12.2: Caminata aleatoria sesgada

La ecuación de difusión con deriva se puede obtener a partir de un problema de caminata aleatoria sesgada. Para ilustrar, extendemos la descripción anterior de un andador en una celosía 1D que puede caminar hacia la izquierda o hacia la derecha por una distancia de cantidad\(Δx\) por cada intervalo de tiempo\(Δt\). Sin embargo, en este caso existe una probabilidad desigual de pisar a la derecha (+) o a la izquierda (—) durante\(\Delta t: P_+ \neq P_-\). Hablando probabilísticamente, el cambio de posición para un intervalo de tiempo dado se puede expresar como

\[ \begin{align} \langle x(t+\Delta t) \rangle &= \langle x(t)+\Delta xP_+-\Delta xP_- \rangle \nonumber \\[4pt] &= \langle x(t) \rangle +\Delta x(P_+-P_-) \label{12.2.1} \end{align} \]

Vemos que la posición promedio de los caminantes aleatorios depende de la diferencia en las tasas de paso a izquierda y derecha. Para ayudar a vincular el paso a paso con el tiempo, definimos constantes de velocidad para caminar hacia la izquierda o hacia la derecha

\[ k_{\pm} = \dfrac{P_{\pm}}{\Delta t} \]

con\(k_+ \neq k_-\). Entonces la ecuación\ ref {12.2.1} puede escribirse como

\[ \begin{align} \langle x(t+\Delta t)\rangle &= \langle x(t) \rangle + (k_+-k_-) \Delta t \Delta x \nonumber \\[4pt] &= \langle x(t) \rangle +v_x \Delta t \label{12.2.3} \end{align}\]

donde la velocidad de deriva está relacionada con la diferencia en las tasas de salto

\[v_x = (k_+-k_-) \Delta x \nonumber \]

Expresando la Ecuación\ ref {12.2.3} como resultado de muchos pasos dice que la media de la distribución de posición se comporta como el movimiento lineal tradicional: ⟩ x (t) ⟩ = x ₀ + v _x t.

¿Qué pasa con la varianza en la distribución? Calcular el valor cuadrático medio\(x\) de la ecuación\ ref {12.2.1} da

\[ \begin{aligned} \langle x^2(t+\Delta t) \rangle &= \langle x^2(t) \pm 2\Delta x \Delta tk_{\pm}x(t) +(k_++k_-)^2\Delta x^2 \Delta t^2 \rangle \\ &= \langle x^2(t) \rangle +2v_x\Delta t \langle x(t) \rangle +(k_++k_-)\Delta x^2\Delta t \end{aligned}\]\[\]

donde usamos (k ₊ +k _—) ∆t = 1.

Usando esto para calcular la varianza en\(x\):

\[σ^2(t)=(k_+ + k_–)∆x^2t\]

^{y luego comparando con ⟩ 1/2 = 2Dt, lleva a la conclusión de que la amplitud de la distribución σ se extiende como lo haría en ausencia de una velocidad de deriva, y el coeficiente de difusión para esta caminata aleatoria sesgada viene dada por}

\[ D= \dfrac{1}{2} (k_++k_-) \Delta x^2 \nonumber \]

Cuando las tasas de paso a la izquierda y derecha son las mismas, recuperamos nuestro resultado anterior 2D = ∆x ² /∆t.