3.E: La ecuación de Schrödinger (Ejercicios)

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Q3.1

Demostrar que la fórmula de Euler es correcta expandiendo\(e^{±iθ}\)\(\cos\theta\),, y\(\sin \theta\) cada uno en términos de una serie Maclaurin y mostrando que los términos correspondientes son idénticos.

Q3.2

La siguiente tabla da los resultados de muchas mediciones de la longitud de una cavidad láser. Completa la tabla calculando la probabilidad para cada valor. Utilice las probabilidades que calculó para calcular el valor promedio de la longitud, el promedio de la longitud al cuadrado, la varianza y la desviación estándar en las mediciones.

largo (cm)	número de veces que se obtuvo el valor	probabilidad
100.05	4
100.04	3
100.03	6
100.02	9
100.01	8
100.00	9
99.99	9
99.98	8
99.97	2
99.96	3

Q3.3

Considera un electrón atrapado por un defecto puntual cargado positivamente en un mundo unidimensional. La siguiente función de onda con α = 20/nm describe la distancia x del electrón desde el defecto puntual localizado en x=0. Tenga en cuenta que en 1, 2 y 3 dimensiones, r = |x|\({(x^2+y^2)}^{1/2}\), y\({(x^2+y^2+z^2)}^{1/2}\), respectivamente.

\[\psi (r) = N e^{-\alpha |x|} \label{3-48}\]

Evaluar la constante de normalización N.
Grafica la densidad de probabilidad para este electrón.
Calcular el valor de expectativa para x y |x|.
Si el electrón estuviera en un mundo bidimensional o tridimensional, como en la superficie de un cristal o en un átomo libre, ¿la distancia promedio del electrón desde el origen <r>sería menor, igual o mayor que el valor que encontraste para una dimensión?
Determinar si el valor de expectativa para r depende de la dimensionalidad del mundo (1, 2 o 3) en el que vive el átomo.

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