12.1: Difusión con Deriva

Si la difusión ocurre dentro de un fluido en movimiento, los perfiles de concentración dependientes del tiempo serán influenciados por la velocidad local del fluido, o la velocidad de deriva v _x. La densidad de flujo advectiva neta para la concentración que pasa a través de un área por unidad de tiempo es entonces

\[ J_{adv} = v_x C\]

De manera que el flujo total de acuerdo a la eq. (12.1) es

\[ J= - D \dfrac{\partial C}{\partial x} +v_xC \]

Ahora usando la expresión de continuidad\(\partial C/\partial t = -\partial J/\partial x\), y asumiendo una velocidad de deriva constante, el coeficiente de difusión es ¹

\[ \dfrac{\partial C}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 C}{\partial x^2}-v_x \dfrac{\partial C}{\partial x} \]

Esta ecuación es la misma que la ecuación de difusión normal en el marco inercial de referencia. Si cambiamos a un marco que se mueve a v _x, podemos definir el desplazamiento relativo

\[ \overline{x} = x-v_xt \nonumber \]

Recuerde, C es una función de x y t, y expresando eq. (12.1.2) en términos de\(\overline{x} \) vía la regla de la cadena, encontramos que podemos refundirla como la ecuación de difusión simple:

\( \dfrac{\partial C}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 C}{\partial \overline{x}^2}\)

Entonces la solución para la difusión desde una fuente puntual se convierte en

\(C(\overline{x},t) = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi Dt}}e^{-\overline{x}^2/4Dt}\)

\(C(x,t) = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi Dt}} e^{-(x-v_xt)^2/4Dt}\)

Entonces el pico de la distribución se mueve como ⟩ x⟩ = v _x t y el ancho crece como σ = [bernarx ² ⟩ ‒ bernarx⟩ ²] ^1/2 = (2Dt) ^1/2.

Consideremos la magnitud relativa de las contribuciones de la velocidad de difusión y deriva al movimiento de una proteína en el agua. Una constante de difusión típica es de 10 ⁻⁶ cm ² /s, lo que significa que el desplazamiento cuadrático medio de la raíz en un periodo de tiempo de un microsegundo es de 14 nm. Si comparamos esto con la velocidad típica de la sangre en los capilares, v = 0.3 mm/s, en el mismo microsegundo se empuja la misma proteína ⟩ x⟩ = 0.3 nm. Para este ejemplo, la difusión domina el proceso de transporte en la escala nanométrica, sin embargo, con el incremento de la escala de tiempo y la distancia de transporte, el término deriva crecerá en significancia debido a la escala t ^1/2 del transporte difusivo.

Número Péclet

El número de Péclet P _e es un número sin unidades utilizado en la hidrodinámica continua para caracterizar la importancia relativa del transporte difusivo y los procesos de transporte advectivo. Nota de idioma:

• Convección: corrientes internas dentro del fluido
• Advección: transporte masivo por convección

Lo caracterizamos con una relación de las tarifas o equivalentemente la escala de tiempo característica para el
transporte con estos procesos:

\[ P_e =\dfrac{\text{adjective flux}(J_{adv})}{\text{diffusive flux}(J_{diff})}\approx \dfrac{\text{diffusion timescale}(t_{diff})}{\text{advection timescale}(t_{adv})} \nonumber \]

Límites

• P _e 1 Difusión dominada. En este límite, el transporte difusivo extiende el perfil de concentración simétricamente alrededor del máximo como se ilustra anteriormente.
• P _e ≫ 1 Flujo dominado. Efectivamente no se propaga a la concentración; solo se lleva junto con el flujo.

Si definimos una longitud de transporte característica d y la velocidad de flujo v, entonces

\[ t_{adv} \approx \dfrac{d}{v} \nonumber \]

Dada una constante de difusión D, la escala de tiempo difusiva se toma como

\[ t_{diff} \approx \dfrac{d^2}{D} \nonumber \]

Así que eso

\[P_e = \dfrac{vd}{D} \nonumber \]

____________________________________

1. En tres dimensiones:\(\textbf{J} ( \textbf{r},t) = -D \overline{\Delta}C ( \textbf{r},t)+\textbf{v}C(\textbf{r},t) \text{ and }\dot{C}=\nabla \cdot (D\overline{\nabla}C)-\nabla \cdot (\textbf{v}C)\).