21.4: Cinética Biomolecular

Volviendo a nuestro esquema básico de dos estados, definimos las constantes de velocidad k _a y k _d para las reacciones de asociación y disociación:

\[ A+B \underset{k_{d}}{\stackrel{k_{a}}{\rightleftharpoons}} C \]

A partir del balance detallado, que requiere que el flujo total para las reacciones hacia adelante y hacia atrás sea igual en condiciones de equilibrio:

\[ K_a = \dfrac{k_a}{k_d} \]

Las unidades para K _a son M ⁻¹, M ⁻¹ s ^-1 para k _a y s ⁻¹ para k _d.

Para el caso en el que consideramos explícitamente el complejo de encuentro AB:

\[A+B \underset{k_{-1}}{\stackrel{k_{1}}{\rightleftharpoons}}(A B) \underset{k_{-2}}{\stackrel{k_{2}}{\rightleftharpoons}} C \]

Los esquemas de este tipo se denominan problemas de reacción-difusión. Cabe destacar que esto corresponde al esquema utilizado en la cinética Michaelis-Menten para la catálisis enzimática, donde AB es un complejo enzima-sustrato previo a la etapa catalítica.

Las ecuaciones cinéticas correspondientes a este esquema a menudo se resuelven con la ayuda de una aproximación en estado estacionario ([AB] /t ≈ 0), lo que lleva a

\[\dfrac{d[C]}{dt} = k_a[A][B]-k_d[C] \]

\[k_a = \dfrac{k_1k_2}{(k_{-1}+k_2)} \qquad \quad k_d = \dfrac{k_{-1}k_{-2}}{k_{-1}+k_2} \]

Veamos los escenarios limitantes:

1. Las reacciones controladas por difusión se refieren al caso cuando la reacción o asociación final es inmediata una vez que A y B se encuentran difusivamente entre sí, es decir,\( k_2 \gg k_{-1} \). Luego la tasa observada de formación de producto k _a ≈k ₁, y luego podemos equiparar k ₁ con la tasa de asociación de difusión limitada que ya hemos discutido.
2. Pre-Equilibrio. Cuando la reacción está limitada por la etapa química, se establece un equilibrio mediante el cual A y B pueden asociarse y disociarse muchas veces antes de la reacción, y el complejo AB establece un preequilibrio con los socios no unidos definidos por una constante de asociación inespecífica\(K'_a = k_1/k_{-1} \). Entonces la tasa de asociación observada es\(k_a = k_2K'_a \).

¿Y si tanto la difusión como la reacción dentro del encuentro son materia compleja? Esas son las dos tarifas\(k_1 \approx k_2 \).

\[ A+B \stackrel{k_a}{\rightleftharpoons} AB \stackrel{k_{rxn}}{\rightleftharpoons} C \]

Ahora todas las tarifas importan. Esto se puede resolver de la misma manera que lo hicimos para que la difusión capturara por una esfera, pero con condiciones límite que tienen una concentración finita de especies reactivas en el radio crítico. La solución de estado estacionario da:

\[ \begin{aligned} k_{eff} &= \dfrac{k_ak_{rxn}}{k_a+k_{rxn}} \\ k_{eff}^{-1} &= k_a^{-1}+k_{rxn}^{-1} \end{aligned} \]

_{k eff es la tasa efectiva de formación del producto C. Depende de la tasa de asociación k a (o k 1) y k rxn es una velocidad de reacción directa efectiva que depende de k 2 y k —1.}

Factores que compiten en los procesos de difusión-reacción

En los procesos de difusión-reacción, hay dos factores competidores que gobiernan el resultado del proceso de unión. Estas son otra manifestación de los familiares efectos de compensación de entalpía y entropía que hemos visto antes. Existe una competencia entre los contactos entálpicamente favorables en el estado encuadernado y la entropía favorable para el espacio configuracional disponible para los socios no consolidados. En general, debe haber alguna fuerza impulsora favorable para la interacción, la cual puede expresarse en términos de un potencial de unión U _AB (R) que favorezca el estado ligado. Por otro lado, para cualquier molécula A, el espacio de configuración traduccional disponible para el socio B crecerá como ^R2.

Podemos juntar estos conceptos en un modelo sencillo. ¹ La probabilidad de encontrar B a una distancia R de A es

\[ P(R)dR = Q^{-1}e^{-U(R)/kT}4\pi R^2dR \]

donde Q es una constante de normalización. Luego podemos definir una energía libre a lo largo de la coordenada radial

\[ \begin{aligned} F(R) &= -k_BT\ln P(R)dR \\ &=U(R)-k_BT\ln R^2-\ln Q \end{aligned} \]

Aquí F (R) se aplica a un solo par A-B, y por lo tanto la energía libre cae continuamente a medida que R aumenta. Esto corresponde al límite infinitamente diluido, bajo cuya circunstancia los socios nunca se unirán. Sin embargo, en la práctica hay un volumen y concentración finitos para los dos socios. Solo necesitamos conocer la distancia al compañero de unión más cercano posible\( \langle R_{AB} \rangle \). Entonces podemos poner un límite superior en los radios muestreados en esta superficie de energía libre. En la aproximación más simple, podemos determinar un radio de corte en términos del volumen disponible para cada B, que es la inversa de la concentración de B:\(\frac{4}{3}\pi r^3_c = [B]^{-1} \). Entonces, la probabilidad de encontrar a los socios en el estado encuadernado es

\[ P_a = \dfrac{\int_0^{r*} e^{-F(r)/k_BT}4\pi r^2dr}{\int_0^{r_c} e^{-F(r)/k_BT}4\pi r^2dr} \]

A una escala más molecular, las tasas de asociación molecular pueden estar relacionadas con la difusión sobre un potencial de fuerza media. g (r) es la función de distribución radial que describe la variación radial de la densidad B alrededor de A, y está relacionada con el potencial de la fuerza media W (r) a través de\(g(r) = exp[-W(r)/k_BT] \). Entonces la tasa de asociación obtenida del flujo en un radio definido por la barrera de asociación (r = r ^†) es

\[ k_a^{-1} = \int_{r^†}^{\infty} dr [4\pi r^2D(r)e^{-W(r)/k_BT}]^{-1} \]

Aquí D (r) es el coeficiente de difusión radial que describe la difusión relativa de A y B. La dependencia espacial refleja el hecho de que a pequeña r las moléculas realmente no se difunden independientemente unas de otras.

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1. D. A. Barba y H. Qian, Biofísica Química; Análisis Cuantitativo de Sistemas Celulares. (Cambridge University Press, Cambridge, Reino Unido, 2008).