \nonumber\]
Si elige distribuir la carga uniformemente a través de la cavidad esférica, el prefactor\(q^2 /8\pi a\) se vuelve\(3q^2 /20\pi a\).